從“一題多解”走向“結(jié)構(gòu)洞察”
——以南通通州模考卷第28題為例

☉江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)　何麗華

?

從“一題多解”走向“結(jié)構(gòu)洞察”
——以南通通州模考卷第28題為例

☉江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)何麗華

一、寫在前面

根據(jù)筆者多年來對全國各地中考數(shù)學(xué)卷的收集、分類、研究發(fā)現(xiàn)，以二次函數(shù)為背景的中考把關(guān)題占相當(dāng)大的比例，不少二次函數(shù)問題除了初始設(shè)問還與函數(shù)有關(guān)，之后的一些較難設(shè)問往往以平面幾何中較為復(fù)雜的相似構(gòu)造作為解題障礙點，使得函數(shù)題的函數(shù)味道淡了，幾何味濃了.但是近來在網(wǎng)上檢索發(fā)現(xiàn)江蘇省南通市通州區(qū)中考一模試卷的把關(guān)題卻能很好地兼顧函數(shù)味、數(shù)學(xué)味，成為一道原創(chuàng)度很高的函數(shù)綜合題，本文先呈現(xiàn)該題及思路突破，最后給出相關(guān)教學(xué)和命題思考，供研討.

二、模考題的思路突破與解后反思

模考題（2016年4月江蘇省南通市通州區(qū)模考卷，第28題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a的對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點（0，3）.

（1）求a、b的值；

（3）若拋物線與x軸交于A、B兩點，C是x軸下方拋物線上的一點，∠ACB=45°，求點C的坐標.

（2）由（1）可知：a=-1，b=2，則拋物線為y=-x2+2x+3.聯(lián)立拋物線、直線的解析式后消元可得3），整理成關(guān)于x的一元二次方程：mx2-（2m+1）x-3m+3= 0，該方程兩實數(shù)根為x1、x2，由韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系），得，于是，即動點M（m，n）就是，這樣我們就獲得了重要進展，它所形成的曲線為再把分別代入曲線中，可得y0=1，x0=2.最后根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)直線PQ的解析式為y=px+q，則解得即

（3）可以先構(gòu)思草圖分析，如圖1，設(shè)點C在拋物線上，連接AC、BC，則∠ACB應(yīng)該為45°.

圖1

然而這個問題的思路是困難的，很少有模型直接轉(zhuǎn)化過去，也是解這道把關(guān)題最大的障礙所在.現(xiàn)在先給出一種突破的思路，比如過點C作CE⊥x軸于E，在x軸上取一點D，使得DE=CE，連接CD，容易確認∠CDA=45°.

至此，應(yīng)該得出∠ACB=∠CDA，從而發(fā)現(xiàn)我們構(gòu)造出了△ACB∽△ADC，于是，即AC2=AB·AD.

圖2

圖3

設(shè)點C（x，y），其中y=-x2+2x+3＜0，則D（x-y，0），AD= x-y+1.又AB=4，AC2=（x+1）2+y2，則（x+1）2+y2=4（x-y+1），所以y2+4y-（-x2+2x+3）=0.而-x2+2x+3=y，所以y2+3y=0，解得y=-3或y=0（舍去）.當(dāng)y=-3時，-x2+2x+3=-3，解得x=.即點C的坐標為或

殊途同歸：上面解法的主要難點在于構(gòu)造出△ACB∽△ADC，如果能受到“一線三等角”模式的啟發(fā)，也可以進行如下構(gòu)造，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，如圖3.設(shè)點C為拋物線上符合題意的一點，過點C作平行于x軸的直線，交拋物線于另一點D，在直線CD上取點M、N，使∠AMC= ∠BNC=45°，于是構(gòu)造出“一線三等角”模型，則△AMC∽△CNB，從而有接著兩條直線方程需要解讀出來，即直線AM：y=x+1，直線BN：y=-x+3，這樣設(shè)點C（c，-c2+2c +3），代入比例式中，可得，這是一個高次方程，整體換元降次后，解得與上面的解答殊途同歸.

