應(yīng)用矩陣的跡檢驗(yàn)高維協(xié)方差矩陣相等

帕提古麗·木沙

摘要：數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)及物理學(xué)等多學(xué)科領(lǐng)域中均是隨機(jī)矩陣?yán)碚摰幕钴S研究領(lǐng)域，并且發(fā)展迅猛。現(xiàn)如今，隨機(jī)矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用范圍十分廣泛，其在多元統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用的研究也得到了越來越多的專家學(xué)者的關(guān)注。本文就隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯勘尘啊⒛康囊饬x及發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了粗淺分析，以探究隨機(jī)矩陣?yán)碚撛诟呔S多元統(tǒng)計(jì)分析的檢驗(yàn)問題中的應(yīng)用問題，為發(fā)掘隨機(jī)矩陣?yán)碚摳嗟膽?yīng)用研究?jī)r(jià)值提供新思路。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)矩陣?yán)碚摚欢嘣y(tǒng)計(jì)分析；檢驗(yàn)問題

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）32-0200-02

一、隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯勘尘?/p>

隨機(jī)矩陣?yán)碚撛诎l(fā)展的早期研究階段主要用于科研探索研究，在數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科得到廣泛應(yīng)用。隨著隨機(jī)矩陣?yán)碚摰倪M(jìn)一步深入研究，隨機(jī)矩陣?yán)碚摫粦?yīng)用到股市的價(jià)格波動(dòng)預(yù)示，乃至后來對(duì)于金融資產(chǎn)收益、醫(yī)學(xué)生理信號(hào)、磁場(chǎng)電子運(yùn)動(dòng)等方面的研究探索。隨著隨機(jī)矩陣?yán)碚摫粡V泛應(yīng)用于解決一些科學(xué)研究或工程實(shí)踐等問題，國(guó)內(nèi)外對(duì)于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯烤辛送黄菩赃M(jìn)展。國(guó)內(nèi)外均有對(duì)于隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c頻譜感知進(jìn)行科學(xué)連接的研究。

二、隨機(jī)矩陣?yán)碚撗芯康哪康囊饬x及發(fā)展趨勢(shì)

隨機(jī)矩陣意味著所有的元素都是隨機(jī)變量。隨機(jī)矩陣?yán)碚撝饕茄芯吭跐M足某些條件時(shí)隨機(jī)矩陣的特征根的性質(zhì)。其中統(tǒng)計(jì)中的樣本協(xié)方差矩陣是隨機(jī)矩陣?yán)碚撝械囊活愔匾芯繉?duì)象，并且由于目前現(xiàn)實(shí)生活中高維數(shù)據(jù)的大量出現(xiàn)，利用隨機(jī)矩陣?yán)碚撊ミM(jìn)行高位數(shù)據(jù)的分析越來越流行。隨機(jī)矩陣?yán)碚撟詮谋惶岢鰜砗螅艿搅藷o數(shù)的不同領(lǐng)域的學(xué)者的關(guān)注。首先是數(shù)學(xué)家，原因是本身對(duì)于矩陣各種性質(zhì)的研究就是數(shù)學(xué)家們關(guān)心的重點(diǎn)，而更重要的是隨機(jī)矩陣?yán)碚撆c數(shù)學(xué)上備受關(guān)注的黎曼猜想有著大量的數(shù)值證據(jù)關(guān)聯(lián)。目前已經(jīng)有大量的研究數(shù)據(jù)表明，黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的分布可以用任何一個(gè)典型隨機(jī)厄爾米特矩陣特征根分布來描述，但是遺憾的是還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以目前包括像菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Terence Tao等很多世界著名數(shù)學(xué)家都在從事隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯俊Ａ硗猓ńy(tǒng)計(jì)學(xué)家、物理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和通訊學(xué)家在內(nèi)的學(xué)者們也同樣對(duì)隨機(jī)矩陣?yán)碚撚泻芨叩年P(guān)注度，因?yàn)殡S著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，人們得以搜集儲(chǔ)存大維巨量數(shù)據(jù)（比如多體物理學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)以及通訊中的信號(hào)處理中的大維數(shù)據(jù)），然而建立在經(jīng)典的極限理論（假設(shè)維數(shù)固定，而樣本容量趨于無窮）下的多元統(tǒng)計(jì)方法被應(yīng)用于大維數(shù)據(jù)時(shí)，它們或者根本不可以應(yīng)用，或者即使可以應(yīng)用，其效率也會(huì)非常低。所以統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用大維隨機(jī)矩陣的譜分析理論（這時(shí)我們假設(shè)維數(shù)趨于無窮），對(duì)那些傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行了必要的修正，使之適用于大維統(tǒng)計(jì)分析。隨機(jī)矩陣?yán)碚摷捌浣y(tǒng)計(jì)應(yīng)用中有著諸多經(jīng)典結(jié)果被世界所認(rèn)可，這也是隨機(jī)矩陣?yán)碚摽梢赃M(jìn)行高維檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。

