例析函數中雙變量的任意與存在混搭的等式問題

石向陽

近幾年高考，函數中雙變量的任意與存在混搭的等式問題，越來越受命題人的青睞.對于這類問題，學生很是困惑.下面就此類問題總結歸納如下：

命題1x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域包含于g（x）的值域{f（x）|x∈A}{g（x）|x∈B}.

命題2x1∈A，x2∈B，都有f（x1）=g（x2）成立等價于f（x）的值域等于g（x）的值域{f（x）|x∈A}={g（x）|x∈B}.

命題3x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域與g（x）的值域相交非空{f（x）|x∈A}∩{g（x）|x∈B}≠.

命題4x1∈A，x2∈B，都有f（x1）≠g（x2）成立f（x）的值域與g（x）的值域相交為空集{f（x）|x∈A}∩{g（x）|x∈B}=.

從集合子集的定義、集合相等的定義、集合交集的定義，不難理解上述命題的合理性.有了這些命題的幫助，我們能很好地破解與此相關的一些難題.

例1已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.設函數q（x）=g（x），x≥0，

f（x），x<0.是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.

解當x<0時，有q′x=f′x=3x2-2（k2-k+1）x+5；當x>0時，有q′x=g′x=2k2x+k，因為當k=0時不合題意，因此k≠0.

下面討論k≠0的情形，記A={g′（x）|x>0}，B={f′（x）|x<0}，則A=（k，+∞），B=5，+∞

（ⅰ）當x1>0時，q′x在0，+∞上單調遞增，所以要使q′x2=q′x1成立，只能x2<0，由命題1知AB，因此有k≥5；

（ⅱ）當x1<0時，q′x在-∞，0上單調遞減，所以要使q′x2=q′x1成立，只能x2>0，由命題1知BA，因此k≤5.

綜合（ⅰ）（ⅱ）k=5.

當k=5時，有A=B.則x1<0，q′x1∈B=A，即x2>0，使得q′x2=q′x1成立，因為q′x在0，+∞上單調遞增，所以x2的值是唯一的；

同理，x1<0，即存在唯一的非零實數x2（x2≠x1），使q′x2=q′x1成立.

所以k=5滿足題意.

例2已知函數f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1].

（Ⅰ）求f（x）的單調區間和值域；

（Ⅱ）設a≥1，函數g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍.

解（Ⅰ）對函數f（x）求導，得f′（x）=-4x2+16x-7（2-x）2=-（2x-1）（2x-7）（2-x）2.

令f′（x）=0解得x=12或x=72.

所以，當x∈（0，12）時，f（x）是減函數；當x∈（12，1）時，f（x）是增函數.

當x∈[0，1]時，f（x）∈[-4，-3].

（Ⅱ）對函數g（x）求導，得g′（x）=3（x2-a2）.

因為a≥1，當x∈（0，1）時，g′（x）<3（1-a2）≤0.

因此當x∈（0，1）時，g（x）為減函數，從而當x∈[0，1]時有g（x）∈[g（1），g（0）].

又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，即x∈[0，1]時有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a].

任給x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），由命題1

知問題轉化為[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].即1-2a-3a2≤-4，

-2a≥-3.解得1≤a≤32.

故a的取值范圍為[1，32].

例3已知函數f（x）=x-4，g（x）=x3-3a2x-2a（其中a≥1），

（Ⅰ）若對于任意x1∈[0，2]，x2∈[0，1]，都有f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范圍.

（Ⅱ）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范圍.

解（Ⅰ）當x∈0，2時，f（x）單調遞增，所以，f（x）∈[f（0），f（2）]，即f（x）∈[-4，-2].由例2知g（x）∈[1-2a-3a2，-2a].

由命題2知，f（x）的值域等于g（x）的值域[1-2a-3a2，-2a]=[-4，-2].即1-2a-3a2=-4，

-2a=-2.解得a=1.故a的取值范圍為{1}.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）∈[f（0），f（1）]=[-4，-3]，g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，由命題3知問題轉化為[-4，-3]∩[1-2a-3a2，-2a]≠.當a≥1時有1-2a-3a2≤-4，所以只需-2a≥-4即a≤2.又a≥1，所以1≤a≤2.

例4已知函數f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），g（x）=196x-13.是否存在實數a，存在x1∈[-1，1]，x2∈[0，2]，使得f′（x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

解在[0，2]上g（x）=196x-13是增函數，故對于x∈[0，2]，有g（x）∈[-13，6].

設h（x）=f′（x）+2ax=3x2+2x-a（a+2），

當x∈[-1，1]時，h（x）∈[-a2-2a-13，5-a2-2a].

要存在x1∈[-1，1]，x2∈0，2，使得h（x1）=g（x2）成立，由命題3知問題轉化為[-a2-2a-13，5-a2-2a]∩[-13，6]≠，

考慮反面，若[-a2-2a-13，5-a2-2a]∩[-13，6]=，

則-13>5-a2-2a或6<-a2-2a-13，解得a>-1+573或a<-1-573.

從而所求為-1-573≤a≤-1+573.

例5已知函數f（x）=（12）x-m，g（x）=x2.若對于任意x1∈[0，2]，任意x2∈[-1，3]，都有f（x1）≠g（x2）成立，求m的取值范圍.

解由題意可得f（x）∈[f（2），f（0）]=[14-m，1-m]，g（x）∈[0，9]，由命題4知問題轉化為[14-m，1-m]∩[0，9]=1-m<0或14-m>9m>1或m<-354.

綜上可得m的取值范圍為（-∞，-354）∪（1，+∞）.

幾點補充說明：

（1）雙變量中任意與存在性混搭的等式問題，可轉化為兩個函數的值域問題；

（2）由f（x）=g（x）f（x）≥g（x），

f（x）≤g（x）知，可將等式問題轉化為不等式問題處理，如例2：對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立x1∈[0，1]，x0∈[0，1]，有g（x0）≥f（x1），

g（x0）≤f（x1），g（x）max≥f（x）max，

g（x）min≤f（x）min，-2a≥-3，

1-2a-3a2≤-4.解得1≤a≤32，故a的取值范圍為[1，32].

總之，雙變量中任意與存在混搭等式問題，實質是研究相應函數值域問題，把任意與存在混搭等式問題化歸為值域問題是解決問題的關鍵所在.