試探小學(xué)數(shù)學(xué)中教學(xué)智慧的生成

王月紅

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）16-0146-02

據(jù)說(shuō)，唐朝詩(shī)人賈島喜歡騎驢做詩(shī)。一日，偶得“鳥宿池邊樹，僧敲（推）月下門”兩句，甚為自得。然而，后一句是用“僧敲月下門”，還是用“僧推月下門”卻頗費(fèi)思量，苦吟良久，仍不能做出選擇。于是，此后便有了“推敲”一說(shuō)。推敲是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，因?yàn)樾枰魄玫耐皇菦芪挤置鞯膶?duì)與錯(cuò)，而是屬于兩可之間，所謂“增一分則白，減一分則黑”，追求的是一種更合理、更完美的境界；推敲也是一個(gè)智慧參與和生成的過(guò)程，其中固然有“心求通而未達(dá)，口欲言而不能”的焦灼，但更有字斟句酌后的認(rèn)識(shí)升華和反復(fù)琢磨后的豁然開(kāi)朗。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，這樣的過(guò)程能使我們更加全面地了解相關(guān)知識(shí)的背景，更加透徹地領(lǐng)會(huì)教材編寫的意圖，更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而使我們的教學(xué)更加富有靈氣和深度。

一、為什么要在具體情境中比較大小

新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材把分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)分三次安排。第一次安排在三年級(jí)（上冊(cè)），側(cè)重于幫助學(xué)生通過(guò)操作和觀察，認(rèn)識(shí)到“把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來(lái)表示”；第二次安排在三年級(jí)（下冊(cè)），側(cè)重于幫助學(xué)生通過(guò)操作和觀察，認(rèn)識(shí)到“把一些物體組成的整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份也可以用幾分之一或幾分之幾來(lái)表示”；第三次安排在五年級(jí)（下冊(cè)），引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位或一些物體組成的整體抽象為自然數(shù)1（也就是單位“1”），從而建立更具數(shù)學(xué)意義的分?jǐn)?shù)概念。其中，三年級(jí)（上冊(cè)）還安排比較兩個(gè)分子是1或分母相同的分?jǐn)?shù)的大小。然而，問(wèn)題是：這里的分?jǐn)?shù)大小的比較能否脫離具體的情境？答案當(dāng)然是否定的。不妨推敲一下：如果都以自然數(shù)1作標(biāo)準(zhǔn)，也就是從抽象的數(shù)的層面來(lái)看，1/2當(dāng)然大于1/4，這是毫無(wú)疑問(wèn)的。但如果每個(gè)分?jǐn)?shù)都是把某個(gè)具體對(duì)象平均分后得到的，則其大小就難說(shuō)了。比如一個(gè)1平方厘米正方形的1/2就小于一個(gè)1平方分米正方形的1/4。而學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，只是結(jié)合具體的物體或圖形進(jìn)行的，還沒(méi)有建立單位“1”的概念，因此，比較相應(yīng)分?jǐn)?shù)的大小時(shí)是不能脫離具體情境的。事實(shí)上，三年級(jí)（上冊(cè)）教材在讓學(xué)生比較分?jǐn)?shù)大小時(shí)，也都提供了相應(yīng)的圖形或現(xiàn)實(shí)情境。數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性，但小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容卻往往具有接受的階段性。這種嚴(yán)密性和階段性之間合適的結(jié)合點(diǎn)，需要我們?cè)谕魄弥屑?xì)心尋找。

二、用商不變的規(guī)律推導(dǎo)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法是否合理

新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材六年級(jí)（上冊(cè)）教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算時(shí)，一共安排了兩道例題。第一道例題讓學(xué)生借助直觀操作分別探索4 ÷1/2、4 ÷ 1/3和4 ÷ 1/4的計(jì)算結(jié)果，并在探索中初步感知：一個(gè)整數(shù)除以幾分之一，就等于這個(gè)數(shù)乘幾分之一的倒數(shù)。第二道例題讓學(xué)生繼續(xù)借助直觀操作探索4 ÷ 2/3的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步豐富對(duì)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的感知。由此，引導(dǎo)學(xué)生比較得到的幾組等式，歸納出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。實(shí)際教學(xué)時(shí)，有的教師卻拋開(kāi)上述思路，而改用商不變的規(guī)律推導(dǎo)算法，如4 ÷ 2/3 = （4 × 3/2） ÷ （2/3 × 3/2） = 4 × 3/2 ÷ 1= 4 × 3/2。那么，后一種思路是否合理呢？如果單從“便于學(xué)生理解”這個(gè)角度來(lái)看，似乎無(wú)可挑剔。但仔細(xì)推敲便可發(fā)現(xiàn)破綻：上述推理的大前提是“分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中是存在商不變規(guī)律的”，然而，分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中是否存在商不變的規(guī)律，卻需要在分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算中歸納。再則，用運(yùn)算的規(guī)律去推導(dǎo)相應(yīng)的運(yùn)算方法，這是邏輯上的一種因果倒置，是不合理的。學(xué)生探索計(jì)算方法的思路往往是多樣的，但教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)合乎邏輯地展開(kāi)思考，而這種“邏輯線索”則需要我們?cè)谕魄弥惺崂怼㈩I(lǐng)悟。