三、隨機(jī)矩陣的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)

四、多元統(tǒng)計(jì)分析

多元統(tǒng)計(jì)分析是指對(duì)于元素為隨機(jī)變量的向量和元素為隨機(jī)變量的矩陣進(jìn)行的分析。其中隨機(jī)變量X的分布函數(shù)表現(xiàn)為：F（a）=P（X<=a）

隨機(jī)向量X=（X1，X2，…，Xn）的分布函數(shù)為：F（X1，X2，…，Xn）=P（X1<=x1，X2<=x2，…，Xn<=xn）

多元統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)字特征包括數(shù)字期望、協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣。其中隨機(jī)矩陣X的數(shù)學(xué)期望表現(xiàn)為：E（aX）=aE（X）

E（AXB+C）=AE（X）B+C

E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（X1）

（其中a，A，B，C均為常數(shù)；X1，X2，…，Xn為n個(gè)同階的矩陣）

多元統(tǒng)計(jì)分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)的延伸，是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法對(duì)多變量、多個(gè)指標(biāo)進(jìn)行研究分析的理論和方法。多元統(tǒng)計(jì)分析涉及對(duì)變量或指標(biāo)根據(jù)其相似性進(jìn)行分類，以求達(dá)到類別中對(duì)象的同質(zhì)性做大化或是類別間異質(zhì)性最大化的聚類分析；對(duì)于自變量與因變量沒有嚴(yán)格確定的函數(shù)關(guān)系時(shí)，用來反映依據(jù)一種因變量與多種自變量之間線性或是非線性數(shù)學(xué)模型數(shù)量關(guān)系的多元回歸分析；根據(jù)總體變量或是指標(biāo)來衡量樣本變量或是指標(biāo)的判別分析；通過將具有一定相關(guān)性的多個(gè)指標(biāo)重新組合成一組新的相互沒有關(guān)系的綜合指標(biāo)來探究多個(gè)變量或指標(biāo)間相關(guān)性的主成分分析，此外還有典型相關(guān)分析、多元方差分析等。

五、隨機(jī)矩陣在多元統(tǒng)計(jì)分析中的運(yùn)用

1.檢驗(yàn)多個(gè)高維均值。對(duì)于高維均值變量的統(tǒng)計(jì)分析，是多元統(tǒng)計(jì)分析中的重要組成部分。然而，隨機(jī)矩對(duì)于高維數(shù)據(jù)的均值變量的檢驗(yàn)問題，可以對(duì)單總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)，可以對(duì)多總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)，還可以對(duì)多總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)。隨機(jī)矩陣對(duì)于單總體均值的檢驗(yàn)即將總體均值定位一個(gè)常數(shù)，H0：μ=μ0；隨機(jī)矩陣對(duì)于雙總體均值的檢驗(yàn)是讓兩個(gè)樣本的總體均值保持一致，H0：μ1=…μ2；隨機(jī)矩陣對(duì)于多個(gè)總體均值的檢驗(yàn)是讓N個(gè)總體均值保持一致，H0：μ1=…μn。然而無論是單總體均值的檢驗(yàn)、雙總體均值的檢驗(yàn)還是多總體均值的檢驗(yàn)，都是在高維數(shù)據(jù)的維度小于樣本量的前提下，因?yàn)楫?dāng)維數(shù)很高時(shí)，隨機(jī)矩陣的原理預(yù)示著樣本的協(xié)方差存在一些問題，表現(xiàn)為不穩(wěn)定的狀態(tài)。大維隨機(jī)矩陣針對(duì)這一問題給出對(duì)應(yīng)的解決辦法。

