《九章算術》中的芻童、芻甍、羨除

2015年湖北省高考數學試卷文科第20題、理科第19題引入了《九章算術》中的“陽馬”和“鱉臑”，這兩個被多數同行認為的“新”名稱的最近發展區是呼之欲出的芻童、芻甍、羨除.

大約在25年前，我當時所在的湖北省咸寧高中數學組的幾位老師就探討著一類想象的六面體：兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側面分別是全等梯形的六面體一定是四棱臺嗎？

經過爭論和嘗試后，我們畫出下列兩圖：先畫

出兩底面為長方形且兩底面中心連線（對稱軸）垂直于兩底面的四棱臺ABCD—A1B1C1D1（如圖1），再將其上底面矩形A1B1C1D1繞對稱軸按逆時針方向旋轉90°，便可伴隨得到“兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側面分別是全等梯形的六面體”（如圖2），但這個六面體卻不是四棱臺.于是，我們當時統一了觀點，所探討的六面體不一定是四棱臺.

但是，這樣旋轉得到的六面體是否有一個名稱呢？我們當時并不知道！若干年之后，我閱讀相關數學史書籍，才知曉我國于公元前一世紀編成、公元一世紀修訂的世界性名著《九章算術》上有著相關上述六面體的內容.用《九章算術》的名稱，上述旋轉得到的六面體是一種芻童.圖1圖2

形似“草垛”的所謂芻童（包括曲池、盤池、冥谷），就是恰有兩個矩形底面（不能全為正方形）、四條側棱的延長線不交于一點的六面體[1][2].芻童的兩個底面所在的平面互相平行，其實對于幾何圖形中所說的“兩底”都默認其所在平面互相平行；芻童的四個側面是梯形或平行四邊形，但不能全為平行四邊形（否則就退化成平行六面體）；芻童的四條側棱所在直線交于兩點（一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關系不相反）或四點（一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關系相反）.

例1（2002年北京市高考題）如圖3，在多面體ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側棱延長后相交于E、F兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c、d與a、b，且a>c，b>d，兩底面間距離為h.

（1）證明：EF∥平面ABCD；

（2）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式V估=S中截面·h來計算，已知它的體積公式是

V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h，（Ⅰ）

試判斷V估與V的大小關系.

審題①六面體ABCD—A1B1C1D1是一個芻童，四條側棱所在直線交于兩點，而不是交于四點；②公式（Ⅰ）是任意擬柱體的一般體積公式.

解（1）由于下底面ABCD是矩形，則AB∥CD，則AB∥平面CDEF（線面平行的判定定理）.又因為平面ABFE∩平面CDEF=EF，則AB∥EF（線面平行的性質定理），即EF∥AB，則EF∥平面ABCD（線面平行的判定定理）.

（2）根據梯形的中位線定理得到

S中截面=a+c2·b+d2=ab+ad+bc+cd4，則

V估-V=S中截面h-16（S上底面+4S中截面+S下底面）h

=h6（2S中截面-S上底面-S下底面）

=h6（ab+ad+bc+cd2-ab-cd）

=h12（-ab+ad+bc-cd）.

=-h12（a-c）（b-d）<0（其中a>c，b>d）.

所以，V估

補注①此題可以啟發我們領悟到芻童的一個性質——芻童的四條側棱所在直線交于兩點或四點，底面同側的兩點連線必定平行于底面；②根據擬柱體的一般體積公式（Ⅰ）可以推導出芻童特有求體積之“術”，請見下面的定理.

定理1如圖4和圖5，如果芻童的高為h，下底面矩形的長為a1、寬為b1，上底面矩形的長為a2、寬為b2，那么此芻童的體積是[1][2]

V=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h.（Ⅱ）

《九章算術》對于問題只給出“術”與終答，而對“術”卻不證自明.下面補遺證明定理1.

證明由于芻童是一類擬柱體，則運用公式（Ⅰ）得到V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h

=16（a1b1+4·a1+a22·b1+b22+a2b2）·h

=16[a1b1+（a1b1+a1b2+a2b1+a2b2）+a2b2）]·h

=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h，

所以，公式（Ⅱ）正確，故定理1證畢.

如下列兩圖，將圖6芻童ABCD-A1B1C1D1的兩個頂點A1與D1合攏成一點E，同時將兩個頂點B1與C1合攏成一點F，便形成圖7而得到一個五面體EF—ABCD.按照《九章算術》的說法，這個由芻童退化演變出來的五面體是一個廣義的芻甍.

形似“草脊”的所謂芻甍，就是唯一頂棱平行于唯一矩形底面、三條平行棱不全等長的五面體.這是廣義的芻甍，《九章算術》中狹義的芻甍還要限制頂棱的長度小于與它平行的兩條等棱的長度[2]，此限制條件對于后面的體積公式（Ⅳ）沒有影響.

例2（2007年江蘇省競賽題改編題，1999年全國高考題）如圖8，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，

EF=32，EF與面ABCD

的距離為2，則該多面體的體積為.

