珠算累加法正態(tài)分布幾何量統(tǒng)計(jì)公式和函數(shù)表

干有成 劉立云 趙霖 黃裕泉

摘 要 古代珠算累加法構(gòu)成累加三角數(shù)表，由N^2推導(dǎo)出的單峰型和雙峰型幾何量數(shù)學(xué)模型、統(tǒng)計(jì)公式 、函數(shù)值以及百分位量表等，都是我國古老的一種統(tǒng)計(jì)方法，它與我們的現(xiàn)實(shí)生活有密切的聯(lián)系，它仍有實(shí)際的使用價(jià)值，真可謂是小算盤中有大學(xué)問，但是現(xiàn)在已近失傳，現(xiàn)在整理如下。

關(guān)鍵詞 累加法三角數(shù)表 單峰型對稱分布 雙峰型對稱分布 累加法統(tǒng)計(jì)公式 累加法數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：O211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.008

Abstract The cumulative number of triangle is derived from Chinese ancient beaded plate， single peak type and double peak type of geometrical symmetric distribution and its statistical formula function table and scales they are derived from “N^2”.This is a n ancient method of statistics， but it has a close relationship with our real life. It still has practical application value but almost lost now.

Key words cumulative number of triangle； single peak symmetric distribution； double peak symmetric distribution； statistical formula of accumulative method； mathematical model of accumulative method

1 中國古代珠算累加三角數(shù)表：

古代珠算累加法是由N^2推演而來，當(dāng)N=2時(shí)，1+2+1=4；當(dāng)N=3時(shí)，1+2+3+2+1=9；當(dāng)N=4時(shí)，1+2+3+4+3+2+1=16。珠算累加法是珠算基礎(chǔ)訓(xùn)練的方法，它既形象又直觀地展現(xiàn)對稱分布相關(guān)數(shù)據(jù)的規(guī)律（表1），頻數(shù)公差為“1”頻數(shù)分布和量表呈現(xiàn)三角形，此乃為珠算累加三角數(shù)表。

2 中國古代珠算累加法統(tǒng)計(jì)公式：

2.1 累加法單峰統(tǒng)計(jì)公式的推導(dǎo)（表2）

2.2 累加法雙峰統(tǒng)計(jì)公式的推導(dǎo)：（表3）

2.3 累加三角統(tǒng)計(jì)公式：

3 累加三角“正態(tài)分布幾何量”數(shù)學(xué)模型①

幾何量計(jì)量是十大計(jì)量方法之一，“量塊”是幾何量的一種，它的橫截面為矩形，量塊形狀簡單，量值穩(wěn)定。

古代珠算累加法，累加頻數(shù)級差為“1”，對應(yīng)的量表量公差也為“1”，以正方形“量塊”為計(jì)量單位所構(gòu)成的塔形三角的即為累加三角幾何量數(shù)學(xué)模型（圖1）。將頻數(shù)和對應(yīng)的量表數(shù)轉(zhuǎn)化成“0”為起點(diǎn)的二維坐標(biāo)實(shí)體的“量塊幾何圖，例如方塊累加和倒加，結(jié)果成為單峰型塔形正態(tài)分幾何圖和雙峰型正態(tài)分布幾何圖。

4 古代珠算累加三角幾何量數(shù)學(xué)模型②和中國傳統(tǒng)五級百分及其百分位函數(shù)表（表4）

中國古代五級百分考試成績幾何量量表為（0-50），將基數(shù)“0”改為“50”，則百分制的量表為（50-100），這是中國古代的一大發(fā)明。這個發(fā)明可以解決當(dāng)今世界的一大難題，60分以下為不及格（E），故被學(xué)生戲稱為“60分”為“萬歲分”，而不用補(bǔ)考。60～69為及格（D），70～79為中級（C），80～89為良級（B），90-100為優(yōu)級（A）。

