基于經驗：讓數學建構學習真正發生

段安陽

（寧波濱海國際合作學校，浙江 寧波 315830）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：課程設計要在呈現知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、得到結果、解決問題的過程。[1]兒童的學習，是主體自主的建構性學習，是以問題為導向的體驗性學習，是基于經驗的研究性學習。學生最有效的學習是在原有經驗基礎之上的再建構。但有些教師，不能深入研究學生的已有經驗，用自己的理解替代學生的理解，用自己的經驗替代學生的經驗，嚴重違背了學生的認知規律，達不到預期的教學效果。

一、內涵詮釋：何為基于經驗的數學學習

什么是經驗?《現代漢語詞典》的解釋為：一是指由實踐得來的知識與技能；二是經歷。杜威曾對經驗概念進行過整合與創造，得出教育的哲學：“教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力?！盵2]杜威的經驗概念包含兩重意義，一是經驗的事物，另一個是經驗的過程。由此可見，經驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”。學生有哪些學習經驗呢？

1.數學學習方法經驗。他們知道認數是需要借助計數器、口算，有難度的可以借助豎式計算等，也就是說他們具備一定的學習數學的方法。而這些學習數學的方法在不斷的學習中已內化為他們的學習經驗，在合適的情境下可以激發出來。就數學學科而言，學習方法經驗主要有：畫圖法、舉例法、分析法等。

2.數學學習知識經驗。學生每學習一個新的數學知識，都是為以后的學習積累數學知識經驗。這些知識經驗的獲得及掌握對后續的學習起著非常重要的作用?！皽毓识隆闭f的就是將新知與舊知溝通起來，基于舊經驗學習新知識。新課標指出學生學習的數學知識還包括從屬于學生自己的“主觀性知識”，即那些在學習過程中產生的帶有鮮明個體認知特征的數學活動經驗。

3.數學學習活動經驗。學生通過寫回憶、數學作文、隱喻等方式呈現的數學活動經驗，具體內容主要表現為：學生對具體的數學活動過程的回味；學生從活動中獲得的具體數學知識、技能、方法與策略；從數學活動中獲得的認識；學生在數學活動中獲得的情感經驗等。通過課堂觀察、訪談等手段，歸納出學生在某一堂數學課中獲得的數學活動經驗的具體內容主要表現為：學生經歷的具體數學活動；學生在數學活動過程中的體驗、感受和逐步形成的對數學活動的觀點和看法以及對數學活動過程的一些傾向性價值判斷；在數學活動中獲得的事實性知識、程序性知識；如何進行合理的數學觀察、數學發現、數學猜想以及如何驗證、歸納、交流與討論的一些方法和技巧等。

二、理論架構：基于經驗的心理學依據是什么

布魯納指出：“不論我們教什么學科，務必使學生理解該學科的基本知識結構?！盵3]教學的任務就是將數學知識結構轉化為學生的認知結構。學習不是學生被動地接受過程，而是學生主動地以他的已有經驗為基礎所進行的積極的建構過程。兒童已有的數學知識結構，不僅包括“結構性”知識，還包括大量的“非結構性”的已有經驗。數學教學必須建立在兒童的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上，因此，我們要對每一個兒童的知識起點、能力基礎、情感態度、年齡特征等做出準確解讀，以便開展真正意義上的教與學！

我們要根據學生的原有經驗展開數學教學，也就是要“以學定教”，“學”即學生的學情，包括其原有的基礎、潛在的能力、學習的意向等。所以教學前要認真考慮哪些問題是學生能自主學習的，哪些為他們力所不能及的。這就需要教師在了解學生學習“過去”的同時，更能準確把握他們的學習“過程”，采取靈活多變而又適切妥當的教學應對。維果茨基的“最近發展區”理論告訴我們，教學要讓學生“跳一跳，摘得到”。教學的設計要從學生的最近發展區開始，即尊重學生的原有經驗，在學生的原有經驗的基礎上開始知識的生長點，這是符合新課程理念的。

三、實踐探索：如何實施基于經驗的數學教學

希爾伯特認為：“在每個數學分支中那些最初、最老的問題肯定是起源于經驗，是由外部現象世界所提出的。”[4]教學過程要成為不斷激活學生經驗的過程。只有在尊重學生已有經驗的自主空間里，只有在平等的自由對話和刺激中，學生沉睡的經驗才有可能被喚醒而處于積極狀態，不斷地被同化、調整、豐富或重構。

1.聯通新知與舊知，將已有經驗激活

數學教學中的知識點不是孤立存在的，任何一個新知都是基于某一個或者某一些舊知而生發出的，如同一棵大樹上的枝干或枝條與枝葉的關系，教師要能如庖丁解牛般，對于新知教學進行準確定位，找到新知與舊知的關聯點，讓學生在似曾相識的感覺中，對舊知進行回顧，對新知進行建構，主動實現舊知與新知的完美相遇。

