線性代數(shù)的一些代數(shù)式的改寫技巧

方又超

摘 要：線性代數(shù)里有大量的代數(shù)式，其中一些代數(shù)式的表現(xiàn)形式是多樣的，可對它們作不同形式的改寫。選用不同形式的代數(shù)式，相當(dāng)于選擇不同的解決數(shù)學(xué)問題的方法，體現(xiàn)了代數(shù)技巧與代數(shù)方法的統(tǒng)一性。

關(guān)鍵詞：代數(shù)式；改寫技巧；轉(zhuǎn)置；對稱變換

一、引言

在講授線性代數(shù)的過程中，經(jīng)常要處理一些代數(shù)式，對于同一個代數(shù)式，它的形式有可能是多樣的。教師選擇不同的形式，有可能影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。實(shí)際情況表明，多數(shù)學(xué)生對長串的代數(shù)式心生畏懼，寫出這樣的代數(shù)式，還沒有往下處理，他們就放棄了。這給線性代數(shù)的課堂教學(xué)提出了要求，面對一些難處理的代數(shù)式，不能照搬教材，但又不能脫離教材，要把握住其中的“度”，通常就是要理解、認(rèn)識這些代數(shù)式的多張面孔，即是掌握改寫它們的技巧。下面總結(jié)了線性代數(shù)的一些常見的代數(shù)式的改寫方法。

二、矩陣乘法的改寫技巧

矩陣乘法滿足行乘列規(guī)則，通常用行向量乘列向量的方法計(jì)算兩個矩陣的乘積。設(shè)是一個數(shù)域，，，且是的個列向量，

是的個行向量。則與的乘積可以改寫成

（1）式聯(lián)合下面的引理可得到矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律（AB）T=BTAT的一個新證明。

三、線性方程組的表示式的改寫技巧

線性方程組的理論和方法是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的切入點(diǎn)，學(xué)習(xí)線性方程組的理論和方法相當(dāng)于訓(xùn)練線性代數(shù)的基本功，這一基本功過關(guān)了，才能為后繼學(xué)習(xí)提供保障。線性方程組的表現(xiàn)形式有三種，學(xué)習(xí)了矩陣乘法之后，一般的線性方程組表示式：