§1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（第3課時）教學案例

姜有軍

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）10-036-01

教學目標：

1. 使學生會根據觀測數據的特點來選擇不同的回歸模型。

2. 使學生通過探究體會到有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型。

教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法。

教學難點：了解函數的圖象特點，選擇不同的模型建模。

教學過程：

一、復習提問（多媒體課件展示，學生回顧所學內容5分鐘之內回答）

1.回歸分析，其步驟；2. 線性回歸模型；3. 衡量回歸方程的預報精度的方法；（1）殘差平方和法 （2）殘差圖法（3）利用相關指數R2刻畫回歸效果。

4. 建立回歸模型的基本步驟 。

設計目的：通過反復，主要讓學生熟練掌握回歸分析的基本思想和步驟，以及掌握衡量回歸方程的預報精度的方法。

二、引入新課

一只紅鈴蟲的產卵數和溫度有關，現收集了7組觀測數據列于下表中，試建立與之間的回歸方程。

教師：先來分析這道題的解題思路？

學生：先作散點圖。后根據圖求對應的方程。

（教師讓學生描述求回歸方程的步驟，第一步：作散點圖，第二步：確定回歸方程的類型，第三步：求方程。教師演示用電腦做好的散點圖）

教師：觀察右圖中的散點圖，它們是線性相關嗎？

學生：發現樣本點并沒有分布在某個帶狀區域內，即兩個變量不呈線性相關關系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系.

三、講授新課：（探究非線性回歸方程的確定）

教師： 如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區域，就需選擇非線性回歸模型來建模，本節課就來探討如何建立它的模型？

（學生合作交流， 根據散點圖找近似的函數模型）

學生：根據已有的函數知識，可以發現樣本點分布在某一條指數函數曲線的周圍（其中是待定的參數），故可用指數函數模型來擬合這兩個變量。

學生：也可以看成二次型函數y=c3x2+c4來做。

教師：很好，看來同學們預習的不錯！接下來先研究y=c1e ，如何待定方程中c1與c2？

學生： 在上式兩邊取對數，得lny=c2x+lnc1，再令z=lny，則z=c2x+lnc1，而z與x間的關系如下：

觀察與的散點圖，可以發現變換后樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合。

教師：既然找到了方法同學們自己完成。

（學生利用計算器在10分鐘內算得a=-3.843，b=0.272，z與x間的線性回歸方程為z=0.272x-3.843，因此紅鈴蟲的產卵數對溫度的非線性回歸方程為y=e0.272x-3.843.）

教師：根據散點圖就一定能得到這是以e為底的指數型函數嗎？其它底數的指數型函數可以嗎？如果設行嗎？（通過不斷提問，發散學生的思維）（大多數學生半信半疑，等待教師引導，有個別學生茅塞頓開）

學生甲：可以，同樣可以待定c，a.

教師：如何待定c，a？

學生甲：將兩邊取以a為底的對數？

教師：非常棒！但以a為底的對數方便查表嗎？

學生乙：噢，但可以取常用對數呀。

（此時課堂氣氛已到了一個小高潮，同學們都在積極思考，感覺才像用數學解決問題。）

教師：很好！那我們來一起完成它。

因為，y=cax，所以，lgy=lg（cax），即，lgy=lgc+xlga，令z=lgy ， lgc=b，lga=d，則z=dx+b，它是線性的，再利用最小二乘法求出d，b，再進一步算出y關于x的方程。看來這樣也是可以算出其對應的方程。

教師：我們再來研究同學們前面提到的二次型函數 y=c3x2+c4.如何求解c3與c4 ？ （學生思考后陷入僵局）

教師：其關鍵在于如何通過適當的變換，將非線性回歸問題轉化成線性回歸問題。

學生丙：直接換元，將x2換成t，則就可將非線性換成線性加以解決。（此時他很激動，其他同學對他刮目相看）

教師：很牛！這位同學說的你們下來解。我現在有這樣一個問題：好像散點圖不一定是不含一次項的二次函數呀？若設y=ax2+bx+c可以嗎？

學生丁：這不跟前面一樣嗎，直接換x2.

教師： 直接換x2為誰？是x嗎？

學生：不對。（異口同聲）

教師：那怎樣解a，b，c？

（此時教室有一片嘩然，同學們又開始討論了，有一個小組的同學舉手示意）

學生：老師，y=ax2+bx+c與y=c3x2+c4不同之處就是多了一次項，我可以將它先配方轉化成后面的形式加以解決。

教師：好，這位同學上黑板來解。

四、課堂小結

教師：本節課通過這道例題，我們發現了非線性問題也可以轉化成線性問題來解決，下面誰將所學技巧加以總結。

學生：指數型的函數要通過對數變換后在換元，二次函數要通過配方化成不含一次項的后換元。