案例：《有余數的除法》教學片斷

師：誰能舉出一個平均分的例子。

生1：8塊巧克力，平均分給4個小朋友，每個小朋友分得2塊。

生2:10個桃子，每只小猴吃2個，可以分給5只小猴。

師：同學們剛剛舉出的例子都有一個共同的特點——都能正好分完，一個不多也不少！

生1：9支鉛筆，平均分給4個小朋友，每人分得2支，還多1支。

師：這多出的1支為什么不繼續分呢？

生：有4個人，只有1支筆，不夠分了。

師：哦，不是不想分，而是不夠分，所以這1支就暫時放著。像這樣，還是平均分嗎？

一番爭論后，達成共識：每人都得到2支，一樣多，還是平均分。

師：同樣是平均分，有時能正好分完，沒有剩余；有時候不能正好分完，會有剩余，而分后有剩余的現象就是我們今天要研究的數學問題。

……

這個教學環節中，以“平均分”為支點，在似曾相識中充分激活學生的已有生活經驗和認知經驗，在平等對話中逐步逼近新知教學的本質，學生借助“平均分后沒有剩余”的現象實現向“平均分后有剩余”邁進；同時，對于余數的認識，也是充分建立在平均分的基礎之上，通過讓學生嘗試用算式把分的過程表示出來，聚焦于剩余的支數上，通過回顧，有效地認識了余數。這樣的教學，打通了新知與舊知的關節，便于讓學生從整體上建構新知，從而使新知穩穩地扎根于舊知的土壤中，使新知的建構水到渠成。

2.溝通新知與生活，讓已有經驗生長

布魯納說：“任何知識或技能都能夠以某種適宜的方式傳授給任何年齡的人，但是要考慮到學習者先前的知識或技能（即經驗）?！盵5]數學來源于生活，生活中處處有數學，這是廣大教師乃至小學生都明白的道理，可是審視當下的數學教學，多數時候，教師僅僅為了知識而教，學生也就為了分數而學，而為什么要學，學了有什么用，學了如何用，對這些本質的問題未做過多的深入思考。

對于周長的認識學生不陌生，同時對于周長的計算也有豐富的學習經驗與基礎，而《圓的周長》難點就在于圓是一個曲線圖形，其周長的計算方法相比較直線圖形的周長計算方法更具隱蔽性，無法一下子看出周長與什么有關系，以及有怎樣的關系，而為什么要探究圓的周長的計算方法，如何探究都是本節課要解決的問題，因此在這樣的規律探究課上，如果教師不充分讓學生去經歷、去思辨，不斷地思維受阻，學生也就沒有深刻的體驗，其已有的經驗就無法在經歷和體驗的過程中再生長，這樣的課堂也就成了套用公式的練習課。

案例：《圓的周長》教學片斷

屏幕出示一個正方形和一個圓形，分別標號為①、②。

師：這是一個正方形，誰來指一指它的周長。

（生到講臺前指周長）

師：很好，圍成這個正方形4條邊長度的和就是它的周長。

師：圓的周長，你能指一指嗎？

（學生很快指出圓的周長）

師：圍成圓一周曲線的長度就是圓的周長。

師：兩個圖形，給你一把直尺，讓你來量一量它們的周長，你選幾號？

生異口同聲：選①，因為圓的周長是彎曲的，而尺是直的，沒辦法直接測量。

師：正方形的周長你打算怎么量？

生：量出邊長，再乘4。

師：圓的周長沒有辦法用尺直接測量，那就沒有辦法得到它的周長了嗎？想想生活中你見過或者玩過的圓形物體，有辦法知道它的周長嗎？

生1：我滾過鐵環，可以在鐵環上做個記號，讓它在地上滾動一圈，然后量出起點到終點的距離，就是這個鐵環的周長。

……

數學教學中，我們一方面要尊重學生的生活經驗，把數學與學生生活經驗相關聯；另一方面，讓學生從經驗出發的同時，又要思考如何引導學生將經驗得到提升，這便是數學教學的本質所在，只有這樣，學生的經驗才能不斷地螺旋上升，得以優化和增長。

3.貫通已知與未知，讓經驗留白

蘇霍姆林斯基說：“在講課的時候，有經驗的老師往往只是微微打開一扇通向一望無際的知識原野的窗子?！边@讓我們想到中國畫中的一種構圖方法——“留白”。留下空白，讓人浮想，叫人回味。數學教學不是繪畫，但數學課堂教學是一門藝術，中國傳統繪畫講究的“藝術空白”，同樣適用于數學課堂。如《涂色問題》教學片斷：把一個6面都涂上顏色的正方體木塊，切成64塊大小相同的小正方體，問：（1）3面涂色的小正方體有幾塊？（2）2面涂色的小正方體有幾塊？（3）1面涂色的小正方體有幾塊？

這類問題，不能就題論題，必須從簡單情況入手，化抽象為具體，讓學生以小見大，徹底弄明白其中的奧秘，才能掌握一定的方法來解決一類題。于是，筆者將此題改編成生活中的數學問題，借助學生生活中常見的巧克力蛋糕展開了教學。

