過程與結(jié)果是數(shù)學(xué)活動的雙翼

【人物檔案】

屠桂芳，南京市第十三中學(xué)校長，中國教育學(xué)會教育管理分會理事、江蘇省中學(xué)教育管理專委會理事，江蘇省學(xué)生體協(xié)副主任及省中學(xué)生田徑協(xié)會主席，南京師范大學(xué)教科院管理專業(yè)指導(dǎo)專家與碩士生導(dǎo)師。先后獲得南京市名校長“陶行知獎”、南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，南京市教育科研先進個人等稱號。先后發(fā)表學(xué)術(shù)論文60多篇，主編或參編論著9本，主持并完成國家級課題2個、省級課題6個，獲得市級及以上表彰19項，主持的課題“高中自主學(xué)習(xí)文化的創(chuàng)新與實踐”獲2013年江蘇省教學(xué)成果獎（基礎(chǔ)教育類）一等獎，“新課程校本化的規(guī)劃與設(shè)施”獲得教育部國家級教學(xué)成果獎二等獎。

“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”，這句名言流傳極廣，在數(shù)學(xué)教育的相關(guān)文章和課堂實踐中常被引用，積極作用可謂巨大。但是，它的負面作用也在潛滋暗長，比如有的課堂教學(xué)從一個極端（只重結(jié)果）走向另一個極端（只重過程），“開門遲遲不見山”的狀態(tài)在理論研討和教學(xué)實踐中都時有所見。其實，俄國教育家斯托利亞爾的完整表述是：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，而不僅僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果的教學(xué)。”為此，我們將把這句話放在新課改的大背景下進行審視，在不同的層面上對“數(shù)學(xué)活動”討論，以期比較全面地認識它的現(xiàn)實意義。

一、數(shù)學(xué)活動的目的是什么——不能為活動而活動

鄭毓信教授等認為新課改的“新”主要有兩個“標(biāo)志”，即“三維目標(biāo)”與“自主、合作、探究”[1]。令人感興趣的是，這兩個“標(biāo)志”有一個交集，那就是“數(shù)學(xué)活動”。“過程與方法”目標(biāo)中的“過程”主要指的是活動過程，而“自主、合作、探究”只能在“活動”中進行。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把獲取“基本活動經(jīng)驗”列為“四基”之一，“活動”得到了前所未有的重視。新課改十多年的實踐表明，重視活動、開展活動、以活動實現(xiàn)知識建構(gòu)和能力培養(yǎng)的意識已經(jīng)深入到數(shù)學(xué)教師的思想深處，極大地改變了數(shù)學(xué)課堂的價值追求和呈現(xiàn)形態(tài)。

案例1：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求

新課程體系下，作為教學(xué)常態(tài)的“學(xué)生活動”，具有兩個鮮明的特點：一是全程參與，從設(shè)計解題方案開始，到坐標(biāo)系的選擇、方程的建立、標(biāo)準(zhǔn)型的確定等都是在學(xué)生參與下進行的；二是全員參與，在活動的過程中，始終提倡自主探究與體驗等。

如“求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計如下：

（1）學(xué)生自主進行過程設(shè)計，心里有一個“漸進”的探求流程圖（此時學(xué)生已有求直線方程和圓方程的經(jīng)驗積累），然后進入實施階段。

（2）坐標(biāo)系的選擇，依靠經(jīng)驗與直觀，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以期望探求過程及最終結(jié)果的簡化和美化。

（3）設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，把幾何等式PF1+PF2=2a轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程+=2a。

（4）化簡的過程難度較大，應(yīng)留出足夠的時間給學(xué)生自主嘗試，這是基于“四基”的要求。

（5）由化簡得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）之后，不宜直接“告知”學(xué)生令“a2-c2=b2”的換元，而是先讓學(xué)生觀察式子特征，從簡潔和美感的角度觀察是否還能進一步化簡。

（6）在師生的共同參與下，化簡整理成標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（a>b>0）。

（7）反思上述的“標(biāo)準(zhǔn)方程”，是選擇“恰當(dāng)”的坐標(biāo)系才得到的“簡潔、優(yōu)美”的方程形式。由此類比得到焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（a>b>0）。如果橢圓在其他位置是不是就沒有方程了？顯然也是有的，不過其形式就不簡潔了。

