對一元微積分教學的思考

摘 要：本文針對一元微積分課程教學中存在的問題，從教學內容的安排與講授這個方面進行闡述，提出了對一元微積分課程教學改革的一點思考。

關鍵詞：一元微積分；教學；重點

一元微積分在高等數學的教學中具有根本地位，是有關專業學生必修的最基本的數學內容。教好一元微積分對提高高等教育數學教學質量有著相當重要的影響，對其他有關數學類和應用到一元微積分知識的課程的學習也有著不可忽略的影響。因此教師有責任認真思考如何切實改進教學質量。當前的一元微積分教學效果不能令人感到滿意，特別在教學內容的安排與講授這個方面存在探討改進的空間。下面就這方面談點個人的教學體會。

一、教師要科學合理安排有關教學內容

現行大部分各類高等數學教材中一元微積分學中的一部分內容與目前高中數學教材且高考必考的相關內容有重復之處，比如函數基本概念這一部分內容。教師實際授課時要根據所教不同專業學生的高中學習情況，有針對性的對這些內容采取少講、略講或不講的教學安排。對于一元微積分學中的基本而重要的內容應適當多安排一點教學時間，對于那些不算基本內容的知識點應少安排一點教學時間。比如映射的概念、函數極限的概念、函數極限的計算、極限存在準則、重要極限、無窮小與無窮大、函數的連續性、導數的概念、導數的計算、隱函數的導數、由參數方程確定的函數的導數、函數的微分、羅爾定理、拉格朗日中值定理、洛必達法則、函數的單調性、曲線的的凹凸性、函數的極值與最值、不定積分的概念與計算、定積分的概念與計算、級數、微分方程等內容應作為基本教學內容多安排一點教學時間，其他內容如數列的概念、數列極限的證明、數列的有關性質、函數極限的性質、閉區間上連續函數的性質、萊布尼茨公式、費馬引理、柯西中值定理、泰勒公式、反常積分、定積分的應用、向量代數和空間解析幾何等內容可以根據教學實際情況適當安排一定的教學時間。而極限運算法則的證明、兩個重要極限的證明、函數的四則運算的求導法則的證明、復合函數求導法則的證明、柯西中值定理的證明、洛必達法則的證明、泰勒中值定理的證明、定積分的換元法的證明等內容可簡要介紹或不提。

二、教學內容的講授方面根據實際情況重點講解定理與公式，重視微積分中的概念與技巧

在教學內容的講授方面，教師應根據教學實際和不同專業的教學要求適當簡化相對復雜的理論推導和比較長的公式推導或不做推導與證明，把重點放在有關重要定理、基本公式和重要公式的常見的具體應用上，特別要重視一元微積分學中的基礎概念和基本技巧的教學。對數學要求較高的專業，映射的概念作為普通函數概念的推廣有必要詳細介紹，重點講述與普通函數概念的異同點；對數學要求較低的專業，映射的概念可簡要介紹。如何求函數的極限應重點講授，應將常見的題型歸類討論并舉出足夠的例子來講解，課后要布置適當數量的習題使學生熟練掌握函數極限的基本求解技巧。函數在某一點連續的概念可以結合函數圖形并舉出具體例子來講清楚，這樣間斷點的概念也容易闡述。導數的概念應從物理學中的變速直線運動的速度問題和幾何學中的切線問題出發來引入，要詳細介紹在函數某一點導數的具體定義式及其各種等價變形形式并舉例說明。導函數的計算應作為一個重點內容加以講解，要講授足夠多的各種例題，也要布置相當數量的課后習題，達到讓學生熟練掌握導數計算的教學目標。對于費馬引理、羅爾定理這兩處知識點可結合滿足定理條件的函數圖形來輔助證明或只講個證明概要；對于拉格朗日中值定理的證明可以從其結論變形入手聯想到構造輔助函數利用羅爾定理來證明，這一證明技巧有一定的普遍性，在實際解題時常會用到，可以再舉例說明。從拉格朗日中值定理結論得到的拉格朗日中值公式有幾種變形形式也要說清楚。拉格朗日中值定理本身的應用也應舉例加以說明。洛必達法則作為求未定式極限的一種常見方法應詳細舉例說明。函數的單調性這一部分內容可能有的學生在高中學習過，教師應根據學生實際情況靈活處理這一塊內容。曲線的凹凸性和拐點這一部分知識點應從數形結合的角度來講授，有關性質的證明則可以簡單處理。在熟練掌握導數計算的情況下，不定積分和定積分的計算也就不太難了。

三、小結

教學方法的使用，課堂教授的側重都會影響學生的受教情況，作為教師要在平時的教學中不斷總結、吸取教學經驗，以期能更好的教授微積分課程，讓學生輕松學到知識。

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作者簡介：

曹坤，男，安慶師范大學數學與計算科學學院教師。