從一道課本例題出發(fā)談條件概率與積事件概率的區(qū)別

賴雪洪 劉熹

條件概率與積事件的概率這兩個(gè)概念是概率教學(xué)的難點(diǎn)，如果不能從本質(zhì)上把它們搞清楚，那么就會(huì)導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中把積事件的概率錯(cuò)誤地當(dāng)作條件概率的問(wèn)題，有時(shí)還不容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。究其原因，就是沒(méi)有把條件概率與積事件概率的概念弄清楚。

筆者在講述人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3條件概率內(nèi)容時(shí)，對(duì)P53例2講解時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)條件概率與積事件概率很難區(qū)分。此題為：

一張儲(chǔ)蓄卡的密碼有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè)。某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：任意按最后一位數(shù)字，第一次按錯(cuò)，第二次按對(duì)的概率。

有不少學(xué)生的解法如下：

記={第i次按對(duì)密碼}（i=1，2，3），則P（|）==。分析造成錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)條件概率和積事件概率的區(qū)別沒(méi)有弄清楚。

例題中的條件是連續(xù)按兩次，相當(dāng)于從0～9的10個(gè)數(shù)字中先后取出兩個(gè)數(shù)字，這樣樣本空間Ω的基本事件總數(shù)為10×10=100個(gè)，就按對(duì)和按錯(cuò)而言，有如下三種情況：（錯(cuò)，錯(cuò)），（錯(cuò)，對(duì)），（對(duì)，錯(cuò)）。其中第一類有9×8=72種結(jié)果，第二類有9×1=9種結(jié)果，第三類有1×9=9種結(jié)果。第二次才按對(duì)是上面三類情況中的第二類，也就是說(shuō)第一次按錯(cuò)并不是試驗(yàn)前已經(jīng)發(fā)生的，而是與第二次按對(duì)是同時(shí)發(fā)生的。因此，它不是條件概率，而是積事件概率。而“第一次按錯(cuò)的條件下，第二次按對(duì)”的概率，這里是指在試驗(yàn)開(kāi)始前就已經(jīng)知道“第一次按錯(cuò)”的這個(gè)條件。這樣樣本空間就由{（錯(cuò)，錯(cuò)），（錯(cuò)，對(duì)），（對(duì)，錯(cuò)）}三類縮小為{（錯(cuò)，錯(cuò)），（錯(cuò)，對(duì)）}兩類，因此這里所求的概率是在第一次按錯(cuò)后剩下的數(shù)字中再按對(duì)的概率，即這里所求的概率是附加了條件的事件的概率。根據(jù)條件概率的定義，求“在第一次按錯(cuò)的條件下，第二次按對(duì)”的概率才為條件概率。

因此，“第二次按對(duì)”與“第一次按錯(cuò)的條件下，第二次按對(duì)”的概率是有本質(zhì)區(qū)別的，前者屬于積事件概率，后者屬于條件概率。所以這道題的正確解法為P（）==。

為在實(shí)際問(wèn)題中快速準(zhǔn)確地判定條件概率與積事件概率，一定要讓學(xué)生分清隨機(jī)試驗(yàn)中的固有條件和附加條件。積事件概率是隨機(jī)事件在固有條件下同時(shí)發(fā)生的概率，條件概率是在一定附加條件之下發(fā)生的事件的概率。而從廣義上講，任何概率都是條件概率，因?yàn)槿魏问录籍a(chǎn)生于一定條件下的試驗(yàn)或觀察，即任何試驗(yàn)都有其固有條件，附加條件是指除試驗(yàn)條件之外的附加信息，這種附加信息通常表現(xiàn)為“已知某某事件發(fā)生了”。因此，此題中“第一次按錯(cuò)，第二次按對(duì)”顯然是“隨機(jī)按密碼的最后一位數(shù)字”這個(gè)試驗(yàn)的固有條件，而不是將“第一次按錯(cuò)”作為“第二次按對(duì)”的附加條件。

再例如：10個(gè)零件中有8個(gè)正品，2個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出的是次品，不再放回，再任取一個(gè)零件直到取得正品為止。求取得正品前，取出次品1次的概率。

此題較普遍的錯(cuò)誤解法是P（第一次取得次品，第二次取得正品）=。這種錯(cuò)誤的解法還是把P（第一次取得次品，第二次取得正品）=P（第一次取得次品）·P（第二次取得正品|第一次取得次品）=，錯(cuò)誤地理解為P（第二次取得正品|第一次取得次品）=。此題中的固有條件為“直到取得正品為止”;第一次取得次品，第二次取得正品是同時(shí)發(fā)生的;第一次取得次品不是第二次取得正品的附加條件。