上述教學(xué)重視學(xué)生活動，體現(xiàn)出極大的教學(xué)效益。首先，“活動”本身就是一個目的。通過活動，學(xué)生體驗了求曲線方程的過程、方法、原則、注意事項等，能力上得到了提高，情感體驗得到了豐富，這都會為全面理解橢圓方程提供直接的背景，而不僅限于標(biāo)準(zhǔn)方程。同時也為之后求雙曲線和拋物線方程提供了活動經(jīng)驗。因此，學(xué)生經(jīng)歷的這個學(xué)習(xí)過程和方法的感受、體驗，對學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累、提純、升華，對情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)和深化，本身就是一個巨大的收獲。

其次，在數(shù)學(xué)活動“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化”的過程中形成了完整的認知結(jié)構(gòu)，增加了兩個新的元素：其一是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其二是求曲線方程的基本步驟（簡記為“建立坐標(biāo)系、設(shè)點的坐標(biāo)、列等式、代坐標(biāo)、化簡方程”等）。

最后，回顧探求過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生自己去建立坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，給學(xué)生較多的思考時間和空間，讓學(xué)生樹立敢于挑戰(zhàn)自我的勇氣，耐心、細心地等價轉(zhuǎn)化解決化簡問題，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美、對稱美”為“發(fā)現(xiàn)簡潔美、對稱美”，學(xué)生的“感受”真切而實在。

這三個收獲都很重要。通過過程體驗，學(xué)生收獲了“求曲線方程”這一程序性知識；通過明確總結(jié)與固化，學(xué)生收獲了“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”這一陳述性知識；最后通過求簡求美等反思活動，學(xué)生還在“策略性知識”上有所拓展。通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生觀察、運算能力和求簡意識，并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”，這個活動過程在知識與能力目標(biāo)、過程與方法目標(biāo)和情感態(tài)度價值觀目標(biāo)上都有全面的體現(xiàn)。

試想一下，如果只注重過程而不注重結(jié)果，或者只注重結(jié)果而不注重過程，則學(xué)生的“數(shù)學(xué)活動”都是不充分不完整的，學(xué)生能力的發(fā)展也是不全面的。

傳統(tǒng)的教學(xué)法強調(diào)知識結(jié)果，忽略前期的探究和后期的反思，這已逐漸被人們認知并糾正。但“為活動而活動、為探究而探究”的極端傾向，淡化了教師的主導(dǎo)作用。案例1的前四步就是過程，而如果沒有（5）、（6）兩步就沒有結(jié)果，沒有（7）就沒有認知的正向遷移—深化了的結(jié)果。

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動是為了實現(xiàn)知識的豐富、能力的加強和素養(yǎng)的提高，這些自然不能脫離過程。欲達此目的，結(jié)果與過程同樣重要。英國教育部2013年提出數(shù)學(xué)教學(xué)要“改回嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)”，就是對“只重過程不重結(jié)果”行為的矯正。

二、活動的結(jié)束以什么為標(biāo)志——有活動必須有總結(jié)endprint

數(shù)學(xué)活動是從問題或情境開始的，那么它在何時結(jié)束呢？結(jié)束的標(biāo)志又是什么呢？答案應(yīng)該是“結(jié)果確認”。在活動的過程之中，學(xué)生的知識、能力、情感態(tài)度價值觀產(chǎn)生了新的變化，并影響個人的心理和文化品質(zhì)，這些都是結(jié)果。

對學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維結(jié)果，更要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的方式方法、發(fā)展數(shù)學(xué)能力，這都是“結(jié)果確認”的表現(xiàn)形態(tài)。能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的獲得，能力的形成有其自身的特點和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等。這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進行，因而教學(xué)活動必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程”，并把推理能力的培養(yǎng)有機地融合在這樣的“過程”之中。