師：一個正方體形狀的蛋糕，在其6個面都涂上美味的果醬，如果讓你咬一口，你最想從哪里咬下去？

生：從有頂點的部分咬下去，因為那里的果醬最多。

師：怎么理解？

生1：因為頂點處的蛋糕3面都有果醬。

（這樣的回答立即得到了同伴們的認同）

生2：因為從一個頂點出發，有3個相鄰的面，所以頂點處的小正方體3面都涂果醬。

師：如果把這個正方體蛋糕切成27塊大小相同的小正方體，3面都涂果醬的有幾塊？

生：8塊，因為一個正方體有8個頂點。

（至此，第一層面的問題順利解決，如圖1所示）

圖1

圖2

師：剩下的小正方體呢？（觀察圖2）

生：剩下的正方體有的是2面涂果醬，有的只有1面涂了果醬。

師：從圖中你能找出2面涂果醬和1面涂果醬的小正方體分別有多少塊嗎？同桌互相商量商量！

……

學生們的潛能是無限的，只要教師引導到位，為其探究提供有效的情境，于每一個思維拐角處架設好通向未知的橋梁或階梯，讓學生們自己去體驗、去琢磨，學生們便能拾級而上，邁向未知的彼岸。而教學的起點和終點都是學生，既要基于學生的已有經驗，也要著眼于學生的未來經驗。

四、教學建議：如何高效利用學生已有經驗

心理學家奧蘇貝爾說：“如果我不得不將教育心理學還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么。根據學生的原有知識狀況進行教學。”[6]那么如何高效利用學生已有經驗，讓學生自主建構性學習真正發生呢？

1.承上啟下，自我建構

新的學習科學認為人們是基于已有的知識去建構和理解新知識的。[7]每一新經驗都有取之于過往經驗的成分，同時會影響和改變后續經驗。因此，在任何情況下，經驗總有一定的連續性。同樣，活動前我們也要試著考慮學生此次活動經驗的起點在哪，如何讓學生與之無縫銜接，也要思考此次活動能為學生留下些什么有價值的活動經驗，為下個活動經驗打下良好的開端。以《用計算器探索規律》中積的變化規律一課為例，學生已經積累了豐富的探究經驗。教學過程中，學生通過觀察幾個算式，說出了自己的發現，教師相機提問：這可以直接作為結論嗎？這只不過是我們的什么？我們還要干嘛？學生都能聯想到這只是猜想，還要進行驗證，才能得出結論，這些就是學生已有的活動經驗。驗證過程中很多學生只關注形式，沒有通過具體的計算來驗證。每次學生活動經驗的積累，通過像這樣承上啟下的銜接，就能幫助學生形成完整的經驗鏈。

2.善用錯誤，學會反思

杜威指出：“每一種經驗就是一種推動力?！盵8]每種已有經驗在一定程度上都會影響日后經驗的獲取與積累。因此，經驗有可能朝錯誤方向延續，我們要及時關注學生經驗的動態生成情況。以《認識三角形》為例，課前教師給每小組4根分別長4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的小棒，探索怎樣的3根小棒能圍成1個三角形，以此活動來探究三角形邊之間的關系。操作活動中，學生通過小棒能否連起來這一直接活動經驗判斷是否能圍成三角形，其中一部分學生因此沒深入考慮兩邊之和正好等于第三邊的情況，覺得能正好靠到的，以為也可以圍成三角形。這時，一方面要借助課件直觀演示，加深理解；另一方面可以從錯誤經驗出發進行反思，形成正確的活動經驗。通過錯誤感悟，培養學生踏實的態度，不輕易下結論。

弗賴登塔爾說：“經驗的數學即為自由發現的數學，比那些為教師或教科書作者強加的、局限于公理范圍的數學更為重要?！盵9]課堂上，需要以學生原有經驗為起點，激發學生的探究興趣，為學生提供足夠的時間和廣闊的空間去觀察、操作、思考、內化、反思……重視發現和提出問題，及時總結提升數學經驗，并在運用中不斷豐富數學經驗。▲

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：4.

[2]約翰·杜威.我們怎樣思維·經驗與教育[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社,1991:255.

[3]張興華.兒童學習心理與小學數學教學[M].南京:江蘇教育出版社，1992:112.

[4]喻平.數學教學心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010：164.

[5]布魯納.教學論[M].姚梅林，郭安，譯.北京：中國輕工業出版社，2008：32.

[6]奧蘇貝爾.教育心理學：認知觀點[M].北京：人民教育出版社，1994：扉頁.

[7]約翰·D·布蘭思福特.人是如何學習的——大腦、心理、經驗及學校[M].程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯.上海：華東師范大學出版社，2002：2.

[8]胡典順.數學經驗：內涵、價值及啟示[J].中國教育學刊，2011(2)：46-48.

[9]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社,1995:139.