“數形結合”在中學數學中的妙用

陳　博

安源一中，江西　萍鄉　337000

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“數形結合”在中學數學中的妙用

陳博

安源一中，江西萍鄉337000

摘要：作為一種重要的數學思想，同時也是一種常用的解題模式，巧妙利用“數形結合”的可以使一些抽象的數學問題變得直觀和形象，這種審視問題呈現方式的改變可以變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，并得到更為簡捷的解題方法和技巧。

關鍵詞：數形結合；形數結合；數學思想；解決問題

數形結合思想是指將數(量)與(圖)形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想策略。

著名數學家華羅庚先生說：“數與形，本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入徽，數形結合百般好，隔離分家萬事休”。這充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用中的重要性。“數”和“形”在哲學中是矛盾的一對，既對立又統一，單獨地論數，解題思路就缺少直觀性，單純地論形，又在解題中缺少嚴密性。只有把二者相結合，才能使抽象復雜的數量關系，通過幾何圖形直觀地表現，并通過數量間的計算、分析，達到更加完整、嚴密、準確。因此我們在研究解決數學問題時要善于由形思數，由數思形，數形結合。

一、利用數形結合思想加深對基礎知識的理解

利用數軸理解相反數的概念，便具有了幾何意義，互為相反數的兩個數在數軸上實質上是它們到原點的距離相等，方向相反。一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離。一元一次不等式組的解集是借助數軸找各個不等式解集的公共部分。平面直角坐標系建立后使有序實數對具有了幾何意義，由點可確定點的坐標，由坐標可確定點，一次函數、二次函數、反比例函數只有利用它們的圖象，才能更深刻地理解它們的性質。解直角三角形的應用更是數形結合的典型材料。總之，數與形的結合使得代數與幾何緊密相聯，息息相關，使得數學更具有生機和活力。

二、由數思形，數形結合，用形解決數的問題

案例1：已知 ， a>0,b<0,a+b<0，用“<”號把a,-a,b,-b連接起來。

此題如果單從“數”的觀點來思考，不易做對，但若與“形”(數軸)結合起來，就容易得多。由題意，在同一數軸上，找出一組分別表示a,-a,b,-b的點，如圖：這樣很快得出答案：b<-a

說明：借助數軸比較實數大小，直觀，一目了然，且不易出錯。

案例2：如圖：已知a、b、c對應點在數軸上。

觀察數軸：a>0，c-b>0 ，a+c>0。

易得：原式=a-(c-b)-(a+c)=b-2c

要確定不等式組的解集可借助數軸找出兩個不等式解集的公共部分：

因此，不等式組的解集是1

這里a、b、b是直角三角形的三邊，具有幾何意義，如圖(1)，由三角形三邊關系定理：ac，c

因此，原式=-(a-b-c)+(a+b-c)+c-(c-a-b)=a+3b

圖(1)

案例6：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖(3)所示，試判定下列各式的正負：(1)a，(2)b，(3)c，(4)b2-4ac，(5)a+b+c，(6)a-b+c。

圖(2)

圖(3)

借助于函數圖象來考慮：

(一)由拋物線開口向下，得a<0。

(三)由拋物線與y軸的交點知，x=0時，y=c>0。

(五)由拋物線與x軸的右邊交點知：當x=1時，對應的拋物線上的點在x軸下方，所以，y=a+b+c<0。

(六)由拋物線與x軸左邊的交點知：當x=-1時，對應的拋物線上的點在x軸上方，∴y=a-b+c>0。

三、由形思數，形數結合，用數解決形的問題

案例7：如圖(4)，正方形邊長為2，以各邊長為直徑在正方形內畫半圓，求四個半圓所圍成的圖形(陰影部分)的面積。

圖(4)

借助于面積公式求解：S陰影=4-2(4-π)=2π-4。

案例8：如圖(5)，邊長為1的正方形方格紙上，有A、B、C、D四個點。

圖(5)

(一)求證：△ADC∽ △BDA；

(二)求∠ABD+∠BDA的度數。

(一)運用勾股定理“借數解形”

∴△ADC∽△BDA。

(二)由(1)△ADC∽△BDA

∴∠DAC =∠B

又∵∠DAC+∠ADB=45°

∴∠ABD+∠ADB=45°。

案例9：如圖(6)，P為矩形ABCD內一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的長。

圖(6)

運用形數結合思想考慮。設點P到AD，AB的距離分別為x，y，BC=a，DC=b，依題意，得

(1)

(2)

(3)

案例10：如圖(7)，已知⊙O中三弦AB、CD、EF兩兩相交于點P，Q、R，并且AP=EQ=RD，CP=QB=RF，求證：△RQP是等邊三角形。

圖(7)

四、結語

新課程改革到至今已近10年，中學數學課堂教學模式、教學方法發生了很大的變化，但萬變不離其宗，數學本質的東西我們不能忽視，而且還要進一步重視，進一步加強。一名優秀的數學教師不僅要吃透教材中所規定必需掌握的知識點，而且要根據教材大綱的內容去整理提煉最重要的數學思想，并把這種解決問題的能力通過具體的知識點傳授給學生，讓學生在解題的過程中體會到高屋建瓴的審題技巧，能夠把所有的數學思想串聯起來融匯貫通，用辯證的思想解決看似復雜的問題，把問題簡單化、具體化，直擊難題的本質。這種能力的培養，不僅有助于學生在學習中培養正確的知識觀念、建立解題的方法，而且有助于他們在以后的學習和工作中以一種正確觀察獲取信息的能力，面對學習和生活中的各種難題，做出正確的選擇。

中圖分類號：G633.6

文獻標識碼：A

文章編號：1006-0049-(2016)09-0184-02