珠算累加法正態分布幾何量統計公式和函數表

干有成 劉立云 趙霖 黃裕泉

摘 要 古代珠算累加法構成累加三角數表，由N^2推導出的單峰型和雙峰型幾何量數學模型、統計公式 、函數值以及百分位量表等，都是我國古老的一種統計方法，它與我們的現實生活有密切的聯系，它仍有實際的使用價值，真可謂是小算盤中有大學問，但是現在已近失傳，現在整理如下。

關鍵詞 累加法三角數表 單峰型對稱分布 雙峰型對稱分布 累加法統計公式 累加法數學模型

中圖分類號：O211.3 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.008

Abstract The cumulative number of triangle is derived from Chinese ancient beaded plate， single peak type and double peak type of geometrical symmetric distribution and its statistical formula function table and scales they are derived from “N^2”.This is a n ancient method of statistics， but it has a close relationship with our real life. It still has practical application value but almost lost now.

Key words cumulative number of triangle； single peak symmetric distribution； double peak symmetric distribution； statistical formula of accumulative method； mathematical model of accumulative method

1 中國古代珠算累加三角數表：

古代珠算累加法是由N^2推演而來，當N=2時，1+2+1=4；當N=3時，1+2+3+2+1=9；當N=4時，1+2+3+4+3+2+1=16。珠算累加法是珠算基礎訓練的方法，它既形象又直觀地展現對稱分布相關數據的規律（表1），頻數公差為“1”頻數分布和量表呈現三角形，此乃為珠算累加三角數表。

2 中國古代珠算累加法統計公式：

2.1 累加法單峰統計公式的推導（表2）

2.2 累加法雙峰統計公式的推導：（表3）

2.3 累加三角統計公式：

3 累加三角“正態分布幾何量”數學模型①

幾何量計量是十大計量方法之一，“量塊”是幾何量的一種，它的橫截面為矩形，量塊形狀簡單，量值穩定。

古代珠算累加法，累加頻數級差為“1”，對應的量表量公差也為“1”，以正方形“量塊”為計量單位所構成的塔形三角的即為累加三角幾何量數學模型（圖1）。將頻數和對應的量表數轉化成“0”為起點的二維坐標實體的“量塊幾何圖，例如方塊累加和倒加，結果成為單峰型塔形正態分幾何圖和雙峰型正態分布幾何圖。

4 古代珠算累加三角幾何量數學模型②和中國傳統五級百分及其百分位函數表（表4）

中國古代五級百分考試成績幾何量量表為（0-50），將基數“0”改為“50”，則百分制的量表為（50-100），這是中國古代的一大發明。這個發明可以解決當今世界的一大難題，60分以下為不及格（E），故被學生戲稱為“60分”為“萬歲分”，而不用補考。60～69為及格（D），70～79為中級（C），80～89為良級（B），90-100為優級（A）。

根據累加雙峰統計公式：因為量表為2N=500，所以雙峰值N=250；頻數累加總和=N^2+N=250^2+250=62750；根據累加頻數統計公式：（N^2）/2+N/2計算，分別計算出量表數（100、200、250）的累加頻數為（5050、20100、31375）；根據累加百分位統計公式：累加頻數/頻數總數，分別計算其累加百分位為（0.08、0.32、0.5）；因為是對稱分布，所以量表數（300、400、500）的累加百分位分別為（0.68、0.92、1）。任何人都可以根據公式計算出500分位即（0-500）＼（500-1000）中的每一分的百分位（百分率），分辨率降低一個數量級即為（0-50）＼（50-100）的五級百分位函數值（表4）。

優（A）級（90-100），其占有量為8%，即8%的原始分應轉換成優（A）級，并可轉換成對應的90-100分；良（B）級（80-90），其占有量為32%-8%=24%，即24%的原始分應轉換成良（B）級，并可轉換成對應的80-90分；同理中（C）級（70-80），其占有量為68%-32%=36%，即36%的原始分應轉換成中（C）級，并可轉換成對應的70-80分；而及格（D）級（60-70），其占有量為24%，即24%的原始分應轉換成及格（D）級，并可轉換成對應的60-70分；不及格為（E）級（50-59），其占有量為8%，即8%的原始分應為不及格（E）級。

以古代珠算累加法統計公式（（n^2/2+n/2）/（N^2+N））， （n^2/2+n/2）/62750），“n”為自然數變量（0-250）。將“n”代入公式，就能輕而易舉地計算出正態分布五級百分位上每一分所對應的百分位（表4），簡明直觀而精準。

5 古代珠算累加三角幾何量數學模型和考試成績原始分轉換③

我國古代五級百分有四個閾值點（圖3）：“60”（0.08）、“70”（0.32）、“80”（0.68）、“90”（0.92）。所有考試成績原始分都不呈正態分布，但是通過四個閾值點的百分位就能將原始分分為對應的五級（50-60-70-80-90-100）；再分別從五級原始分中，確定每一級的最高分（H）和最低分（L）（詳見中國科舉”五級百分”計量標準研究（一）表1）；將原始分代入公式：[（X-L）/（H-L）]？0+閾值分，就能將原始分轉換成正態分布的五級百分標準分。

例如：XX高級中學XX班三學科期終考試成績原始分轉換成正態分布的五級百分。④三學科原始分的最高分分別為“86、 100、96”，皆等值為“100”，跨域閾值“0.08”的原始分皆等值為“90”，跨域閾值“0.32”的原始分皆等值為“80”，跨域閾值“0.68”的原始分皆等值為“70”，跨域閾值“0.92”的原始分皆等值為“60”；將原始分“X”，分別代入閾值區原始分等值公式：[（X-L）/（H-L）]？0+閾值分，其轉換分即為五級百分正態分布的“標準分”。

6 結論

根據我國古代珠算累加法構成的三角數表，可分為單峰型和雙峰型兩種；根據相關的統計公式，可以精確地計算其量表上五級百分序列上的每一分所對應的百分位，這是西方教育統計學至今無法精確計算的一種表達方式；根據五級百分位上四個閾值點的百分位，可將群體考試成績的原始分從頻數百分位量值上等值，化分成正態分布的五個閾值區；再根據線性等值轉換公式，就可將群體考試成績的原始分在等距量表上轉換成正態分布的標準分。

注釋

① 史永剛，馮新瀘，李子存.化學計量學.中國石化出版社，2015.

② 黃裕泉，樊正忠，陳彩安.遺傳學.高等教育出版社，1995.

③ 趙壽元，黃裕泉.人類遺傳學概論.復旦大學出版社，1996.

④ 張厚粲，徐建平.現代心理與教育統計學.高等教育出版社，2009.