大學物理中微積分思想及其方法教學研究

王旭丹+蘇麗+劉欣欣

[摘要]數學是一門基礎性與工具性兼具的學科，它的基礎性體現在其許多思想方法可以運用到其他學科中，特別是微積分思想和矢量思想，廣泛運用到大學物理的教學中。因此，大學教師應充分加大微積分思想在教學中的應用研究。

[關鍵詞]微積分思想；矢量思想；大學物理；應用研究

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.22.208

作為理工類大學生必須學習的一門課程，大學物理的基礎性和實踐性很強，在大學課程中的地位舉足輕重。大學生學習大學物理，不僅能夠學習到物理學的基礎知識，更能夠為今后從事更深入的學習及工作奠定良好基礎，同時還能有效地鍛煉科學思維及創造性思維能力，因此，有效地提高大學物理的課堂教學效果，無論是對于學生今后的學習和發展，還是對于物理方面的研究，都有著積極的作用。

1 微積分發明的歷史

“如果說我看得比別人更遠一些，那是因為我站在了巨人的肩膀上。”這是微積分發明者之一牛頓曾說過的話。早在三國時，我國數學家劉徽就提出了“割圓術”的思想：“把一個圓分割的越細致，那么損失的就越少，一直切割到不能切割為止，那么和圓周合體時沒什么區別了。”他的意思是，我們可以用一個正多邊形與圓內接，近似描述一個圓形，雖然在多邊形的邊數較少的情況下這種近似的誤差比較大，但這種誤差隨著邊數的不斷增加也會逐漸減少最終消失。它在分割的過程中運用到的是基礎的幾何與代數，優點在于直觀且形象的表達，并且提出了一種極限思想：可以通過趨近的手段得到一個任意精確度的結果。極限的概念和物理中的質點運動關聯密切。總的來說，一個宏觀質點在空間中的運動時間是有連續性的，質點的位置、速度和加速度都是隨著時間不斷地進行連續性的過渡，在某個時刻，這些物理量并不存在躍進變化。用極限來解釋就是：一個時刻與下一相鄰時刻之間的間隔可以被無限小，在這個時間間隔里，這些物理量變化近似為零。牛頓把這兩個無限小量的比值與運動學的定義相結合，從而定義了無限微分這個概念的原型。后來，牛頓—萊布尼茲公式又解決了求變速運動、變力做功等問題。至此，牛頓—萊布尼茲公式可以說是為微積分奠定了理論基石，并完善了經典力學結構。

2 關于如何構建微積分思想的思考

雖然大學新生提前在中學階段學習了物理知識，并且已經掌握了一定的物理學基礎及技能，也培養了自己的一套學習物理學的方法。但是大學物理無論是教學還是學習都與中學物理教學和學習存在很多不同，尤其在教學與學習思想方法及原理方面，大學物理與中學物理的區別之一在于難度的改變，中學期間學習的物理量以及概念都是簡單、基礎的常量，遇到的問題也是由這些簡單常量構成的，而在大學物理中，問題的難度提高了，由以前簡單的常量物理問題，變為復雜的變量物理問題，由于學生很難在短時間內從中學時期固定的思維模式中跳出來，所以，雖然微積分思想在大學教學中廣泛應用，但他們卻不能靈活地將微積分思想運用到物理中去，很多大學生都反映，大學物理是相對較難學好的一科，即使在課堂上聽懂了原理，但實際中還是不會做題。因而教師在大學物理的教學過程中應該充分運用微積分思想，把它融入到教學中，結合例題幫助學生構建微積分思想，讓他們能在實際中靈活運用，提高他們學習的效率。

微積分在大學物理中占據重要部分，并且有廣泛的運用，例如許多物理概念、定律都是以微積分的形式來定義的，因此指導學生盡快熟練地掌握微積分原理及其在物理學中的應用，并學會靈活運用是十分必要的。也就是讓學生建立微積分思想，將思想、原理和方法與物理問題結合起來，從而解決問題。

物理學科最大的特點是由簡及難，從最基本、最簡單的現象著手，微積分思想具有很強的辯證性，在應用它來解決研究物理問題時，一般思路就是化大為小，把大問題進行分解，變成幾個簡單的小問題，按照由重及輕，一個一個解決。這種思路的優點在于把有限變為無限，把近似變為精確，把復雜的變量問題轉化為簡單的常量問題，這樣既能夠提高解決物理問題的效率，更能夠提高物理教學與學習的效果。

