淺談《高等數學》與《線性代數》課程的相通性

向文 黃友霞

摘要：《高等數學》和《線性代數》這兩門課的內容差異大，但也有不少知識點具有相同性，很多方法和結論相互滲透，本文探討了《高等數學》與《線性代數》課程內容的一些相通性。

關鍵詞：《高等數學》；《線性代數》；相通性

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）32-0196-02

隨著科學技術的發展和計算機的廣泛應用，《高等數學》和《線性代數》的作用越來越重要，它們是高等院校培養應用型人才重要的數學基礎課。《高等數學》主要學習的是微積分方面的知識，《線性代數》主要學習的是幾何方面的知識。由于課程內容的不同，部分高校在課程安排上往往一個教師要么只教《高等數學》，要么只教《線性代數》，從而在教學時往往忽略了引導學生去思考這兩門課程中的一些相通性。實際上，看似兩門完全不同的課程之間實有許多相通之處，而讓學生了解和掌握這些相通性不但有利于更好地掌握這兩門課程，而且還可以培養學生發現、思考和總結的能力，所學知識真正做到融會貫通。

幾年來，筆者一直在教學一線，既承擔《高等數學》的教學，也承擔《線性代數》的教學。在教學實踐中，筆者發現和總結了一些這兩門課程的相通性，下面介紹幾點。

一、《高等數學》和《線性代數》課程中部分定義和結論的相通性

4.方程解的結構。在《線性代數》中，當非齊次線性方程組Ax=b有無窮解時，其解可以表示為對應齊次方程組Ax=0的通解加上非齊次線性方程組Ax=b的一個特解。在《高等數學》中，非齊次線性微分方程的通解也有類似的結構，即也可表示成對應齊次微分方程的通解加上非齊次微分方程的特解。線性方程組和線性微分方程除了解結構類似外，解的性質也完全一樣。

二、《高等數學》和《線性代數》課程中部分量運算的相通性

在《線性代數》中有一個重要的量——矩陣，故對矩陣的運算作了大量的介紹，有矩陣的加法、矩陣的減法、矩陣的乘法，但是沒有矩陣的除法這一說法。在《高等數學》中，極限部分有個關鍵量無窮小，兩個無窮小相加、相減、相乘仍然是無窮小，但是兩個無窮小相除不一定是無窮小。這個特點和矩陣的運算特點類似，即對除法運算的特殊性。矩陣無除法運算，無窮小相除不一定為無窮小，它們雖然沒有除法運算或性質對除法運算的不成立性，但是它們都有特殊的運算來代替，矩陣有矩陣的逆運算，無窮小可以通過相除來比較無窮小的階數。

三、《高等數學》和《線性代數》課程對學生逆向思維培養的相通性

逆向思維是從原問題的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向進行思考的一種思維。它反映了思維過程的間斷性、突變性和多向性，有利于培養思維的靈活性，常常可以幫助學生尋找新的思路、新的方法，開拓新的知識領域。在《高等數學》和《線性代數》課程中，都大量存在對定理、結論的逆否命題的采用，因而兩門課程在培養學生的逆向思維能力方面具有相通性。我們來看幾個例子。

命題1：如果齊次線性方程組的系數行列式不等于零，則齊次線性方程組只有零解。而在實際的解題過程中，往往用其逆否命題：如果齊次線性方程組有非零解，則齊次線性方程組的系數行列式等于0。

命題2：如果向量組中有一部分向量（部分組）線性相關，則整個向量組線性相關。在向量組中相關性判斷中，也常常用到其逆否命題形式。線性無關的向量組中的任何一部分組皆線性無關。再比如，若向量組線性無關，則其升維組也線性無關。其逆否命題：若一個向量組線性相關，則其降維組也線性相關。這些結論在線性代數學習中是比較難以區分的，若弄清楚兩兩之間的關系，不但有利于逆向思維的培養，而且學習起來也會事半功倍。

上面只是列舉了這兩門課程中的幾個例子，實際這種逆向思維的訓練在兩門課程中還有很多。文獻[1]中還介紹了利用反例、反問題等來培養學生的逆向思維。

線性代數與高等數學是大學數學的兩門重要基礎課，雖然這兩門課解題方法有些差異，卻密切相關。除了上面介紹的幾個方面外，還在很多方面都有內在的滲透[2-7]。例如二次型在函數極值、不等式中有著重要的應用，線性空間理論也可用于數列極限的求解，矩陣、行列式在高等數學中的向量積、混合積、旋度、Stokes公式等知識點中都有具體的應用。而另一方面，高等數學中的許多內容，譬如函數的連續性、導數等都可廣泛地應用于線性代數眾多章節之中。教師在教學過程中應該抓住這些相通性及相互滲透的知識點，將這兩門課的內容更好地交叉、融合。

參考文獻：

[1]袁秀萍.線性代數教學中逆向思維能力的培養[J].科教文匯，2014，（294）：42-44.

[2]桑旦多吉.線性代數方法在高等數學解題中的應用[J].求知導刊，2015，（7）：126-127.

[3]米永生，梁靜.線性代數方法在高等數學中的滲透[J].石家莊學院學報，2007，9（6）：17-21.

[4]董曉妃.線性代數方法在搞定數學解題中的應用思考[J].科技創新導報，2015，（19）：155-157.

[5]李明泉.線性代數在高等數學中的一些應用[J].長春師范學院學報（自然科學版），2007，26（4）：27-30.

[6]梅紅.線性代數在高等數學中的應用[J].蚌埠學院學報，2015，4（5）：26-29.

[7]洪潮興.教學中加強《高等數學》與《線性代數》的聯系[J].工科數學，1994，10（1）：164-172.