求極限方法的研究

【摘 要】本文對定義證明、運算法則、洛必達法則、夾逼準則、連續性質、泰勒公式、無窮小等價代換定理、重要極限這八個基本方法進行了歸納總結，可以對我們求極限起到一定的啟發作用。

【關鍵詞】極限；洛必達法則；夾逼準則；連續性質；泰勒公式；無窮小

極限是在實踐中產生的，例如我國古代在求圓的面積時，應用割圓術來求圓的面積，從而產生了極限的思想。而極限是微積分中的一個重要概念，微積分的思想就是極限的思想。因此極限對于微積分來說就顯得尤為重要。下面我就從五個方面來研究求極限的方法。

一、按定義證明

利用極限的定義來論證某個數A是函數的極限時，重要的是對于任意的正數ε，要能夠指出定義中所說的這種δ確實存在。

例如證明

證明由于

為了使 ，只要

所以， ，可取 ，則當 適合不等式 時，對應的函數值 就滿足不等式

從而

二、按運算法則計算

1.利用無窮小法則

兩個無窮小的和的極限是無窮小，有界函數與無窮小的和是無窮小，常數與無窮小的乘積是無窮小，有限個無窮小的乘積是無窮小。

例如 =0 這是有界函數與無窮小的和是無窮小的例題

，而 是有界函數

2.利用四則運算法則

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用復合運算法則

設函數y=f[g（x）]是由函數 與函數 復合而成，f[g（x）]在點 的某去心鄰域內有定義，若 ， ，且存在 ，當 時，有 ，則

例如 ， 是由 與 復合而成

三、按洛必達法則計算

當極限是未定式時，就可以用洛必達法則計算。

例如

四、按夾逼準則計算

如果（1） 時，

（2）

。那么

例如計算

又

五、按無窮小等價代換定理計算

設 ～ ， ～ 且 存在，則

例如計算

解：當 時， ～ ， ～ ，所以

六、按連續性質計算

設函數 在 的某鄰域內連續，那么

例如計算

七、按泰勒公式計算

利用帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，可求某一些未定式的極限

例如計算

八、重要極限

例如計算

極限是變量變化的一種趨勢，求極限的方法的研究，其實就是研究變量的一種基本的方法。在高等數學學習中，極限起著非常重要的作用。而求極限的方法變化多端、因題而異，通過對一些基本法的歸納總結，可以對我們求極限起到一定的啟發作用。

在高等數學學習中，極限起著非常重要的作用。而求極限的方法變化多端、因題而異，本文通過對一些基本法的歸納總結，可以對我們求極限起到一定的啟發作用。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系 高等數學 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等數學[M].北京： 科學出版社，2009.

作者簡介：

程國華（1963.2～）男，江西南昌人，數學專業，研究方向：數學建模。