淺談數形結合在初中數學解題中的應用

何勝鳳

【摘要】數學作為研究空間形式和數量關系的一門學科，數與形是數學教學的雙基。通過數形結合思想，不僅可將抽象的數學問題形象化，還可以大大簡化解題步驟。對此，文章從數形結合概念入手，就數形結合在集合問題和不等式問題中的應用進行探討，從而為數學教學提供參考。

【關鍵詞】數形結合 解題 不等式

數形結合作為數學學科中的基本思想，對培養學生思維能力具有重要作用。通過數形結合思想，可讓學生在教學活動中更加直觀的理解不同的數學知識點，從而大大提高教學效率，增強學生解決問題的能力。

一、數形結合的概念

數形結合是一種直觀的教學方式，它將原本生硬的相互學的理論知識賦予了更多圖形化的方式，并通過板書、多媒體等方式呈現給學生。研究認為，在初中數學中利用數形結合思想，可將原本枯燥和抽象的數學語言、數量關系等轉換為更加直觀的的結合圖形，從而回歸到數學的本質——“數”與“形”，最終讓學生更加簡單、直觀的理解和掌握數學知識點。

二、數形結合在初中數學教學中的作用

數形結合思想被廣泛用在數學教學的各個階段，隨著數形結合思想在數學教學中的融入，教師可更加直觀的將數學問題呈現給學生，而學生也可以清晰的了解問題，并大大激發學生對問題的興趣和愛好。通過數形結合方法，不僅可以鍛煉學生的空間幾何思維，還可提高數學分析能力。可以說，數形結合方法在培養學生能力方面發揮著獨特的作用，并成為當前初中數學的一種重要教學方式。具體來看，數形結合方法的作用主要表現在以下幾個方面：第一，結合數形結合方法，有助于提升學生求解與函數相關的代數題和幾何題；第二，通過數形結合方法，可通過直觀的圖像和模型幫助學生理解數學問題；第三，通過函數途徑或者是幾何圖形可幫助學生更好的進行數學方程式的求解；數形結合有助于求解與幾何量相關的函數不等式問題。

三、數形結合在解題中的實際應用

3.1集合問題

在集合的運算中，通常采用數軸、韋恩圖來表示。通過圖形直觀的將不同集合之間的關系反映出來，從而讓學生對問題一目了然，并大大簡化了問題，讓集合運算變得快捷。

【例題1】某學校先后舉辦了數學、歷史、音樂等三場知識講座，其中有75人聽了數學講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，17人同時聽了數學、歷史講座，12人同時聽了數學、音樂講座，9人同時聽了歷史音樂、講座，還有6人聽了全部講座，求聽講座的人數。

分析：對于該問題的求解，如果單純依靠學生的想象是非常難求解的。因此，在求解中，利用韋恩圖將上述的集合關系表示出來，從而我們可以得到不同集合之間的數量關系。

在圖1中，聽數學和歷史講座的人數、聽音樂和歷史講座的人數、聽數學和音樂講座的人數，以及三者都聽的人數即可直觀的反應出來。由于75人聽了數學講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，那么三組共有75+68+61人。同時根據容斥原理可知，即可求解得到聽講座總人數。

解：68+75+61-（17+12+9）+6=204-38+6=172.

所以，聽講座的人數為：172人。

總結：在該問題中，通過數形結合思想，其本質就是將比較抽閑的集合問題直接轉換為比較生動的圖形化語言，從而讓學生更加清晰的了解不同集合的交集、并集等。這種解題方法就是數形結合思想的體現。在解決這類問題中，讓學生充分掌握好韋恩圖原理，并靈活運用，對提高學生的解決技巧和思維能力具有重要作用。

3.2不等式問題

在初中數學中，不等式問題是一個重要的組成部分。而不等式的計算與等式的計算之間存在的唯一不同就是不等式通常是一個集合，而不是一個常數。在求解中，要找到不等式的解，通常需要結合數軸。因此，在對不等式相關知識進行教學過程中，我通常將數形結合思想滲透到課堂中，這樣不僅可以提高課堂效率，也有利于學生具備不等式的解題能力。

【例題2】求解不等式

分析：在對干不等式進行求解的過程中，我們通常都是先分別對不同的不等式進行求解，然后通過數軸畫出不等式的解的范圍；然后再求解不同不等式的解的集合。

解：對不等式①進行求解，從而得到①式

對②式進行求解，得到

將不等式①、②的解的結合通過數軸畫出，從而可以得到圖2.

通過圖2可以得出：

不等式①、②的共同解為

總結：根據數軸可直觀的將不同不等式的解的范圍展現出來，從而通過數軸即可了解不等式的解的關系。但是，在課堂教學中，將數形結合思想應用到數軸中，其最為關鍵的問題是要掌握 和 之間的方向問題，這樣才能更加準確的得出結果。可見他，通過數形結合方法，可大大展提高學生的解題能力，也讓學生對問題更加直觀。

結束語

總之，數形結合作為數學的一個重要特點，對培養和提高學生的數學思維具有重要作用。通過數形結合思想的應用，也將原來比較枯燥、抽象的數學問題轉換為相應的圖形，從而大大增強了數學課堂的趣味性。同時，我們也要認識到數形結合思想的培養不是幾節課即可培養，而需要長期潛移默化的運用，才能更好的提升學生的數學思維。

【參考文獻】

[1]杜遠堂.數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].語數外學習：初中版下旬，2014（07）.

[2]沈凌云.初中數學教學中數形結合思想的培養[J].數學教學通訊，2014（31）.