數學建模之太陽影子定位模型

李超　姜娟娥　王俊瑞　郭秀娟

摘 要：本文針對太陽影子定位技術，通過太陽與地球相對運動的規律建立了太陽影子定位模型.利用最小二乘法原理分析了不同地點、不同季節影子長度的形成規律及變化趨勢，運用MATLAB軟件進行了曲線擬合分析，得出了不同地區經緯度與影子變化的模型，并運用建立的模型對實際問題進行了可行性分析，最后通過分析視頻中物體影長的變化，確定了視頻拍攝的地點和日期。

關鍵詞：太陽高度角；赤緯角；MATLAB；最小二乘法；曲線擬合

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）32-0229-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.32.146

一、引言

現代技術的發展使得人們能夠方便地記錄高質量的視頻文件。在分析視頻材料時，需要確定視頻的拍攝地點和日期，而利用太陽影子定位技術對視頻中的太陽影子變化進行分析是確定視頻拍攝的地點和日期的一種重要方法。本文在已有研究的基礎上主要解決四個問題。問題一：根據已知條件和經度、緯度、時差之間的內在聯系建立數學模型，并用MATLAB制作出直桿的太陽影子的變化曲線圖；問題二：根據坐標數據和數學模型，確定太陽的赤緯，得出所求地的緯度值，最后由Google地圖軟件搜尋出可能存在的地點；問題三：根據模型和影子頂點坐標得出可能地點的經緯度，建立三維立體緯度模型，同時通過MATLAB對所得的坐標數據曲線擬合分析得出對應的經、緯度，得出可能的地點；問題四：對附件中的視頻進行分析，抽出每四分鐘的圖像，用灰度處理圖像得出桿長和影長，再與實際桿長對比得出該段之間內影長變化趨勢，根據模型確定可能的拍攝地點。

最后對模型進行局部分析和檢驗，通過改進，該模型給我們提供了一個從視頻中讀取數據再進行定位的方法。

二、模型假設與符號說明

（一）模型假設

1.北京時間為標準時間。

2.地球是一個光滑的理想球體。

3.太陽光直射地球途中無遮擋物且不受大氣層影響。

4.觀測影子變化途中天氣晴朗。

（二）符號說明（見表1）

三、模型的建立與求解

（一）問題一：模型的建立與求解

1.模型的建立。通過對問題的分析建立天安門廣場（北緯39度54分26秒，東經116度23分29秒）3米高直桿的太陽影子長度變化曲線的模型。一天時間內太陽高度角的變化與地方時和太陽赤緯的變化密切相關，對于地球上的某個地點，太陽高度角隨著地方時和太陽赤緯角的變化而變化，如圖1所示。

通過圖形和各個角度的關系得到太陽高度角的計算公式，從而建立了影子長度變化的三角函數模型：，根據太陽赤緯角計算公式

將以上三式代入（1）式解得，再將代入模型可解得太陽高度角的正弦值為。

圖2為固定直桿在太陽光照射下的影子，其中H=3 （單位：米），可得固定直桿影長公式為，聯立以上式子可得影長公式為：

（2）

2.模型的求解。利用Matlab軟件編寫程序分析影子長度關于太陽高度角、太陽赤緯、地方時日期時間的變化規律，可得2015年10月22日北京時間9：00-15：00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒，東經116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線，如圖3所示。

根據圖像分析，在北京9：00到12：00之間太陽照射固定直桿的影子從大約6米逐漸遞減到大約3.6米，正午12：00以后太陽的影子又開始逐漸增長。

利用Matlab軟件編寫程序分析影子長度隨經度和緯度變化的圖像，如圖4根據圖像與已知條件分析可得，在不同地區相同的時間內（存在時間差）同一直桿長度的影子變化情況為：

（1）在不同的地方直桿影子的變化趨勢基本相同，但在同一時刻直桿的影子隨著經緯度的變化而變長。

（2）在每個地區直桿影子最短的時刻是在中午12點左右，但在12：00之前直桿的影子由長變短，12點以后直桿的影子逐漸變長。利用Matlab軟件編寫程序繪制不同日期、相同地方、相同時間段內的直桿影子變化情況，如圖5所示。