活動必須有結(jié)果，不能“只聽樓梯響，不見人下樓”。教師有主導(dǎo)課堂的職責(zé)、學(xué)生有順應(yīng)或整合的需求、課堂有必須承載的教學(xué)任務(wù)。所有這些，不通過教學(xué)的總結(jié)反思都無法實現(xiàn)。對于課堂活動的預(yù)設(shè)目標(biāo)，教師必須有一個清晰的“目標(biāo)認可”。即使生成過程沒有完全按照預(yù)設(shè)的路徑進行，也必須在新路徑上有個最終結(jié)果。不宜有不了了之的活動，也不能有無限開放卻又不可捉摸的所謂“前景”。清晰明確、固定狀態(tài)的結(jié)果是教學(xué)活動的必然要素之一，也是教師的職責(zé)所在。

案例2：分?jǐn)?shù)的加法運算

北師大的曹才翰教授講述了他在美國聽的一堂數(shù)學(xué)課。教師安排了多個活動，讓學(xué)生體會、探究分?jǐn)?shù)的加法運算，學(xué)習(xí)活動非常熱烈。但最后，教師沒有總結(jié)出“同分母分?jǐn)?shù)相加……”和“異分母的分?jǐn)?shù)相加……”等運算法則，而是讓學(xué)生“談體會”。一個學(xué)生說“+=”，多位同學(xué)附和，教師隨即說“干得漂亮”，然后就下課了。聽課者課后問那位教師：“為什么你同意+=？”教師答道：“因為他們高興”。

這自然是一個極端的案例，曹教授也感嘆“這樣的數(shù)學(xué)也太浪漫了”，在中國不會有這樣的教師和這樣“浪漫”的課堂。但是，教學(xué)中片面的“愉快教育”、極端的“建構(gòu)主義”思潮，“為討論而討論”“為合作而合作”“為活動而活動”小組合作學(xué)習(xí)流于形式等只求“表面熱鬧”的教學(xué)，還是時有出現(xiàn)。只為學(xué)生“高興”、缺少教師的規(guī)范引導(dǎo)、放松嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，必然導(dǎo)致活動的淺層化和幼稚化，造成學(xué)術(shù)規(guī)范的缺失。

弗賴登塔爾有句名言：“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。”其實“數(shù)學(xué)化”總該“化”到某個程度，“化”出某個（數(shù)學(xué)上的）結(jié)果來。“化”的過程可以是教育形態(tài)，“化”的結(jié)果必須是學(xué)術(shù)形態(tài)或盡可能地接近學(xué)術(shù)形態(tài)。

一次數(shù)學(xué)活動，重視過程但不能以犧牲結(jié)果為代價。雖然對于一些前沿課題，數(shù)學(xué)家一時找不到最終結(jié)果，不得不結(jié)束這個活動（比如第五公設(shè)和費爾瑪大定理，歷經(jīng)千百年而終成正果），但是作為人類群體來說，這個研究活動肯定還會繼續(xù)下去，直到最終結(jié)果的顯現(xiàn)。比如哥德巴赫猜想，雖然當(dāng)下的研究沉寂著，但是人類未來總歸會解決它。

教學(xué)中注重學(xué)生的活動，主要的理論之一是“再創(chuàng)造”。然而“再創(chuàng)造”畢竟不同于“原創(chuàng)造”，更不能只有“再”而沒有“創(chuàng)造”。對此，弗賴登塔爾有明確的論述：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是改良同時有更好的引導(dǎo)的歷史過程”[2]。“更好的引導(dǎo)”就是體現(xiàn)在結(jié)果的完整呈現(xiàn)上。與“原創(chuàng)造”相比，作為教學(xué)行為的“再創(chuàng)造”的優(yōu)勢也就在于“教師預(yù)設(shè)了結(jié)果”。學(xué)生、教材、教師三者的有機融合才構(gòu)成多元化的課堂，任何一方的缺位都不能被允許。教師應(yīng)該把史料中歷經(jīng)多次失敗、長期探究而得來的結(jié)果性知識，在有限的時間內(nèi)以學(xué)生可接受的形式呈現(xiàn)出來。只有如此，才能讓學(xué)生站在巨人的肩膀上，反思過程與結(jié)果，回望他們成功到來的路徑。1966年“菲爾茲獎”獲得者阿蒂亞說：“如果我們希望把人類積累起來的知識一代一代傳下去，我們就必須努力地去把這些知識加以簡化和統(tǒng)一”[3]。毫無疑問，“簡化和統(tǒng)一”應(yīng)該用結(jié)果來體現(xiàn)，這是教育者的責(zé)任所在。

