“舊瓶新裝”，一種可行的編題方式

☉湖北省秭歸縣歸州鎮初級中學　葉先玖

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“舊瓶新裝”，一種可行的編題方式

☉湖北省秭歸縣歸州鎮初級中學葉先玖

小專題教學，通常以思想方法為魂、題組訓練為媒、計算推理為線來串聯知識和方法，幫助學生獲取基本的解題策略.因而，選擇一些最有價值、最具代表性的、典范性習題，是習題課常用的教學套路.由于停留于表面認識，變式及生長不足，缺少系統歸納及共性提煉，看不透基本圖形及性質，導致重復機械演練過度，結果是講一題會一題，題目略微變式，學生仍覺困難.教學實踐表明，“舊瓶新裝”，是一種可行的借題生長方式，能有效提升學生的解題水平.本文以八年級下冊教學中的一道選擇題為例，從選擇經典題、深度挖掘、繼承經典、借題發揮等角度，呈現個人的一些做法及思考，拋磚引玉，探討如何借用經典，催生出新題、新意、新機，最大限度地發揮經典習題的價值.

一、細覓“舊瓶”，發現經典

經典范例（2012年江蘇省揚州市）如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰Rt△ACD和Rt△BCE，那么DE長的最小值是_______.

選題說明：立意動態幾何構思矩形小專題習題課時，筆者依托人教版八年級下冊第64頁的數學活動為素材，思考對第68頁第13題進行改編，在查閱資料時，有幸選取到本題及2015年黑龍江省綏化市第9題，作為示例；精選2014年綏化市第11題、2015年綏化市第21題，2015年江蘇省泰州市第16題、常州市第8題，2015年湖北省襄陽市第12題等五道題，作為習題跟進鞏固，著力滲透分類討論、翻折變化、方程思想、等積轉化等方法，力求掌握有關解答折疊與最值等問題的基本策略.

二、慎審“舊瓶”，換裝新衣

選題時，因為配備有參考答案，筆者并沒有對上題作細致的解答，受參考答案先入為主的影響，備課時只預設了下面呈現的解法一.課堂中，在傾聽學生交流時，學生卻給出了更優化的解答.

1.審視解答

解法一：（函數求值法）如圖1，設AC=x，則BC=2-x，因為△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，所以∠DCA=45°，∠ECB=45°，可證得∠DCE=90°，從而得DE2=DC2+CE2=x2-2x+2.所以當x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

解法二：（保角構造法）通常解答含特殊度數的角的幾何題時，習慣于保全這個特殊角進行補形構建，從而轉化成特殊圖形進行解答.如圖2，由∠A=∠B=45°，如果延長AD、BE交于點F，可得△AFB是等腰直角三角形，易證得四邊形CDFE是矩形，則DE=CF，由垂線段最短可知，當CF⊥AB時，DE最小，結合三線合一及直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半，求得DE的最小值為1.

解法三：（特殊位置法）上述兩種解法嚴謹，無可挑剔，但作為一道選擇題，費時不合算.不難看出，圖中兩個三角形的形狀相同，而且隨著點C的移動，兩個三角形在AB上任何一點出現的機會均等，即兩個三角形的地位是相等，因而，可采用特殊位置法，找出臨界點，定位分析解答，顯然就是AB的中點.此時有CD=CE，從而直接得到DE的最小值為1.

課后反思解法，此題雖小，但關聯知識點、基本圖形、數學方法較多，理應算是一道經典習題.

2.審視變式

課堂中學生的表現，引起了筆者對此題改編的興趣.雖然本題只是一道3分的填空題，但從解法多樣化角度看，本題可以說是思維含量較高的一道試題，有值得進一步研究并拓展的必要.經過研究發現，本題最大的特點，就是從“共點等邊”圖形為背景求線段值，考查的核心知識點是特殊圖形的性質及勾股定理，由于解答思路不同，可以滲透不同的基本思想和方法，可以多角度進行改編.

外部基本圖形變式：不難發現，在不改變題目條件下，單純地更換圖形形狀，如圖3，可以把兩個等腰三角形換成兩個等邊三角形，從而得到最為經典也是常見的圖形，通過作AF⊥CD，可以求出AD的最小值；如圖4，更換為兩個正方形，同樣也能求出AF的最小值；類似地，還可以簡單地更換“外衣”，用不同特殊圖形去替換原題中的兩個等腰三角形，得到不同的新題，其實本質及解答方法并沒有變，從而讓學生收獲“對一題”而“會一片”的訓練效果.

圖4

內部基本知識變式：如果從圖形旋轉角度改編，如圖5，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以C點為頂點，在AB的同側作頂角為45°的等腰△ACD和△BCE.

（1）連接DE并求DE長的最小值.

（2）如圖6，當C運動到AB的中點時，將△BCE繞C點逆時針旋轉β（0°﹤β﹤135°），連接AE與BD交于點F.

