淺談極限的計算方法與技巧

呂淑君

【摘 要】極限是高等數(shù)學重要的基本概念之一，是貫穿高等數(shù)學的一條主線，靈活掌握極限的計算是學好高等數(shù)學的基礎。極限的計算方法很多，非常靈活，比如極限的四則運算法則、兩個重要極限、等價無窮小的代換、洛必達法則等。

【關鍵詞】極限；計算；兩個重要極限；等價無窮小；洛必達法則

1 引言

極限概念是深入研究函數(shù)變化性態(tài)的一個最基本概念，極限方法是數(shù)學中最重要的一種思想方法，是微積分學的基礎。早在中國古代，極限的樸素思想和應用就已在文獻中有記載。例如，魏晉時代的數(shù)學家劉徽在《九章算術》中利用割圓術，用圓內接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計算圓周率。隨著微積分學的誕生，極限作為高等數(shù)學中的一個概念被明確提出。但最初提出的這一概念是比較含糊的，因此在數(shù)學界引起不少爭論。直到19世紀，由柯西、魏爾斯特拉斯等人才將其置于嚴密的理論基礎之上，從而得到了世界的公認。

2 極限的幾種計算方法

2.1 利用無窮小量的性質和等價無窮小的代換求極限

2.1.1 無窮小量有下列重要性質：

2.1.1.1 有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量；

2.1.1.2 有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量；

2.1.1.3 常量與無窮小量的乘積為無窮小量；

2.1.1.4 有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量。

當 時，有下列常見等價無窮小：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（為非零常數(shù)）。

2.1.2 利用等價無窮小代換求極限時應注意以下問題：

2.1.2.1 等價無窮小代換只能對分子或分母中的因式進行代換.

2.1.2.2 在乘除運算中才可以將無窮小用其簡單的等價無窮小去替換.

例1：求極限

解：因為當時，x為無窮小量，且，即為有界變量，

由性質（4）得=0.

例2：求極限

解：原式=

例3：求極限

解： 原式

2.2利用極限的四則運算法則求極限

定理1：設，則

①；

②；

③.

也就是說，如果兩個函數(shù)的極限都存在，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商的極限分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為分母的函數(shù)的極限不能為0）.

由上述定理可以得到下面的推論

推論：設，

①若C為常數(shù)， 則；

②若n為正整數(shù)，則.

上述法則及推論對于，等情形均成立.

例1：求極限

解：原式==8

在應用極限的四則運算法則時，通常需要先對函數(shù)做某些恒等變換或化簡，變換的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比較最高次冪法等。

例2：求極限

解： 原式=

例3 求極限

解：原式=

=

例4：求極限

解：原式=

==

例5：求極限

解：原式=

對于此極限，我們有一個一般的結果，用數(shù)學式子可表示為：

（l、m為正整數(shù)；al， ……，a0，bm， ……b0為常數(shù)且al·bm≠0）.

2.3利用兩個重要極限求極限

2.3.1

該重要極限在極限計算中有重要作用，它在形式上有以下特點：

①它是型未定式.

②它可以寫成（（ ）代表同樣的變量或同樣的表達式）.

例1：求極限.

解： 原式=

例2：求極限

解： 原式=

2.3.2

該重要極限在形式上有以下特點：

①它是型未定式.

②它可寫成或.

例1：求極限

解：原式=

例2：求極限

解：原式=

2.4 利用洛必達法則求極限

2.4.1 型未定式

定理1：洛必達法則Ⅰ：若函數(shù)f （x）與g（x）滿足條件

①；

②和在點x0 的附近（點x0 可除外）可導，且；

③存在（或無窮大）.

則=

上述法則對時的型未定式同樣適用.

例1 求

解： 原式=

2.4.2 型未定式

定理2：洛必達法則Ⅱ：若函數(shù)f （x）與g（x）滿足條件

①；②和在點x0 的附近（點x0 可除外）可導，且；③存在（或無窮大）.

則=

上述法則對時的型未定式同樣適用.

例2：求

解：原式=

注：利用洛必達法則不僅可以解決型和型未定式的極限問題，還可以解決0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等類型的未定式極限問題，解決這些類型未定式的方法，就是經過適當?shù)淖儞Q，將它們化為 型或型未定式的極限。

3 結論

極限的計算方法靈活多樣，根據(jù)題目的特點，合理選擇運算方法是關鍵，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。

參考文獻：

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