根據(jù)累加雙峰統(tǒng)計(jì)公式：因?yàn)榱勘頌?N=500，所以雙峰值N=250；頻數(shù)累加總和=N^2+N=250^2+250=62750；根據(jù)累加頻數(shù)統(tǒng)計(jì)公式：（N^2）/2+N/2計(jì)算，分別計(jì)算出量表數(shù)（100、200、250）的累加頻數(shù)為（5050、20100、31375）；根據(jù)累加百分位統(tǒng)計(jì)公式：累加頻數(shù)/頻數(shù)總數(shù)，分別計(jì)算其累加百分位為（0.08、0.32、0.5）；因?yàn)槭菍ΨQ分布，所以量表數(shù)（300、400、500）的累加百分位分別為（0.68、0.92、1）。任何人都可以根據(jù)公式計(jì)算出500分位即（0-500）＼（500-1000）中的每一分的百分位（百分率），分辨率降低一個數(shù)量級即為（0-50）＼（50-100）的五級百分位函數(shù)值（表4）。

優(yōu)（A）級（90-100），其占有量為8%，即8%的原始分應(yīng)轉(zhuǎn)換成優(yōu)（A）級，并可轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的90-100分；良（B）級（80-90），其占有量為32%-8%=24%，即24%的原始分應(yīng)轉(zhuǎn)換成良（B）級，并可轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的80-90分；同理中（C）級（70-80），其占有量為68%-32%=36%，即36%的原始分應(yīng)轉(zhuǎn)換成中（C）級，并可轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的70-80分；而及格（D）級（60-70），其占有量為24%，即24%的原始分應(yīng)轉(zhuǎn)換成及格（D）級，并可轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的60-70分；不及格為（E）級（50-59），其占有量為8%，即8%的原始分應(yīng)為不及格（E）級。

以古代珠算累加法統(tǒng)計(jì)公式（（n^2/2+n/2）/（N^2+N））， （n^2/2+n/2）/62750），“n”為自然數(shù)變量（0-250）。將“n”代入公式，就能輕而易舉地計(jì)算出正態(tài)分布五級百分位上每一分所對應(yīng)的百分位（表4），簡明直觀而精準(zhǔn)。

5 古代珠算累加三角幾何量數(shù)學(xué)模型和考試成績原始分轉(zhuǎn)換③

我國古代五級百分有四個閾值點(diǎn)（圖3）：“60”（0.08）、“70”（0.32）、“80”（0.68）、“90”（0.92）。所有考試成績原始分都不呈正態(tài)分布，但是通過四個閾值點(diǎn)的百分位就能將原始分分為對應(yīng)的五級（50-60-70-80-90-100）；再分別從五級原始分中，確定每一級的最高分（H）和最低分（L）（詳見中國科舉”五級百分”計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)研究（一）表1）；將原始分代入公式：[（X-L）/（H-L）]？0+閾值分，就能將原始分轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的五級百分標(biāo)準(zhǔn)分。

例如：XX高級中學(xué)XX班三學(xué)科期終考試成績原始分轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的五級百分。④三學(xué)科原始分的最高分分別為“86、 100、96”，皆等值為“100”，跨域閾值“0.08”的原始分皆等值為“90”，跨域閾值“0.32”的原始分皆等值為“80”，跨域閾值“0.68”的原始分皆等值為“70”，跨域閾值“0.92”的原始分皆等值為“60”；將原始分“X”，分別代入閾值區(qū)原始分等值公式：[（X-L）/（H-L）]？0+閾值分，其轉(zhuǎn)換分即為五級百分正態(tài)分布的“標(biāo)準(zhǔn)分”。

6 結(jié)論

根據(jù)我國古代珠算累加法構(gòu)成的三角數(shù)表，可分為單峰型和雙峰型兩種；根據(jù)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)公式，可以精確地計(jì)算其量表上五級百分序列上的每一分所對應(yīng)的百分位，這是西方教育統(tǒng)計(jì)學(xué)至今無法精確計(jì)算的一種表達(dá)方式；根據(jù)五級百分位上四個閾值點(diǎn)的百分位，可將群體考試成績的原始分從頻數(shù)百分位量值上等值，化分成正態(tài)分布的五個閾值區(qū)；再根據(jù)線性等值轉(zhuǎn)換公式，就可將群體考試成績的原始分在等距量表上轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)分。

注釋

① 史永剛，馮新瀘，李子存.化學(xué)計(jì)量學(xué).中國石化出版社，2015.

② 黃裕泉，樊正忠，陳彩安.遺傳學(xué).高等教育出版社，1995.

③ 趙壽元，黃裕泉.人類遺傳學(xué)概論.復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.

④ 張厚粲，徐建平.現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué).高等教育出版社，2009.