①求證：AE=DB；

②當β=45°時，求DF的長.

圖5

圖6

解析：（1）由上述解法一可求得DE的最小值為1.（過程略）

（2）①C為AB的中點，可得AC=CD=CE=CB=1，∠ACD=∠ECB=45°，所以△ACD≌△ECB.由于△ECB是繞點C按順時針方向旋轉得到的，始終有AC=CE，CD= CB，∠ACD=∠ECB，又因為∠ACD+∠DCE=∠BCE+ ∠ECD，即∠ACE=∠DCB，由“邊角邊”可得△ACE≌△DCB，所以AE=BD.

②當β=45°時，證得四邊形ACBF為菱形，BC=AC=1，△DCB為等腰直角三角形，所以得DF=BD-

三、拓展“舊瓶”，換裝新意

適當更換條件，關聯更多的知識點和方法，也可以進行如下深層次思想方法方面的融合，進行質的變式嘗試，以期進一步提升思維含量.

1.著眼背景動態性

在組織正方形小專題時，著眼動態幾何，復習最值問題，筆者重溫上述經典范例，開發成通過定量計算，從而推理在正方形運動過程中，某一三角形成為等邊三角形開放性說理題，以最大限度發揮上述經典題的價值.

改編題1：在直線BC上，線段BQ=12cm，C和D分別為直線BC上的兩個動點，連接A D.

（1）如圖7，分別以BC和CQ為斜邊在同側作兩個等腰直角△BAC和△CMQ，連接AM，求出AM的最小值.

圖7

（2）當C運動到BQ的中點處時，作等腰直角△BAC，D從C出發，在射線CB上運動，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CF.

①如圖8，當點D在線段CB上時，探究BD與CF的關系并加以證明，指出點D在何處時，正方形面積最小？并求出這個最小值.

圖8

圖9

②如圖9，當點D在CB延長線上時，在BC下方作正方形ADEF，連正方形對角線交于O點，判斷△AOC的形狀，指出當點D運動到何處時，△AOC是等邊三角形.

解析：（1）由上述三種解法可知AM最小值為6cm（過程略）.

（2）當點C運動到BQ的中點處時，可得BC=6.由∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°，得到∠BAD= ∠CAF.又AB=AC，AF=AD，從而可證△BAD≌△CAF.所以BD=CF，∠FCA=∠ABD.而∠BAD+∠ACB=90°，所以∠ACB+∠ACF=90°，即∠BCF=90°，得BD⊥CF.由垂線段最短可知，當AD⊥BC時，正方形面積最小，由三線合一可知，此時D為BC的中點，可求得正方形的最小面積為9cm2.

（3）同（2）的方法可證得△BAD≌△CAF，得BD=CF，∠FCA=∠DBA.因為∠ABC=∠ACB=45°，得∠ABD= 135°，得∠FCD=∠FCA-∠ACB=90°.而由正方形的性質可知DO=OF=AO=OE，在Rt△DCF中，由∠FCD=90°及DO=OF可得OC=OF，從而可得OA=OC.由于點D在CB延長線上向左運動時，而點F是在垂直于BC的直線上運動，隨DA長度不斷增大，所以OA也隨著增大，而AC長度不變，所以得△AOC是等腰三角形.當△AOC是等邊三角形時，必有∠AOC=60°，得∠COF=30°，∠OCF=∠CFO= 75°，可得∠FDC=15°，從而得∠ADB=30°.過點A作AG⊥ BC于點G，由BC=6可求得，在△AGD和△AGB中，由∠ADB=30°，∠ABC=45°，可求得，得即D運動到距離B點時，有△AOC是等邊三角形.

2.著眼問題的存在性

上述經典素材，從圖形的對稱性視角出發，著眼問題存在性的探究，可以再深度挖掘，以二次函數綜合題與正方形為背景，立意三角形全等與相似、正方形性質、函數解析式等知識點，滲透分類討論、待定系數法、運動與變化、數形結合、方程思想與轉化等數學思想與方法的綜合題，基于此，筆者就上題與2015年湖北省襄陽市第26題進行融會，改編成如下試題，作為九年級學生周測試題.

改編題2：如圖10，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（-2，0），Q是線段OA上一動點，D為OA的中點.分別以AQ、OQ為斜邊作兩個等腰Rt△AKQ和Rt△QHO，作直線KH交y軸于點G.

（1）當KH最小時，如圖11，以OA長為邊在第二象限作正方形ABCO，連接DC，將線段DC繞點D逆時針旋轉90°得線段DE，以直線AB為對稱軸的拋物線過C、E兩點.求直線GD的解析式及拋物線的解析式.