那么，結(jié)果的“呈現(xiàn)”由誰來完成呢？我們當(dāng)然期待由學(xué)生完成總結(jié)。但數(shù)學(xué)的結(jié)果是用高度專業(yè)化的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)來表述的，比如一些規(guī)定的專用符號和約定，不可能通過“探究”而得到。因而在學(xué)生總結(jié)基礎(chǔ)上的教師跟進概括，不僅提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，也可以在規(guī)范化上給學(xué)生做出示范。比如上面案例1中，“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”和“求曲線方程的步驟”，經(jīng)教師啟發(fā)而呈現(xiàn)為完整的規(guī)范結(jié)果，可以給學(xué)生一個清晰、可靠而概括的印象。在2013年，英國教育部提出要“改回傳統(tǒng)的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)”，這對我們也應(yīng)該是個值得注意的苗頭[4]。所以，活動必須以結(jié)果確認為終點，有活動必須有總結(jié)，教師專業(yè)化、規(guī)范化的“最終總結(jié)”不可或缺。

三、為什么說“結(jié)果也是過程的一部分”——過程與結(jié)果的辯證關(guān)系

對學(xué)生活動以及知識發(fā)現(xiàn)過程的重視，代表了教育科學(xué)研究的最新潮流。因此從新課改起步階段理論界的重視，到之后一線教師積極回應(yīng)的實踐，兩者互相激蕩形成共振，掀起的一個潮頭就是“過程重于結(jié)果”。這個潮頭的積極意義是讓一線教師領(lǐng)會到了新課改的一個重要思想，并迅速地走到新課改的正確軌道上。但是，把活動強調(diào)到偏頗的程度，選擇性地截取一句話而“為我所用”，就顯得過猶不及了。畢竟數(shù)學(xué)活動的最終結(jié)果導(dǎo)向——即數(shù)學(xué)知識，更有利于繼承和傳播。數(shù)學(xué)（以及其他的文化成果）是以穩(wěn)定的知識形態(tài)而得以世代流傳的，數(shù)學(xué)的意識、思想、方法也都需要形成清晰的可表述的形式，才能為學(xué)習(xí)者所領(lǐng)會和掌握。

案例3：數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求該數(shù)列的通項公式。

教學(xué)設(shè)計1：教師板演求解過程，得到通項公式an=2n-1，學(xué)生“聽懂了”，這個問題即是解決了。對于教學(xué)水平較高一些的教師還會讓學(xué)生模仿著練習(xí)，知道“這一類”問題就是這樣解決的。

教學(xué)設(shè)計2：先讓學(xué)生自己探究，遇到困難進行討論。然后由學(xué)生把求通項的方法板演（或講演）出來，其他學(xué)生“聽懂了”之后模擬練習(xí)以求鞏固。教師的作用是適當(dāng)點撥，并提供鞏固練習(xí)題。endprint

上面的“教學(xué)設(shè)計1”，教師的板演代替了學(xué)生的自主活動，是只重結(jié)果不重過程。從達成的效果上看，學(xué)生“聽懂了”之后或許“長了見識”，但是沒有“形成能力”。這是一種低效率的教學(xué)方法，新課改后已經(jīng)被完全拋棄。

