從一道課本例題出發談條件概率與積事件概率的區別

賴雪洪 劉熹

條件概率與積事件的概率這兩個概念是概率教學的難點，如果不能從本質上把它們搞清楚，那么就會導致在實際應用中把積事件的概率錯誤地當作條件概率的問題，有時還不容易發現錯誤。究其原因，就是沒有把條件概率與積事件概率的概念弄清楚。

筆者在講述人教版高中數學選修2-3條件概率內容時，對P53例2講解時發現，學生對條件概率與積事件概率很難區分。此題為：

一張儲蓄卡的密碼有6位數字，每位數字都可從0～9中任選一個。某人在銀行自動提款機上取錢時忘記了密碼的最后一位數字，求：任意按最后一位數字，第一次按錯，第二次按對的概率。

有不少學生的解法如下：

記={第i次按對密碼}（i=1，2，3），則P（|）==。分析造成錯誤的原因主要是對條件概率和積事件概率的區別沒有弄清楚。

例題中的條件是連續按兩次，相當于從0～9的10個數字中先后取出兩個數字，這樣樣本空間Ω的基本事件總數為10×10=100個，就按對和按錯而言，有如下三種情況：（錯，錯），（錯，對），（對，錯）。其中第一類有9×8=72種結果，第二類有9×1=9種結果，第三類有1×9=9種結果。第二次才按對是上面三類情況中的第二類，也就是說第一次按錯并不是試驗前已經發生的，而是與第二次按對是同時發生的。因此，它不是條件概率，而是積事件概率。而“第一次按錯的條件下，第二次按對”的概率，這里是指在試驗開始前就已經知道“第一次按錯”的這個條件。這樣樣本空間就由{（錯，錯），（錯，對），（對，錯）}三類縮小為{（錯，錯），（錯，對）}兩類，因此這里所求的概率是在第一次按錯后剩下的數字中再按對的概率，即這里所求的概率是附加了條件的事件的概率。根據條件概率的定義，求“在第一次按錯的條件下，第二次按對”的概率才為條件概率。

因此，“第二次按對”與“第一次按錯的條件下，第二次按對”的概率是有本質區別的，前者屬于積事件概率，后者屬于條件概率。所以這道題的正確解法為P（）==。

為在實際問題中快速準確地判定條件概率與積事件概率，一定要讓學生分清隨機試驗中的固有條件和附加條件。積事件概率是隨機事件在固有條件下同時發生的概率，條件概率是在一定附加條件之下發生的事件的概率。而從廣義上講，任何概率都是條件概率，因為任何事件都產生于一定條件下的試驗或觀察，即任何試驗都有其固有條件，附加條件是指除試驗條件之外的附加信息，這種附加信息通常表現為“已知某某事件發生了”。因此，此題中“第一次按錯，第二次按對”顯然是“隨機按密碼的最后一位數字”這個試驗的固有條件，而不是將“第一次按錯”作為“第二次按對”的附加條件。

再例如：10個零件中有8個正品，2個次品，從中任取一個，如果每次取出的是次品，不再放回，再任取一個零件直到取得正品為止。求取得正品前，取出次品1次的概率。

此題較普遍的錯誤解法是P（第一次取得次品，第二次取得正品）=。這種錯誤的解法還是把P（第一次取得次品，第二次取得正品）=P（第一次取得次品）·P（第二次取得正品|第一次取得次品）=，錯誤地理解為P（第二次取得正品|第一次取得次品）=。此題中的固有條件為“直到取得正品為止”;第一次取得次品，第二次取得正品是同時發生的;第一次取得次品不是第二次取得正品的附加條件。