近似處理在物理學中的意思就是抓住問題關鍵，忽略次要方面，把難變為簡單，然后通過解決簡單的問題進而解決難題。在大學物理中采用微積分的思想解決問題是為了選取微分元后，能夠在微元范圍內把復雜的問題近似成基本的問題。例如在研究變力做功時，如果采用普通處理方法會特別麻煩，但是采用微積分思想，處理起來就非常容易了。對于“求一質點在變力作用下從A運動到B，做曲線運動時做的功”這個題，就可以采用微積分的思想，把質點的曲線運動路徑，分割為無數個微元，視變力為恒定，分割后的曲線路徑可以看作無數個短直線，這樣，將變力曲線做功問題，轉化成了簡單的直線恒力做功問題，最后對這些直線路徑做功求和，就得到了變力曲線做的功。

3 關于如何構建矢量思想的思考

在物理學科中，“矢量運算法則”及“矢量方程”的運用相當普遍。現如今的大學新生在學習大學物理時常常不能正確的表示矢量，這是因為中學時期，老師對學生的要求并不嚴格，這就導致了他們跳不出中學時的物理思維模式，他們對標量、矢量和矢量方程的理解不到位，還沒有形成矢量思維。因此，他們到了大學之后，在學習大學物理時仍然不能正確的書寫矢量，至于對它的理解就只停留在簡單的字面意思了，所以，在大學物理教學中除了要引導學生構建微積分思想，還要引導他們構建矢量思想。在高中人教版課本中，“標量只有大小，沒有方向；矢量既有大小，又有方向。”因此，有的學生就形成“有方向的是矢量，沒方向的是標量”的慣性思維，這種慣性思維需要老師在教學中引導學生進行糾正。但由于中學時的慣性思維，很多學生對“遵循四邊形合成法則的物理量是矢量，否則是標量”這個定義并不深刻，因此在平日里做題會產生許多錯誤，例如電流及電動勢等物理量，其既有大小，也有方向，但并不是矢量。矢量的定義中，要求矢量必須符合平行四邊形合成法則。所以我們在解決物理問題時，如果使用矢量思想方法解決，通常要將矢量轉變為標量來進行計算，同時把矢量向某一方向或者坐標系進行投影，因而首先要建立一個正確的坐標系。如在解決斜面運動問題時，我們可以首先建立坐標體系，選擇沿斜面方向和垂直斜面的兩個方向進行構建，將復雜的矢量轉變為簡單的標量，這樣能夠很好地體現矢量方法的高效性。又如，在研究曲線運動中，自然坐標系往往不易解決問題，大學物理中的矢量和微元通常是相互關聯的，對于矢量微積分的求解，首先應該將矢量轉變為標量，把矢量向某一方向投影，采用矢量點積的方法或者叉積轉化為標量進行運算，或者直接應用直角坐標系的正交分解方法，進行點積或者叉積后再進行積分運算。只有深刻的理解矢量微積分，才能正確地運用，因此，教師在教學中應該精選例題，爭取早日指導學生構建矢量思想、建立模型，學會運用物理方法和思想分析和求解實際問題。

4 結 論

微積分思想和矢量思想在大學物理的教學和學習中，不僅作為一種教學工具，更是一種思維方法的應用。因此，在大學物理的教學中，教師應通過講解具體的實例，來引導和幫助學生將微積分和矢量的思想與物理問題相結合，讓他們學會構建模型，熟練地運用微積分和矢量方法分析解決物理問題。這樣做既能提高教學效率，又能培養學生的科學思維方法。而學生只有將微積分與具體物理問題相結合，掌握微積分以及矢量的分析方法和技巧，有機結合其他的物理科學方法，才能實現將微積分和矢量法從運算工具轉變為思想方法的綜合運用，進而熟練地解決一些復雜的物理變量問題，如今的大學生需要做的是理解大學物理和中學物理的區別和聯系，培養自己學習大學物理的興趣，提高自己分析問題和解決問題的能力，為將來從事工程技術和科學研究奠定扎實的物理基礎。

參考文獻：

[1]朱其明，李耀俊.大學物理微積分思想與矢量思想教學淺談[J].中國西部科技，2011（17）：82-83.

[2]黎定國，鄧玲娜，劉義保，等.大學物理中微積分思想和方法教學淺談[J].大學物理，2005（12）：51-54.

[3]王曉明.關于大學物理中微積分思想與矢量思想教學的思考[J].中國校外教育，2016（5）：126.

[4]歐聰杰.將微積分的思想融入大學物理教學[J].教育教學論壇，2014（6）：178-179.