探析中學數學思想

吳東升

【摘 要】知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認識和經驗的總和，是人類文化的核心內容。在數學學科中，概念、法則、性質、公式、公理、定理等顯然屬于知識的范圍。這些知識要素也都反映了共同的、帶有本質性的東西就是數學思想。它們是人類文化的重要組成部分之一，是數學文化的核心內容，也就是數學文化的“重中之重”。

【關鍵詞】中學數學；思想；層次；程序

一、數學思想教學的心理學意義

第一、心理學認為“由于認知結構中原有的有關觀念在概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了。下位學習能使新知識較順利地納入到學生已有認知結構中去。

第二、有利于記憶。布魯納認為：“學習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留理下來的東西將使我們在需要的時候可以把一件件事物重新構思起來。”

第三、學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”。學生學習數學思想、方法有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。

第四、強調數學思想的學習，“能夠縮小高級知識和初級知識之間的間隙”。一般地，初等數學與高等數學的界限還是比較清楚的，特別是中學數學的許多具體內容在高等數學中不再出現了，有些術語如方程、函數等在高等數學中要賦予它們新的涵義。而在高等數學中幾乎全部保留下來的只有中學數學思想。

二、關于中學數學思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。中學數學中出現的數學觀點和各種數學方法，都體現著一定的數學思想。

在數學思想中，有一類思想可以稱之為基本數學思想，例如集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合的思想，化歸的思想，對立統一的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想（或說無限逼近思想）等。它有兩大“基石”是符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”是對應思想和公理化與結構思想。有些基本數學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數與方程的思想”衍生于符號與變元表示的思想（函數式或方程式）、集合思想（函數的定義域或方程中字母的取值范圍）和對應思想（函數的對應法則或方程中已知數、未知數的值的對應關系）。所以我們說基本數學思想是體現于基礎數學（而不是說初等數學）中具有奠基性和總結性的思維成果。中學數學傳授的數學思想，應該都是基本數學思想。

在中學數學中應予以重視的數學思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：①這三個思想幾乎包攝了全部中學數學內容；②符合中學生的思維能力及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握；③在中學數學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數學問題的機會比較多；④掌握這些思想可以為進一步學習高等數學打下較好的基礎。此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學數學中也不同程度地有所體現，應依據具體情況在教學中予以滲透。

三、中學數學教學內容的層次

中學數學教學內容體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法。

表層知識是深層知識的基礎，是數學大綱中明確規定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。深層知識蘊含于表層知識之中，是數學的精髓，它支撐和統帥著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的表層知識達到一個質的“飛躍”，從而數學教學超脫“題海”之苦，使其更富有朝氣和創造性。

那種只重視講授表層知識，而不注重滲透教學思想的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調數學思想，而忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數學思想、的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數學能力，形成良好的數學素質。

四、傳授基本數學思想的程序

中學數學教科書擔負著向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。

1.滲透

“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還不能從理性上開始認識它們。例如集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統計思想從初中一年級就開始滲透了，極限思想也從初中教科書中安排類似于“關于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結構思想，根據人類的認識規律，一開始就采取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。這種滲透是隨年級逐步深入的，例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式（組）的解集可以用數軸表示或用不等式（組）表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時允許用不等式（組）、區間或集合的描述法來表示實數集的某些子集。又如對應思想，初中只用文字、數軸或平面直角坐標系來講對應，高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至于公理化與結構思想、抽樣統計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。

2.介紹

“介紹”就是把某些數學思想在適當時候明確“引進”到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹（例如前四種基本數學思想），有的則是先滲透（例如后兩種基本數學思想）后介紹。“介紹”與“滲透”的基本區別在于：“滲透”只要求學生知道有什么思想，而“介紹”則要求學生在此基礎上進而知道為什么叫做思想（含思想的要素和特征）、用什么思想（含思想的用途）并學會運用。作為補充，也可以就問題適時地向學生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。

3.突出

“突出”就是把某些數學思想經常性地予以強調，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在于最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想等。這些基本數學思想貫穿于整個中學階段，最重要、最常用，是中學數學的精髓，也是能長久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區別在于：“介紹”只要求學生知道用和會用，而“突出”則要求學生在些基礎上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數學問題經常向學生突出分類思想的運用。

總之，由于數學思想在中學數學教育中具有極其重要的地位，我們數學教師在數學教學教育中要根據學生的心理特點、認知水平科學合理地對中學生進行數學思想的教學，從而提高學生的數學學習能力和數學素養。

小學寫字教學，不僅可以訓練學生的寫字基本功，而且還可以通過教學，培養出他們的觀察能力與審美能力，同時激發了學生對于書法藝術的熱愛。美的事物無處不在，而書法最地體現了我國文化的精神，書法藝術的美已延襲了幾千年，寫字教學能帶領學生步入書法藝術的殿堂。那么，老師該如何在小學生寫字教學中培養審美能力呢？