結(jié)構(gòu)揭示：上面對于（3）的求解需要較強的構(gòu)造、轉(zhuǎn)化能力，而且對問題的深層結(jié)構(gòu)也缺少必要的揭示.以下再圍繞45°這個重要的信息，基于圓周角與圓心角的關(guān)系揭示該題的深層結(jié)構(gòu).

如圖4，在拋物線對稱軸（直線x=1）上取一點G，使△ABG為等腰直角三角形，此時G（1，-2），以點G為圓心、GA為半徑作圓G，則該圓與拋物線相交于4個點A、 B、C、C′.根據(jù)圓周角等圓心角的一半45°，于是可以確認點C、C′為所求.接下來就是設(shè)法求出點C的坐標（另一個點C′可以根據(jù)對稱性獲得）.

圖4

圖5

如圖5，構(gòu)造Rt△GCH，設(shè)點C的坐標為C（x，-x2+2x+ 3），則用含x的式子表示出GH、CH的長，分別是：GH=-2-（-x2+2x+3），CH=x-1，而GC是圓G的半徑，由勾股定理可得方程解這個高次方程得，x3=-1，x4=3.即C的坐標為（1+或

三、導(dǎo)向之思

1.中考復(fù)習(xí)要重視“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題

據(jù)我們對各地中考題的關(guān)注和研究，當(dāng)前一種“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題較為“流行”，往往需要運用待定系數(shù)法，逐個解出待定參數(shù)，有時待定參數(shù)不一定全部能得到求解，但是可以得到部分解決，比如原來有三個參數(shù)，但經(jīng)過分析可以將三個參數(shù)消元成一個參數(shù).教學(xué)經(jīng)驗表明，不少學(xué)生對“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題適應(yīng)性不夠，主要原因是因為“多參數(shù)”的偽裝，使得學(xué)生不易看到問題的結(jié)構(gòu)，甚至函數(shù)圖像在沒有確定時也不能有效構(gòu)造草圖分析，從而造成解題障礙.所以中考復(fù)習(xí)期間要循序漸進式地訓(xùn)練“多參數(shù)”的綜合題，可以先安排1個參數(shù)的問題，再逐漸過渡到2個或3個直至多個參數(shù)的問題，讓學(xué)生熟練這類考題的突破策略.

2.拋物線與幾何綜合題突破要重視幾何模型

雖然有些專業(yè)雜志（如《數(shù)學(xué)通報》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》）上散見批判偽拋物線考題的命題取向，從“理解數(shù)學(xué)”的高度看，把拋物線與平面幾何中較難的問題組合在一起，往往考題的難點不是函數(shù)問題，而是幾何圖形的構(gòu)造與識別，很多學(xué)生往往不能排除干擾，凸顯幾何模型，從而耗費解題時間，難有突破.對于這類考題，應(yīng)對的策略就是要在平時解題教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會排除函數(shù)圖像的干擾，重新分離圖形、識別幾何模型.

四、命題商榷

命題也是遺憾的藝術(shù)，對于一道綜合題下的系列設(shè)問如果不能緊密關(guān)聯(lián)，而是拼湊離散，則放在一個綜合題中就如同3個獨立小題，這種命題方式值得商榷.作為文末，本著命題改編的興趣，筆者也給出一種命題打磨，供研討.

打磨題：如圖6，平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a與x軸交于A、B兩點，對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點（0，3）.

圖6

（1）求點A、B的坐標；

（3）若Q是x軸下方拋物線上的一點，∠AQB=45°，求點Q的坐標.

參考文獻：

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

2.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.季衛(wèi)東.變式取向：從“標準模式”到“非標準模式”——以“軸對稱最值問題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

4.陳波.改編習(xí)題注重關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)開發(fā)引領(lǐng)思考——以“勾股定理”相關(guān)編題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.Z