“設(shè)計2”當(dāng)下廣泛流行，極具迷惑性，以致人們認為這就應(yīng)該是新課改所提倡的“注重過程與方法，大膽推進學(xué)生探究活動”的教學(xué)模式。從達成的效果上看，學(xué)生的探究意識得到了強化、問題本身得到了解決、自主學(xué)習(xí)的能力得到了提高，因此可預(yù)言“過程與方法”目標(biāo)的達成度高。但是此設(shè)計在“知識與能力”目標(biāo)上的達成度還遠遠不夠。課堂上的顯性結(jié)果只有通項公式an=2n-1，只是一個問題得到解決。而在活動過程中，學(xué)生所獲得的豐富體驗與經(jīng)驗，卻是內(nèi)隱的，沒有形成整體文字的形式。遇到“同一類”問題之時怎么辦？就只能重新進行一次探究了。因此從課堂進程上看，學(xué)生“探究體驗”豐富了，“探究意識”增強了，但是我們不能由此肯定他們“探究的能力”有多么大的提高，只能肯定他們更熟練了而已。對于感悟能力不強的學(xué)生，很可能是之后每遇到一次這種題目，就從頭開始再探究。在此，嘗試給出以下的設(shè)計：

教學(xué)設(shè)計3：先按“設(shè)計2”進行，在后面加上總結(jié)與反思的環(huán)節(jié)。即要求學(xué)生把活動中的“體驗與感悟”形成文字的形式。比如總結(jié)成如下的顯性結(jié)果：

總結(jié)：求線性遞推數(shù)列通項公式的常用方法。

方法一：觀察—歸納—證明。

方法二：輔助數(shù)列法，在an+1=pan+q（p≠1）的兩邊同加上，構(gòu)造一個等比數(shù)列。

方法三（視具體情況選講）：特征方程法。

這里總結(jié)出的結(jié)果，不是公式、不是概念、不是定理，而是蘊含的思想方法。即把“思維過程”總結(jié)成明確的、顯性的、可表達的成果，并進一步地形成思維方式。這里不是向?qū)W生灌輸“題型+方法”，而是把思維活動的結(jié)果顯性化。“顯性化”的過程是學(xué)生參與的，最終增加了學(xué)生的程序性知識和策略性知識。

這里需要考慮的問題是把思路與方法固定化、模式化，是不是落入機械主義的窠臼，走到了“死記硬背”的邪路上去了呢？答案是否定的。事實上，一是這些方法源于學(xué)生的體驗活動，是切身感受過的東西，是學(xué)生自主生成的，不完全是教師給予的，教師起輔助作用；二是這樣的總結(jié)有利于形成思維模塊，對于提高探究活動的效率、形成聚合思維有極大的幫助；三是這些總結(jié)不是“死”知識，比如案例3中求數(shù)列通項的步驟以及案例1中求曲線方程的五個步驟等，模式化有益于學(xué)生的能力形成。即使是陳述性知識，比如概念、公式、原理等，它們或是對現(xiàn)實對象的高度抽象和概括，或是對一般規(guī)律性的深刻揭示，是人們進行思維活動的基本語素，是進行數(shù)學(xué)活動的基本工具，相信沒有人會否定這些“定型了的知識”在認識問題和分析問題中強大的生命力。

那種只有活動而沒有結(jié)果的課堂，教師充當(dāng)?shù)钠鋵嵤悄裂蛉说慕巧喊蜒蜈s進預(yù)先圈定的草場，讓它們自由啃食。至于啃食多少、消化多少，則不在考慮之列。這樣的教學(xué)，沒有發(fā)揮出教師應(yīng)有的主導(dǎo)作用。

學(xué)生是不斷發(fā)展中的人。在學(xué)習(xí)過程中，他們的數(shù)學(xué)知識在不斷地豐富、認知和能力結(jié)構(gòu)在不斷地改進。學(xué)生由較低層次的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，調(diào)動他們的知識、啟動他們的思維、投入他們的情感，進行新一層次的數(shù)學(xué)活動；再進行更高一層的抽象、概括、解析、整合、具體化和一般化，數(shù)學(xué)活動的深度增加了、廣度擴大了；最后得到了更高一級的知識，再把高一級的知識投入到數(shù)學(xué)活動之中，又帶來更高強度更高水平的數(shù)學(xué)活動……

這樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進入以下的循環(huán)：過程→結(jié)果→又一個過程→又一個結(jié)果……有時候很難把結(jié)果和過程截然分開，過程里有結(jié)果，結(jié)果里有過程，或交替、或并行、或分立、或融合，在循環(huán)往復(fù)中實現(xiàn)數(shù)學(xué)認知的螺旋式上升。就像《九九乘法表》一樣，既可以看作是已知的運算的結(jié)果，也可以看作是可用的運算程序，支撐著運算活動的全過程。

數(shù)學(xué)活動是以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)、用數(shù)學(xué)的方法解決問題，從而感悟數(shù)學(xué)知識、形成數(shù)學(xué)能力的實踐活動。重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果，可以使得學(xué)生對所學(xué)知識不僅知其然，而且知其所以然。沒有過程的“結(jié)果”和沒有結(jié)果的“過程”，對數(shù)學(xué)活動而言都是殘缺的，都不能形成完整的認知結(jié)構(gòu)。那種把一切交給學(xué)生、有活動無總結(jié)的課堂，在鶯歌燕舞之中很可能使“數(shù)學(xué)化”淪為虛無，使源自于數(shù)學(xué)自身的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范蕩然無存。

教學(xué)中“過程”和“結(jié)果”是數(shù)學(xué)活動的雙翼，無孰重孰輕。理解過程與結(jié)果的辯證關(guān)系，即需要通過方法論的重建使得教學(xué)內(nèi)容真正成為可以理解的、可以學(xué)到手和可以加以推廣利用的，從而將數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”。“所謂‘教活，是指教師應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)活動向?qū)W生展現(xiàn)‘活生生的數(shù)學(xué)探究過程，而不是死的數(shù)學(xué)知識；所謂‘教懂，是指教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；所謂‘教深，則是指教師在教學(xué)中不僅應(yīng)使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而且也應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會內(nèi)在的思維方法。”[5]

數(shù)學(xué)教學(xué)中的過程與結(jié)果各有各的功效，新課程重視學(xué)生的過程參與，但并不說明結(jié)果不重要了，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該走極端化。在教學(xué)中讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程有助于他們對結(jié)果的理解，但為展示學(xué)生的思維而只注重過程的做法是不可取的。為此，課堂教學(xué)評價目標(biāo)，宜著力在以下七個方面實現(xiàn)：一是課堂教學(xué)目標(biāo)是否明確、適當(dāng)，二是教學(xué)要求是否根據(jù)實際需要做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，三是教學(xué)內(nèi)容是否切合學(xué)生的承受能力和發(fā)展需求，四是教學(xué)過程是否關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展，五是教學(xué)方法的選擇是否能夠提高教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，六是學(xué)生的參與度與參與面是否足夠深廣，七是學(xué)生是否真正學(xué)以致用且目標(biāo)達成度高。

數(shù)學(xué)不僅幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段；數(shù)學(xué)在對客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括，形成方法和理論，并進行應(yīng)用，這一過程除了邏輯和證明外，充滿著探索與創(chuàng)造[6]。強化“為促進學(xué)習(xí)而教”的理念，在過程與結(jié)果之間尋找恰當(dāng)?shù)钠胶恻c，讓過程與結(jié)果相得益彰。這就需要正確認識師生交往、師生互動、共同發(fā)展的現(xiàn)代教學(xué)觀，在教學(xué)過程中自覺地將外在的教育理念物化為自身的課堂教學(xué)行為，才能讓過程與結(jié)果并重，實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動的目標(biāo)，實現(xiàn)學(xué)生全面素質(zhì)的提升。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育研究者的專業(yè)成長[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（10）.

[2]弗賴登塔爾著，陳昌平、唐瑞芬譯.作為教學(xué)任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995：3.

[3]徐本順、殷啟正.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M]，大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.5.

[4]黎景輝.關(guān)于數(shù)學(xué)教育知識鏈的傳遞問題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014（2）.

[5]鄭瑋、鄭毓信，HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的再創(chuàng)造[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（3）.

[6]孔凡哲、王郢.在課堂教學(xué)中如何看待過程與結(jié)果[J].廣西教育，2005，（6）.

（屠桂芳，南京市第十三中學(xué)，210008）

責(zé)任編輯：顏瑩endprint