小學數學課堂結構立序思考

荀步章

任何學科的內核是其結構，而不是具體的技術細節；盡管結構的本質是簡單的，但其存在形態卻可以是復雜的；任何學科，都是以結構為中心的符號形式系統。（布魯納）數學課程結構嚴密，數學課堂的教學結構更具普適性。如何體現認知主義的教育思想，使課堂符合學生的認知規律，促進學生的思維發展呢？

一、立知識發展之序，助學生思維生長

學科的內核是結構，課堂與學科結構保持一致性，才能遵循學生思考問題的本質。追求知識與課堂發展的順序性，不囿于具體的技術細節，幫助學生思維更好地生長。以下選取蘇教版教材“確定位置”教學內容，分析教材編排與課堂生成追求的結構。

1. 承前：用數對確定位置的起點。學生的已有經驗是用一個數確定位置，一上教材第14頁，老爺爺和小朋友排隊買票，他們排成了一排，以窗口為“參考物”，老爺爺排第一，戴帽孩子排第二。這些內容，學生有相應的生活經驗，教學時要激活他們的生活經驗，用數學表述的方式描述，讓他們學會在一條線上說清“第幾”。

2. 需求：用數對確定位置的方法。一年級學習用“第幾”確定位置后，五下教材第15頁，學習用兩個數確定位置。例題選取學生班級座位圖，從熟悉的情境出發，問：“小軍坐在哪里？”學生回答時出現幾種不同說法：“小軍坐在第4組第3個”“小軍坐在第3排第4個”等。由于說法不一致，產生統一說法的必要性：數學中的常用規定是，“豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列一般從左往右數，確定第幾行一般從前往后數”。把學生座位圖抽象成點圖，小軍坐在第4列第3行，讓學生創造如何表示他的位置，并說一說為什么這樣表示。

3. 突破：用數對確定位置的超越。學會用數對確定位置后，學生需進行一些必要的強化練習。觀察常規的課堂練習，歸納出來都是找數對與位置的對應關系，且僅限整數。為了防止學生出現思維定勢，需要設計一些挑戰性習題。如圖1，已知A點用數對（3，2）表示，估計B、C兩點分別用什么數對表示？讓學生充分猜想，并說出猜的根據，然后出示圖2。點B用數對（5，3）表示，部分學生能夠猜出來。但C點全班學生都沒有猜出來，因為它并不是我們通常所說的整數，而用小數表示數對，可以用（6？郾5，3？郾5）表示，學生又提出可不可以用分數表示？引發學生用不同方法表示數對的興趣，并與后續的學習有效對接。

4. 延伸：線→面→體，用數對確定位置升華。學生掌握了用數對確定位置后，還不能停留于此，拓展學生的思維十分必要。幫助學生梳理，在一條線上，如何表示（圖3），從左向右數第4個，從右往左數第3個。由線到面，一排一排出示（圖4），紅色涂一點，如何表示？學生很快得到用數對表示為（4，2），唯一表示，簡潔方便。再由面到體，一層一層出示（圖5），共三層，在最上層找一個點涂上紅色，用什么方法表示呢？有學生提出用三個數來表示，思維得到了生長。

二、立認知需求之序，促學生思維成長

學習結構，就是要學習事物是如何關聯的。（布魯納）一節課的時間雖短，但其結構存在形態卻可以是多樣的。高等數學與幼兒數學在結構上是一致的，但存在形態上具有很大差別。因此，在結構（不是具體知識形態的）意義上，任何學科都可以按照學生智育上發展的規律有效地對他們展開教學。例如低年級的“求差問題”，教師出示圖6問學生：“蘋果比梨多幾個？”學生回答：“多2個?！薄盀槭裁矗俊苯處熃又鴨?。學生回答：“就是多2個。”

教者設計意圖是蘋果和梨是一一對應的，右邊多出來的兩個，就是蘋果比梨多的兩個。然而學生心里怎樣想？一眼就能看出多2個，這還要問嗎？教材是靜態文本的“終結”呈現，過程的設計需要教師來創造。因此，設計教學結構時需要用“倒序”的策略。