三、由三條線段圍成的圖形一定是三角形嗎

如果讓學(xué)生從一組平面圖形中找出三角形，哪怕是小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生，這也是一件很容易完成的事情；如果讓學(xué)生用小棒擺一個(gè)三角形、用紙折一個(gè)三角形，或用筆畫一個(gè)三角形，相信也并非難事；進(jìn)而，讓學(xué)生稍加觀察，歸納出“三角形有3條邊、3個(gè)角”之類的基本特征，估計(jì)也不會(huì)有什么困難。但是，如果我們?cè)噲D要求學(xué)生自主地說(shuō)出“由三條線段圍成的圖形叫三角形”這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)，恐怕就不那么簡(jiǎn)單了。很長(zhǎng)一段時(shí)間里，教師們都在想辦法努力破解這一難點(diǎn)，然而大都無(wú)功而返。上學(xué)期，我們使用新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材四年級(jí)（下冊(cè)）教學(xué)三角形的認(rèn)識(shí)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)教材居然沒(méi)有這個(gè)結(jié)論，而是在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，給出了如下描述：“像這樣的圖形叫做三角形。”這不僅引發(fā)了教材是否需要呈現(xiàn)這一結(jié)論的爭(zhēng)議，也引發(fā)了大家對(duì)上述結(jié)論自身準(zhǔn)確性的推敲。這不，一經(jīng)推敲，便有人舉出了反例：如下的圖形是否也是由三條線段圍成的？但它卻不是三角形。那么，三角形的定義究竟是怎樣的呢？查閱相關(guān)資料，終于找到了答案：在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的幾條線段順次首尾相接，所得到的圖形叫折線；如果一條折線的首尾兩個(gè)端點(diǎn)正好重合，這樣的折線叫封閉折線；封閉折線所圍成的圖形叫多邊形；只有三條邊的多邊形叫三角形。顯然，上述這一串定義不便于向小學(xué)生傳授，更不便于讓小學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)。由此看來(lái)，當(dāng)某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論過(guò)于抽象，不便于下定義，也不便于描述時(shí)，采用“像……叫（是）……”的方式引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，倒不失為一種智慧的選擇。

四、依據(jù)什么判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)

教學(xué)3的倍數(shù)的特征時(shí)，教材提供了一張1～100的數(shù)表，先讓學(xué)生在表中圈出3的倍數(shù)，初步感知3的倍數(shù)的特征；再讓學(xué)生任意寫出一個(gè)3的倍數(shù)，并在計(jì)數(shù)器上撥出來(lái)，通過(guò)觀察每個(gè)數(shù)所用算珠的個(gè)數(shù)，歸納出：如果一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和一定是3的倍數(shù)。但這個(gè)結(jié)論卻不能作為判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)的依據(jù)，因?yàn)榕袛鄷r(shí)，需要先看一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和是不是3的倍數(shù)，如果是，則可判定這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。很顯然，這里依據(jù)的是上述結(jié)論的逆命題。然而，原命題真，逆命題未必真，這是一個(gè)邏輯常識(shí)。換句話說(shuō)，我們需要引導(dǎo)學(xué)生在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步延伸思考，以確認(rèn)原命題的逆命題也是正確的。如此一來(lái)，教材中隨例題安排的“試一試”，其意圖就清楚了：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)原命題的否命題的討論，由對(duì)否命題的確認(rèn)，體會(huì)原命題的逆命題也是正確的。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容是互相聯(lián)系的有機(jī)整體，對(duì)整體中各部分之間所存在的聯(lián)系進(jìn)行仔細(xì)推敲和深入思考，既有助于充分發(fā)揮整體所應(yīng)有的各種功能，也有助于我們正確把握相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的拓展方向，從而收到事半功倍的教學(xué)效果。