2.檢驗(yàn)多個(gè)高維協(xié)方差矩陣。協(xié)方差可以簡(jiǎn)單的定義為：Cov（X，Y）=E[X-E（X）][Y-E（Y）]

如果Cov（X，Y）=0時(shí)，X與Y是不相關(guān)關(guān)系。對(duì)于這時(shí)的高維協(xié)方差矩陣而言，兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量是必然不相關(guān)的關(guān)系，而兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量則未必是獨(dú)立的。而當(dāng)X=Y時(shí)，Cov（X，Y）=Var（X），X和Y的協(xié)方差矩陣與Y和X的協(xié)方差矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系，Cov（X，Y）=[Cov（Y，X）]

如果Cov（X，Y）=0，那么X與Y是不相關(guān)的。對(duì)于這時(shí)的高維協(xié)方差矩陣而言，同樣兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)向量是必然不相關(guān)的關(guān)系，而兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)向量則未必是獨(dú)立的。

3.檢驗(yàn)線性回歸模型中的回歸系數(shù)。回歸分析是用來分析書籍間的內(nèi)在規(guī)律的統(tǒng)計(jì)分析，它是基于數(shù)據(jù)、變量或是向量之間的依存關(guān)系而確立的。回歸分析不同于描述兩變量間相關(guān)關(guān)系的線性關(guān)系，因?yàn)榫€性關(guān)系只用來筆試自變量X與因變量Y的關(guān)系，而自變量X與因變量Y只有滿足線性關(guān)系時(shí)才能進(jìn)行回歸分析，因?yàn)榛貧w分析是一種擬合分析方法，即使自變量X與因變量Y不存在線性關(guān)系也可以對(duì)其進(jìn)行回歸分析。對(duì)于多元線性回歸模型中回歸變量的維度明顯高于樣本量的高維數(shù)據(jù)的回歸性質(zhì)進(jìn)行分析稱為大回歸分析。多元線性回歸模型表現(xiàn)為：Fi為獨(dú)立分布的序列，源于均值等于0的協(xié)方差矩陣——高斯噪聲分布，B為回歸系數(shù)矩陣，zi為回歸變量。

Xi=Bzi+Fi，i=1，2，…，n

綜上，我們得出的結(jié)論是檢驗(yàn)高維協(xié)方差等于給定的非隨機(jī)矩陣，隨機(jī)矩陣可以檢驗(yàn)兩個(gè)協(xié)方差矩陣相等，隨機(jī)矩陣可以檢驗(yàn)線性回歸模型中的回歸系數(shù)，隨機(jī)矩陣可以檢驗(yàn)同協(xié)方差矩陣的多個(gè)總體均值相等。

六、結(jié)語

本文的主要研究是基于隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)于高維多元統(tǒng)計(jì)分析的檢驗(yàn)問題中的應(yīng)用進(jìn)行了探究，包括隨機(jī)矩陣?yán)碚撚糜跈z驗(yàn)多個(gè)高維均值，隨機(jī)矩陣?yán)碚撚糜跈z驗(yàn)多個(gè)高維協(xié)方差矩陣，隨機(jī)矩陣?yán)碚撚糜跈z驗(yàn)線性回歸模型中的回歸系數(shù)等多個(gè)問題進(jìn)行探究。通過所得結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)于高維統(tǒng)計(jì)分析具有非常強(qiáng)的應(yīng)用前景。

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