函數與方程復合問題的探究

王新兵

數學樣例是數學問題及其解答的組合體，或者是一個數學概念、公式或原理的一個具體“實體”對象，一般而言，它可以解釋一個數學概念，例說一個原理或例示一個公式及其應用，當然也可以說明一類數學問題的解法，在數學學習中起到樣板和示范的作用[1].樣例學習的優越性之一表現在樣例提供了與學習有關的關鍵成分.函數與方程復合問題最近幾年在考題中頻頻出現，教學時往往有“不爽”之感，一是所給函數一般較復雜，二是與方程復合后涉及函數零點個數，參數范圍等等，給本來就感到“難”的問題又蒙上一層“陰影”.這種問題具有高度的系統性和結構化，從認知學習的客觀規律上，需要對其內容進行拆分[2].數學教學中的樣例學習是通過設計有效樣例，讓學生通過學習樣例提高他們對數學問題的解決能力.具體包括兩方面：其一是讓學生從樣例中習得隱含的規律、原理，進而將規則、原理用到相似的具體題目中；其二是讓學生讀懂樣例的解題過程，通過模仿樣例例題解題方法去解決練習題，進而掌握該類問題的解決方法[3].下面給出兩類樣例問題，通過分析其隱含規律，幫助學生通過模仿其解題過程，最終達到掌握的目的.1有關函數與方程復合后的根的問題.

例1已知函數y=f（x）和函數y=g（x）的圖象（圖1）：

問：（1）方程f[g（x）]=0不同實數解的個數是多少？

（2）方程g[f（x）]=0不同實數解的個數是多少？

這是函數與方程復合的問題，應先對復合后方程的“內層”進行換元.然后結合y=f（t）和t=g（x）的曲線，便可使問題解決.

對于問題（1），令t=g（x），則f（t）=0零點情況如下：

由y=f（t）的圖象知：零點分別有三個值t1，t2，t3，其中t1∈（-2，-1），t2=0，t3∈（1，2）.

這時再看t=g（x），畫橫線y=t知（圖2）：

當t∈（-2，-1）時，對應2個x的值；

當t=0時，對應2個x的值；

當t∈（1，2）時，對應2個x的值；

綜合以上知：方程f[g（x）]=0有6個零點.

對于問題（2），令t=f（x），則g（t）=0零點情況如下：

由y=g（t）圖象知，t有兩個值，分別分布在t∈（-2，-1），t∈（0，1），這時再看t=f（x），畫橫線y=t知（圖3）：

當t∈（-2，-1）時，對應1個x值；

當t∈（0，1）時，對應3個x值；

綜上知g[f（x）]=0零點個數為4個.

還可繼續問f[f（x）]=0和g[g（x）]=0的情形如何？

這個問題的解決，為我們解決函數與方程復合問題打開了一扇窗，使我們對這一類問題的數學思維豁然開朗.返樸歸真，尋求數學的本源，弄清數學問題所蘊含的思想和觀念，才能達到舉一反三的目的.再請看下面問題.

例2若函數f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程

3[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同實根的個數是（）.

A.3B.4C.5D.6

本問題是一個三次函數與一元二次方程復合后判斷根的個數問題.先令t=f（x），則

3t2+2at+b=0，畫出t=f（x）的草圖（圖4）.

因為f′（x）=3x2+2ax+b，依題意知x1，x2為f′（x）=0的兩個不同的實根，即為方程3t2+2at+b=0的兩個解.令t=x1或t=x2不妨設x1

所以原方程有3個解，故選A.2有關含參的函數與方程復合的參數條件問題.

例3設定義域為R的函數f（x）=lgx-1，x≠1，

0，x=1，則關于x的方程

f2（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解的充要條件是（）.

A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

本問題是分段函數與一元二次方程復合后判斷解的個數問題.

先令t=f（x），則t2+bt+c=0.

作t=f（x）的圖象，然后畫橫線y=t（圖5），尋求滿足條件的點的位置及t的范圍.

若方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解，從圖象上看方程t2+bt+c=0必須有兩個不同解，又從畫橫線y=t知t的位置有兩個，一個t1>0，一個t2=0，即一個正根，一個零根，因此，b<0且c=0，故選C.

例4已知函數f（x）=-x2-2x，g（x）=x+14x，x>0，

x+1，x≤0，若方程g[f（x）]-a=0不同解的個數為4，則實數a的取值范圍為.

見到方程g[f（x）]-a=0，轉化為g[f（x）]=a，即y=g[f（x）]和y=a的圖象的交點個數為4.

令t=f（x），g（t）=a.先觀察“內層”函數t=f（x）圖象，結合圖象畫橫線可知（圖6），一個t對應x值的個數，欲達到4個零點，每個t對應2個x值，則需t有兩個解，同時知t<1即可.再觀察y=g（t）圖象（圖7），從圖象知當1≤a<54時，y=g（t）與y=a恰有兩個交點，即t有兩個值.

綜上分析，實數a的取值范圍為[1，54）

例5設定義域為R的函數f（x）=lgx，x>0

-x2-2x，x≤0，若關于x的函數

y=2f2（x）+2bf（x）+1有8個不同的零點，則b的取值范圍為（）.

A.-322

本問題是分段函數與一元二次方程復合后，由零點個數求參數范圍的問題.

令t=f（x），則y=2t2+2bt+1，作t=f（x）的圖象（圖8），畫橫線知：每一個t對應4個x，且t∈（0，1），這樣y=2t2+2bt+1有兩個不同的零點t1，t2，且t1，t2∈（0，1）.

由一元二次方程根的分布滿足Δ=4b2-8>0，

0<-b2<1，

g（1）>0，-32

例6函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關于x=-b2a對稱，據此可以推測對任意的非零實數a，b，c，m，n，p關于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

本問題是一個一元二次方程和另一個一元二次方程復合后根的問題.令t=f（x），則mt2+nt+p=0，畫t=f（x）的草圖，考慮mt2+nt+p=0有兩解的情況，可設t=M，或t=N，利用函數與方程思想.把方程問題轉化為求函數t=f（x）與直線y=M或y=N交點問題（圖9）.

設x1，x2，x3，x4分別為t=f（x）與兩直線交點的橫坐標，不妨設x1

在數學課堂教學中，樣例的學習通常以逐步呈現解答步驟的形式向學習者提供解決問題的方法或規則[4].從以上樣例求解可以看出，這類問題是函數（曲線）與方程的復合問題，無論是判斷根的個數，還是由根的個數判斷參數范圍，都是先用換元法將函數替換掉，畫出這個“新”函數的圖象，然后在曲線上畫與x軸平行的直線，分析交點情況，確定方程的根或所求參數的取值范圍.這類問題綜合性較強，將數形結合、化歸等數學思想體現的“淋漓盡致”.數學知識的掌握是一個積累的過程，這個積累反映了數學思維的成果[5～7]，只要我們抓住了問題的本質，問題的解決也就和諧、自然了.

參考文獻

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[3]甘衛群，劉萬倫.樣例的概念屬性呈現方式對初一學生分式概念學習的影響[J].數學教育學報，2015，24（6）：68-72

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