根據圖像可知，相同長度直桿的影子的變化趨勢基本相同，但是在不同的日期、相同的時間點上影子的長度不相同。在中午12時，7月的影子最短，1月的影子最長。由此可知，影子的長度與季節有關，而季節的交替變更與日期有關。這說明影子的長度受日期的影響。

（二）問題二：模型的建立與求解

為了解決問題二，我們需運用最小二乘法基本原理③求出誤差平方和最小的擬合。在實驗過程中實驗數據不可能精確獲得，往往有一定的誤差。為了盡量減少誤差，需要用一個擬合函數，使擬合函數在處的函數值與對應的實驗實測數據值形成誤差平方和最小值。 這就是最小二乘法。

通過分析上述問題，根據固定直桿的太陽影子頂點坐標數據，建立了三角函數數學模型，并且分析了直桿影子的變化趨勢。在此基礎上，通過反解倒推確定直桿所處的經緯度，建立了直桿影長與經緯度相關的數學表達式，并且應用最小二乘法曲線擬合的方法確定直桿所處的地點進行擬合分析得。因赤緯角日變化很小，一年內任何一天的赤緯角用下式計算：。其中N為日數，自每年1月1日開始計算P為真太陽時，a為北京標準差，Q為時差， （x，y）表示影子在平面內的坐標點，p=a+q，，， 聯立這四個式子建立緯度與經度的數學模型為：

其中 ，

。

應用Matlab軟件編寫的程序對上述建立的數學模型進行擬合分析，如圖6所示。該圖是緯度117.78度，經度25.245度時的擬合情況。根據圖像的變化趨勢和最小二乘法的原理可以估計出實際的直桿位置，實際影子的長度與模型影子的長度之間的吻合程度比較接近。在14：42到15：20的時間段內，實際影長的曲線與模擬影長的曲線之間的距離漸漸接近，到15：20左右以后實際影長與模型影長之間曲線的接近程度減弱。

圖7為緯度116.34度、經度25.248度時的擬合情況，表示的是實際影子長度和模型影子長度的擬合情況，由圖像的變化趨勢和最小二乘法的原理可以觀測出在14.6到15的范圍內有重合點，在范圍以外也很接近，預測模型和實際模型的擬合度好，則預測模型的緯度116.34度、經度為25.248度的可以近似代替的經緯度。

（三）問題三：模型的建立與求解

根據某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，應用上述所建立的模型一與模型二采用了最小二乘法非線性擬合的方法變量經緯度與日期進行預測，用MATLAB軟件編程繪制出的影子長度與時間的變化曲線圖，如圖8所示。

為檢驗模型的準確性，在地理位置緯度為160.51度，經度為5.5869度，積日為329.54秒內太陽光照射下模型影長與實際影長之間的長度較為接近，而且由圖8可以進一步看出在13.10這一時間左右直桿的實際影長與模型影長大體一致，從而可以說明該模型可實施。

（四）問題四：模型的建立與求解

根據視頻中已知直桿的影子變化情況，抽取出每兩分鐘的圖像，再通過灰度處理圖像得出視頻中直桿影子的長度隨時間變化而變化，如表2所示。所得數據應用所計算的數據建立有關經度與維度的模型，通過該模型的建立可以估計出測量時的地點，如表3所示。

如果拍攝日期未知，可以利用以上問題二的模型來確定拍攝的日期。

四、模型的評價

（一）模型優點

本文經過數據的合理處理，采用三角函數模型、最小二乘法模型并對模型，進行局部分析和檢驗。該模型給我們提供了一個從視頻中讀取數據并進行定位的方法。它在實際生活中具有較強的適用性，應用前景非常廣闊。

（二）模型缺點

由于所采用的數據樣本、讀取數據和測量時的誤差，對模型造成了數據對比方面的不平衡，加上考慮問題時忽視了天氣變化對現實中太陽直射地面時桿影的影響，從而導致桿影的測量值與真實值之間存在誤差。另外，在視頻的截取技術方面還存在一定的誤差，導致測量視頻中直桿影子的長度時存在誤差。