對(duì)一元微積分教學(xué)的思考

摘 要：本文針對(duì)一元微積分課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，從教學(xué)內(nèi)容的安排與講授這個(gè)方面進(jìn)行闡述，提出了對(duì)一元微積分課程教學(xué)改革的一點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞：一元微積分；教學(xué)；重點(diǎn)

一元微積分在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中具有根本地位，是有關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的最基本的數(shù)學(xué)內(nèi)容。教好一元微積分對(duì)提高高等教育數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有著相當(dāng)重要的影響，對(duì)其他有關(guān)數(shù)學(xué)類(lèi)和應(yīng)用到一元微積分知識(shí)的課程的學(xué)習(xí)也有著不可忽略的影響。因此教師有責(zé)任認(rèn)真思考如何切實(shí)改進(jìn)教學(xué)質(zhì)量。當(dāng)前的一元微積分教學(xué)效果不能令人感到滿(mǎn)意，特別在教學(xué)內(nèi)容的安排與講授這個(gè)方面存在探討改進(jìn)的空間。下面就這方面談點(diǎn)個(gè)人的教學(xué)體會(huì)。

一、教師要科學(xué)合理安排有關(guān)教學(xué)內(nèi)容

現(xiàn)行大部分各類(lèi)高等數(shù)學(xué)教材中一元微積分學(xué)中的一部分內(nèi)容與目前高中數(shù)學(xué)教材且高考必考的相關(guān)內(nèi)容有重復(fù)之處，比如函數(shù)基本概念這一部分內(nèi)容。教師實(shí)際授課時(shí)要根據(jù)所教不同專(zhuān)業(yè)學(xué)生的高中學(xué)習(xí)情況，有針對(duì)性的對(duì)這些內(nèi)容采取少講、略講或不講的教學(xué)安排。對(duì)于一元微積分學(xué)中的基本而重要的內(nèi)容應(yīng)適當(dāng)多安排一點(diǎn)教學(xué)時(shí)間，對(duì)于那些不算基本內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)少安排一點(diǎn)教學(xué)時(shí)間。比如映射的概念、函數(shù)極限的概念、函數(shù)極限的計(jì)算、極限存在準(zhǔn)則、重要極限、無(wú)窮小與無(wú)窮大、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分、羅爾定理、拉格朗日中值定理、洛必達(dá)法則、函數(shù)的單調(diào)性、曲線(xiàn)的的凹凸性、函數(shù)的極值與最值、不定積分的概念與計(jì)算、定積分的概念與計(jì)算、級(jí)數(shù)、微分方程等內(nèi)容應(yīng)作為基本教學(xué)內(nèi)容多安排一點(diǎn)教學(xué)時(shí)間，其他內(nèi)容如數(shù)列的概念、數(shù)列極限的證明、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)極限的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、萊布尼茨公式、費(fèi)馬引理、柯西中值定理、泰勒公式、反常積分、定積分的應(yīng)用、向量代數(shù)和空間解析幾何等內(nèi)容可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況適當(dāng)安排一定的教學(xué)時(shí)間。而極限運(yùn)算法則的證明、兩個(gè)重要極限的證明、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則的證明、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的證明、柯西中值定理的證明、洛必達(dá)法則的證明、泰勒中值定理的證明、定積分的換元法的證明等內(nèi)容可簡(jiǎn)要介紹或不提。

二、教學(xué)內(nèi)容的講授方面根據(jù)實(shí)際情況重點(diǎn)講解定理與公式，重視微積分中的概念與技巧

在教學(xué)內(nèi)容的講授方面，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)實(shí)際和不同專(zhuān)業(yè)的教學(xué)要求適當(dāng)簡(jiǎn)化相對(duì)復(fù)雜的理論推導(dǎo)和比較長(zhǎng)的公式推導(dǎo)或不做推導(dǎo)與證明，把重點(diǎn)放在有關(guān)重要定理、基本公式和重要公式的常見(jiàn)的具體應(yīng)用上，特別要重視一元微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念和基本技巧的教學(xué)。對(duì)數(shù)學(xué)要求較高的專(zhuān)業(yè)，映射的概念作為普通函數(shù)概念的推廣有必要詳細(xì)介紹，重點(diǎn)講述與普通函數(shù)概念的異同點(diǎn)；對(duì)數(shù)學(xué)要求較低的專(zhuān)業(yè)，映射的概念可簡(jiǎn)要介紹。如何求函數(shù)的極限應(yīng)重點(diǎn)講授，應(yīng)將常見(jiàn)的題型歸類(lèi)討論并舉出足夠的例子來(lái)講解，課后要布置適當(dāng)數(shù)量的習(xí)題使學(xué)生熟練掌握函數(shù)極限的基本求解技巧。函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的概念可以結(jié)合函數(shù)圖形并舉出具體例子來(lái)講清楚，這樣間斷點(diǎn)的概念也容易闡述。導(dǎo)數(shù)的概念應(yīng)從物理學(xué)中的變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題和幾何學(xué)中的切線(xiàn)問(wèn)題出發(fā)來(lái)引入，要詳細(xì)介紹在函數(shù)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的具體定義式及其各種等價(jià)變形形式并舉例說(shuō)明。導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算應(yīng)作為一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容加以講解，要講授足夠多的各種例題，也要布置相當(dāng)數(shù)量的課后習(xí)題，達(dá)到讓學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)計(jì)算的教學(xué)目標(biāo)。對(duì)于費(fèi)馬引理、羅爾定理這兩處知識(shí)點(diǎn)可結(jié)合滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的函數(shù)圖形來(lái)輔助證明或只講個(gè)證明概要；對(duì)于拉格朗日中值定理的證明可以從其結(jié)論變形入手聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理來(lái)證明，這一證明技巧有一定的普遍性，在實(shí)際解題時(shí)常會(huì)用到，可以再舉例說(shuō)明。從拉格朗日中值定理結(jié)論得到的拉格朗日中值公式有幾種變形形式也要說(shuō)清楚。拉格朗日中值定理本身的應(yīng)用也應(yīng)舉例加以說(shuō)明。洛必達(dá)法則作為求未定式極限的一種常見(jiàn)方法應(yīng)詳細(xì)舉例說(shuō)明。函數(shù)的單調(diào)性這一部分內(nèi)容可能有的學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過(guò)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況靈活處理這一塊內(nèi)容。曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)這一部分知識(shí)點(diǎn)應(yīng)從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)講授，有關(guān)性質(zhì)的證明則可以簡(jiǎn)單處理。在熟練掌握導(dǎo)數(shù)計(jì)算的情況下，不定積分和定積分的計(jì)算也就不太難了。

三、小結(jié)

教學(xué)方法的使用，課堂教授的側(cè)重都會(huì)影響學(xué)生的受教情況，作為教師要在平時(shí)的教學(xué)中不斷總結(jié)、吸取教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以期能更好的教授微積分課程，讓學(xué)生輕松學(xué)到知識(shí)。

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作者簡(jiǎn)介：

曹坤，男，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教師。