關于無窮小量的幾個問題的解析

李麗芳　杜娟　宋慶鳳

摘要：本文以無窮小量的歷史起源（即第二次數學危機）為載體，旨在介紹要用“運動”觀點和極限思想學習無窮小理論，并給出了教學實踐中常遇到的幾個關于無窮小量問題的解析。

關鍵詞：無窮??；數學危機；大學數學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）34-0178-02

一、無窮小量的起源

無窮小量是高等數學體系中的一個極其重要的概念。歷史上的第二次數學危機[1]就是由于對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的。牛頓創立的微積分基礎就是無窮小量，這是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創新，但也有邏輯上的問題。我們以一個淺顯的例子來看牛頓的思考。

例：自由落體在時間t下落的距離為S（t）= gt ，求物體在 的瞬時速度。這可以先求平均速度，即用下落距離的改變量除以時間的改變量 ，易求 =

gt + g·Δt，當Δt越小時，該平均速度就越接近物體在t 的瞬時速度；當Δt變成無窮小時，上式右端的

g·Δt也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是

gt ，牛頓認為這就是物體在t 的瞬時速度。由于當Δt變成無窮小時，ΔS也是無窮小，因此牛頓認為，瞬時速度是兩個無窮小的比。

盡管當時對于什么是無窮小并沒有公認的一個精確定義，但牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題，所以由牛頓創立的微積分就被科技界廣泛接受，并得以迅速發展。但是，從上述例子中也可以看出，當時的微積分在推導上并不嚴謹，因此在當時遭到了以英國大主教貝克萊為代表的許多人的責難。貝克萊的責難相當直接：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？

具體說，上述例子中，牛頓從平均速度的表達式中，讓Δt變成無窮小，得到物體的瞬時速度gt ，這在推導中有邏輯上的毛病。貝克萊認為，式子

=gt + g·Δt成立是以Δt≠0為前提的，那么，為什么又可以讓Δt=0而求得瞬時速度呢？貝克萊還諷刺挖苦說：既然ΔS和Δt都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的靈魂”了！這就是著名的“貝克萊悖論”。由此引發了歷史上第二次數學危機。

數學家在接下來的將近200年的時間里，都不能徹底反駁貝克萊的責難。直至后來的魏爾斯特拉斯創立“ε-δ”語言，才徹底反駁了貝克萊的責難，由“無窮小”引發的第二次數學危機才得以徹底解除。如今由極限理論，我們知道，無窮小反映的是函數的一種變化狀態，而非指一個數。

定義：如果函數f（x）當x→x （或x→∞）時的極限為零，那么稱函數f（x）為當x→x （或x→∞）時的無窮小。

二、關于無窮小運算的幾個主要結論[2]

定理1：有限個無窮小之和也是無窮小。

定理2：有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

推論：有限個無窮小的乘積也是無窮小。

按照極限定義，這幾個結論很容易得到證明。但在理解這幾個結論的同時，一定會伴隨產生新的疑問。比如，將定理條件有限改為無限，那么結論還會成立嗎？也就是說無限個無窮小之和仍然是無窮小嗎，無限個無窮小的乘積仍然是無窮小嗎？下面我們通過命題的形式提出在學習無窮小過程中常見的幾個問題，并通過辨別命題真假的方式解決這些問題。

三、問題的提出與解決

命題1：無限個無窮小之和也是無窮小。

命題2：已知兩變量的乘積是無窮小，若其中一個為有界變量，則另一個變量必為無窮小。

命題3：已知兩變量的乘積是無窮小，若其中一個為無界變量，則另一個變量必有界。

命題4：無限個無窮小的乘積也是無窮小。

首先指出，上述四個命題均是假命題，即命題所闡述均是錯誤結論。下面，分別找一個反例說明之。

反例1： （ + +…+ ）= = .

此例說明無限個無窮小之和未必是無窮小。

反例2：設x = ，y =sinn，則顯然 x y = ·sinn=0，但是易知x = 有界，而y =sinn并不是無窮小。這說明命題2是一個假命題。

反例3：設x =[1-（-1） ] ，y =[1+（-1） ] ，{x }與{y }均是無界數列，但 x y = [1-（-1） ][1+（-1） ]n=0。此例表明命題3中的結論是錯誤的。

反例4：設f （x）=1，x∈[1，2） ，x∈[2，+∞），

f （x）=1，x∈[1，n）x ，x∈[n，n+1） ，x∈[n+1，+∞）（n>1），

則當n≥1時， f （x）=0均成立，即f （x）（n≥1）為無限個x→+∞時的無窮小量，

令F（x）= f （x），x∈[1，+∞），

則當x∈[1，2）時，？坌n，f （x）=1，故F（x）= f （x）=1；

當x∈[k，k+1）（k≥2）時，f （x）= ， nk

此時F（x）= f （x）= ·x =1.

綜上所述，？坌x∈[1，+∞），F（x）= f （x）≡1，故 F（x）= f （x）≡1.

此例說明無限個無窮小的乘積未必還是無窮小。

四、結語

初等數學的主要研究對象為“常量”，所以初等數學更多是在“有限”的領域里討論問題；而高等數學的研究對象為“變量”，更多是在“無限”的領域里討論，更多以“無限”為手段和工具進行問題的討論，所以要用運動觀點，辯證思想以及極限理論去學習高等數學。

參考文獻：

[1]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟大學數學系.高等數學第七版上冊[M].北京：高等教育出版社，2015.