師（出示圖7）：蘋果多，還是梨多？

生（慢慢地數）：蘋果有9個，梨有7個，蘋果比梨多2個。

師：數的感覺怎樣？

生：麻煩。

師：有好辦法嗎？讓人一眼就看出來，蘋果比梨多幾個？

生：把蘋果和梨排成一排。

師：好，我們就來排一排。

師：看一看，蘋果和梨一樣多？

生：不對呀，蘋果比梨多2個呢。

師：看起來一樣呀！

生：我們要把蘋果和梨子對齊著放。

教師再出示圖6。

師：這樣放嗎？為什么要這樣放呢？

生：因為這樣放，蘋果和梨一個一個對齊了，一下子就看出蘋果比梨子多2個。

教材中靜態的文字和圖片，讓學生建構怎樣的順序，課堂要呈現怎樣的結構，讓學生經歷怎樣的思維，這些都值得每一位數學教師細細思考。這里采用“倒序”的方式，先“立序”后“編材”，幫學生建立“一一對應”的思想，從“無序”到“有序”，從“有序”到“一一對應”，層層螺旋上升，而不是“強硬”塞給學生。課堂上先呈現給學生一組雜亂的蘋果和梨的圖，讓他們通過數一數的方法解決問題，感受其中的繁瑣，產生擺成一排比一比的心理需求。接著，學生按要求把蘋果和梨排成一排，但不是一個對著一個，兩種水果兩端對齊，感覺到還不夠“工整”，產生“一一對應”的需求。學生在這一過程中，慢慢感悟到數學思想方法，積累一些數學活動經驗，發展數學思維能力。

三、立路徑驗證之序，提學生思維快長

布魯納強調要重視兒童高級思維能力的開發，如頓悟與直覺思維等，它們在科學發現中起著重要的作用，應得到充分的關注。在“乘法交換律和結合律”教學時，學生循不同路徑去思考，直覺感知去發現，都是課堂教學中的重要資源。學生通過自學教材了解乘法交換律用字母表示為“a×b=b×a”，教師采用展示學生思維的方式呈現課堂結構。

師：你們有方法證明嗎？

生：可以舉例子。

生：1×2=2×1，2×3=3×2，5×6=6×5。

師：例子舉得完？有多少個？

生：舉不完，有無數個。

師：猜想出來的規律，我們需要通過不同路徑來驗證。剛才，同學們舉了很多例子，還有辦法嗎？其實，我們很早就明白這個道理了，看圖9，停車場停12輛汽車，如何計算呢？

生：可以用4×3=12（輛），也可以用3×4=12（輛）。

師：我們可以根據這幅圖，驗證乘法交換律，一排停a輛車，一共有b排，停車場的車輛一共有多少輛？可以用（a×b）輛，也可以用（b×a）輛，結果應該是一樣的。

乘法交換律教學一般是從教學情境出發，一道算式引發思考，學生舉例發現交換律的規律。而上述片段則從規律本身出發，提出猜想：這個乘法交換律對嗎？如何證明？通過大量舉例發現規律的確定性，卻只是不完全歸納法。驗證規律還可以通過不同路徑，從常見的情境圖出發，采用二維圖不同計算方法再次驗證乘法交換律，使學生深刻感受到，規律是客觀存在的，并且是被經常運用的。由此推及乘法結合律的教學。

師：乘法還有什么運算律？

生：乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）。

師：你們有方法證明嗎？例子舉得完嗎？有多少個？

生：舉不完，有無數個。

師：有辦法驗證乘法結合律嗎？哪種圖能說明呢？同學們在三年級學習乘法時做過一道題（圖10），一共有多少箱蘋果，怎么列式？

生：5×3×4。

師：先求什么？再求什么？

生：先求第一排有15箱，再求4排一共多少箱。

生：5×4×3，先求第一層有20箱，再求3層一共多少箱。

生：還可以豎著求，4×3×5，先求一列12箱，再求5列一共多少箱。

師：其實，同學們在列式的過程中，就存在著乘法結合律，（5×3）×4=5×（3×4）。

驗證乘法結合律，學生會從乘法交換律中遷移，通過大量舉例感受并驗證乘法結合律的存在性。教師結合學生的生活閱歷，運用教材原題，讓學生進一步體驗從不同角度觀察，發現不同的列式方法，并及時呈現不同算式，聯系生活意義，發現我們經常無意識地使用著乘法結合律。這里，教師通過停車場的車輛圖，從橫、豎不同方向觀察，培養學生有序觀察，比較思考中驗證發現乘法交換律。從堆放蘋果箱的三維立體圖中，采用數形結合的方法，從不同角度整體上觀察，學生從已有認知結構中提取經驗，思考不同擺放形成的不同列式，數學思維在不同層次中有序發展，積累數學活動經驗，提升數學素養。

小學數學課堂以結構為中心、知識信息為紐帶、運算符號為系統，從關注情境、獲取信息到理清情節，從把握關鍵到抽象概括，從建立模型到解決問題，從拓展模型到檢驗結果，回歸原始問題的答案，這種數學結構的魅力是推動學科發展的有效動力。通過學生參與數學活動，使他們切身體會到數學并非只應用于數學自身，完全可以解決現實生活中和其他學科中的問題，數學教育的重心要放在培養學生的核心素養上。

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗小學）