在極限教學中培養學生計算能力的研究

王榮波

摘 要：極限是高等數學中的最基本、最重要的概念，它是建立微積分理論的基礎。極限的思想方法是深入研究函數（如導數、定積分等）的有力工具，它貫穿于整個高等數學的始終。

關鍵詞：極限教學；培養學生；計算能力；研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）10-016-01

極限是高等數學中的最基本、最重要的概念，它是建立微積分理論的基礎。極限的思想方法是深入研究函數（如導數、定積分等）的有力工具，它貫穿于整個高等數學的始終。因此，建立極限思想，熟練掌握求極限的方法，對學生學好高等數學和相關專業課程意義十分重大。然而，由于極限計算中涉及到諸多初等數學知識，需要進行適當的變形，這就增加了學生求極限的難度。又由于極限概念的高度抽象性，致使我們很難用極限定義本身去求極限。在極限教學實踐中，探究行之有效的、針對不同層次的學生進行不同要求并行之有效的求極限的方法是高職數學教學研究的重要課題。

一、深刻理解極限的概念是明確極限計算原理的必要條件

極限的抽象性在于不同于函數值那樣具體直觀，它使用的手段是觀察分析，強調的是自變量變化時，函數的變化趨勢。而這種變化趨勢往往看不見摸不著，需要我們去想象和推測。

我們知道，極限的概念是由于求解某些實際問題的真值而產生的。如古代數學家劉徽的“割圓術”，就是極限思想在幾何學上的應用。莊子的“天下篇”有關極限的描述及生活中的有關極限的實例，為學生理解極限的概念提供了具體直觀的模型。它使我們知道了衣服是洗不干凈的原因，金無足赤的原理，極限并不神秘，它就在我們身邊。因此，案例的選擇，對案例的深刻剖析，抓住極限的本質特征是極限教學成功的關鍵。

二、從極限最基本的求法中，培養學生分析問題、觀察問題和解決問題的能力

極限的四則運算法則是進行極限常規計算的依據，兩個重要極限公式是求特定極限的有效工具。因此，這兩個知識點是教學的重點。對法則和公式雖然可以不加證明，但對證明的思路有必要加以說明，對它們的合理性應該加以解釋，而不應強迫學生去接受。強調法則成立的條件的必要性和充分性，注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。把握重要極限公式的特征，以便正確的運用法則和公式求有關極限。特別強調的是，極限符號下面的極限過程是一致的。

當函數的解析式 為有理整式時，極限的計算結果會使學生恍然大悟，原來極限值就等于函數值，即 。如果問題都像這樣簡單，那么極限的計算也就沒有什么艱難曲折了。

在有的時候，我們往往只需要知道極限的結果，對過程我們可以不關心，這對數學基礎差的學生來講是非常有利的。這就是“黑箱原理”（黑箱手段就是將研究對象封閉、凝固而不予打開，不探究其內部結構，不追問其具體細節，只看輸入和輸出。）在數學學習中的運用。

從眾多的例題的解答過程說明，極限的計算需要我們對它進行適當的變形，如何變形，要針對具體情況而定。這就要求學生要進行一定量的練習，才能熟練掌握極限的計算方法。

三、深入剖析極限運算的內在規律，培養學生的計算能力

模仿例題和套用法則或公式是培養學生極限的計算能力的重要途徑。以重要極限公式2為例，引導學生觀察變形過程的規律性，理解為什么要要這樣變形，計算的結果和題目中的參數之間有無直接的關聯？接著讓學生求類似的極限。通過學生的計算，可以把他們劃分為三個層次：第一層次，他們真正理解了公式的特征，明白計算原理，能夠獨立完整的寫出解題過程，得出正確結果；第二層次，能記住公式，也知道公式的特征，但在變形方面有障礙，其原因是對指數的運算不熟悉，于是他們就開始模仿例題，生搬硬套也能得出正確結果；第三層次，這類學生的數學基礎薄弱，理解能力有限，甚至不會正確的書寫數學符號，更不能寫出解題過程，但是他們知道計算的結果。因為他們聽明白了結果與題目之間的關聯，所以，也就能猜出正確的結果。接下來，就要按照以上三個層次進行真正意義上的因材施教了。對第一層次的學生，要求他們做更復雜，技巧性更強的題目，使這部分學的極限計算能力得到進一步升華。對第二層次的學生，要給他們補習相關的初等數學知識，明白每一步計算的原理，按照個人的理解寫出解題過程。對第三層次的學生，盡可能的教會他們正確的書寫數學符號（特別是極限符號），能仿照例題寫出解題過程，達到第二層次的水平。

求極限是高職生特別是高職理工科學生必須練好的一門的基本功。然而面對錯綜復雜的極限計算題，許多學生感到茫然不知所措。為了幫助學生學好極限，有必要對求極限的方法進行歸納和總結。求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會，在練習中進步。進行一題多解訓練，可以啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析、解答同一道數學題。可以充分調動學生思維的積極性，提高他們綜合運用已學知識解答數學問題的技能技巧，也可以鍛煉學生思維的靈活性，促進他們長知識、長智慧，同時開闊學生的思路，引導學生靈活地掌握知識的縱橫聯系，培養和發揮學生的創造性。