（2）如圖11，點P從點C出發，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，過點P作PF⊥CD于點F.試問：當t為何值時，以P、F、D為頂點的三角形與△COD相似？

（3）在（1）的條件下，M為直線AB上一動點，N為拋物線上一動點，是否存在點M、N，使得以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

圖10

圖11

解析：（1）由前面解法易得M（0，1），又D（-1，0），可得直線GD的解析式為y=x+1；過點E作EL⊥x軸于L點，根據正方形的性質，可得OA=OC，∠AOC=∠DLE，根據余角的性質，可得∠OCD=∠LDE，可得△ODC≌△LED （AAS），所以EL=OD=1，DL=OC=2，點E的坐標為（-3，1）.因為拋物線的對稱軸為直線AB即直線x=-2，所以可設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+k，將C、E點的坐標代入可得拋物線的解析式為

（3）分類討論：可分?MDNE、?MNDE、?NDME三種情況，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊，設M（-2，k）后，利用平移規律及拋物線解析式可求得對應的M、N的坐標.當四邊形MDEN是平行四邊形時，有MN∥DE，MN=DE，因此，當把D（-1，0）先向左平移兩個單位，再向上平移1個單位可得到點E（-3，1），由這個平移規律可把M（-2，k）平移后得到點N（-4，k+1），再將N點的坐標代入拋物線的解析式中，求得k=1，從而得M1（-2，1），N1（-4，2）；同理，當四邊形MNDE是平行四邊形時，得M2（-2，3），N2（0，2）；當四邊形NDME是平行四邊形時，得

四、兩點思考

1.精細識別，精心提煉經典

數學思想方法、能力的提升，正如張奠宙院士所言：需要每節課“細水滴灌”，每道題浸潤，更得有專題式“大水漫灌”的滲透.而習題課，正是承擔小專題教學的最好載體，是提升學生解題能力最有效的途徑.通常，好題放在合適位置，才能發揮其價值，識別經典，選題編題是小專題教學必要的一步.選題編題要以學生學習可接受能力為本，守住教學要求的底線，積累題組，力求通法，少玩技巧，［1］以最大限度使用題目的訓練功效.選擇經典題進行小專題教學，可以分解大目標，分散難點，強化模式，落實小目標而實現總目標，提高解決問題的能力.一般而言，公認的經典題，在探討多種策略求解時，會發現題目無論是從知識深度、廣度和完整度，還是基本思想方法，一定會多角度關聯，［2］或關聯多個核心知識點，或蘊含著多種基本思想方法，或有基本圖形等，因而才會沉淀并流傳下來.如本文中的范例，雖然題小，如果從探究解法、圖形變式入手，會收獲化動為靜、數形結合等轉化策略；積累從局部到整體，通過補形構造，利用矩形性質進行轉化的經驗；甚至于通過圖形位置相同的特性，采用特殊點位置這一特殊方法，到用函數思想最值一般性的解法，養成多視角自由切換的思考意識.在完成解答過程中，探究熟悉特殊圖形性質，緊扣變與不變關系和數量，在溫故的同時，吸取解題營養，提升分析和解決問題的能力.扣住經典范例中共點等邊兩個等腰直角三角形放縮的特性，可以進行外觀簡單的圖形變式，實現“做一題，會多題，會一法，得多法”的目的.

2.精致拓展，精彩生長經典

課本習題及中考題，猶如“金礦”，是專家及命題人精心編制，是命題人智慧和心血的結晶.一些好題，堪稱經典，是習題課范例的首選素材，能有效地開發成題組.能被師生多年認可的經典，絕不是僅僅可以“舊瓶簡裝”，局限于從外觀上進行圖形變式，而是可以“舊瓶新裝”，能多角度變式拓展或生長.經典題如同題根，“抓住一個題根，就等于抓住了這個題族、這個題群、這個題系”.抓根挖掘進行改編，可以追求大道至簡，［3］顯然，能成為經典，自身具有生長性、滲透性和實用性，可以“舊瓶新裝”.如同本文的范例那樣，在立足原題蘊含的數學思想方法的前提下，尊重原創命制意圖，遵從命題嚴謹科學的原則，力求簡約而不失本質，［4］可以從換裝內部基本數學知識，或有意增設更多的基本思想方法進行質的變式.

精選、提煉、拓展經典，找到生長點，借題再生，“舊瓶新裝”，讓老題生根發芽，煥發新機，是一種可行的編題方式.“舊瓶新裝”式的改編，可以進一步認識、提升經典，讓經典更出彩；可以把握研究的方向，提升研究水平，助力專業成長；可以更好地關愛學生，為他們提供更優化的高質量的習題，幫助學生走出“題?！?，提升他們的分析和解決問題的能力.

參考文獻：

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3.劉永東.簡化·簡至——數學小專題復習的設計與實施策略［J］.中學數學（下），2016（4）.

4.萬廣磊.刪繁就簡三秋樹，領異標新二月花——一道壓軸題的命制歷程［J］.中學數學教學參考（中），2016 （1-2）.H