解作兩個平行四

邊形AB1FE與DC1FE（圖略），連B1C1，則題設的多面體（芻甍）EF—ABCD可以由四棱錐F—

BB1C1C和三棱柱ADE—B1C1F所拼成，其中該三棱柱的直截面的底邊長為3、高為2，于是所求多面體的體積為VEF—ABCD=VF-BB1C1C+VADE-B1C1F

=13S矩形BB1C1C·2+S直截面·32

=13·3·（3-32）·2+3·22·32=152（平方單位）.

補注①在此例中，把矩形ABCD和線段EF放在距離等于2的兩個平行平面中任意平行移動，芻甍EF-ABCD的體積都不會改變；②狹義的芻甍體積可以這樣分割求得，那么另一類不狹義的芻甍體積是否也可以通過拼補求得呢？

定理2在芻甍CC1-AA1B1B中，底面矩形的兩邊AA1=a、AB=l，頂棱CC1=c，頂棱CC1到底面AA1B1B的距離為h，則該芻甍的體積為[2]

V=16（2a+c）lh.（Ⅲ）

證明當c>a時，如圖9，延長AA1至A0、延長BB1至B0，使AA0=BB0=CC1=c，連A0B0，則ABC—A0B0C1是三棱柱且其直截面三角形的底邊長為l、高也為h，則此時芻甍CC1—AA1B1B的體積為V=VABC-A0B0C1-VC1-A1A0B0B1

=S直截面·c-13·SA1A0B0B1·h

=lh2·c-13·（c-a）l·h=16（2a+c）lh.

當c

對芻甍進行泛化想象（圖略），假如將芻甍的底面矩形替換為底面梯形且芻甍有三條棱兩兩平行，那么《九章算術》把這種五面體稱為羨除.

形似“楔體”的所謂羨除，就是三個側面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個平行四邊形）、兩個不平行對面是三角形的五面體[1][2].還能夠想象，羨除可以由三棱柱的三個側面與其兩個三角形截面所圍成的凸五面體，羨除是三棱柱的泛化圖形，三棱柱是羨除的退化圖形.

《九章算術》給出求羨除體積的“術”是：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“廣”是指羨除的三條平行側棱之長、“深”是指一條側棱到另兩條側棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側棱所在平行線之距.用現代語言描述，就是——

定理3在羨除ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，兩條平行線AA1與BB1間的距離為l，直線CC1到平面AA1B1B的距離為h，則該羨除的體積為[1][2]

V=16（a+b+c）lh.（Ⅳ）

受定理2的證明過程的啟發，下面因勢利導地來推導羨除的體積公式.

證明如圖11，在羨除ABC-A1B1C1中，當c是a、b、c的最小者時，在棱AA1、BB1上分別取點A0、B0使得

AA0=BB0=CC1=c，連A0B0，則此時羨除

ABC-A1B1C1的體積為

VABC—A1B1C1=VABC—A0B0C1+VC1—A1A0B0B1

=S直截面·c+13·SA1A0B0B1·h=lh2·c+13·（a-c）+（b-c）2l·h

=（c2+a+b-2c6）lh=16（a+b+c）lh.

當c不是a、b、c的最小者時，不妨設b是a、b、c的最小者，令兩條平行線AA1與CC1間的距離為l1，直線BB1到平面AA1C1C的距離為h1，則同理

可證VABC—A1B1C1=16（a+b+c）l1h1.

又因為l1h1=2S正截面=lh（為定值），

則此時也有VABC—A1B1C1=16（a+b+c）lh.

總之，定理3證畢.

例3（2009年南京大學自主招生題）在四面體ABCD中，平行于AB與CD的平面π截該四面體得到截面EFGH，AB到π的距離為d1，CD到π的距離為d2，且d1=kd2.求立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比（用k表示）.圖12

解如圖12，設兩條異面直線AB、CD的距離與夾角分別為d與θ，則借用四面體的外接平行六面體可求得四面體ABCD的體積[3]為

VABCD=d·AB·CD6·sinθ.這里，d=d1+d2.由于平行四邊形EFGH的較小內角是θ，則兩條平行線EF與GH間的距離l=EH·sinθ，根據已知條件、定理3、相似比求得VAB-EFGH=VAEH-BFG

=16（AB+EF+GH）·l·d1

=16（AB+2·EF）·（EH·sinθ）·d1

=AB6·（1+2·d2d1+d2）（d1·CDd1+d2·sinθ）d1

=VABCD·d1+3d2d1+d2·（d1d1+d2）2

=VABCD·k2（k+3）（k+1）2.

所以，立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比為k2（k+3）（k+1）2.

補注命題組采用添加輔助線AF、AG、EG的方法解答此題，讀者可對比閱讀.

回味上述定理，頓悟到可以由定理3證明定理2和定理1；經檢驗，公式（Ⅳ）也適合芻甍和三棱柱，于是我們可以概括出一個統一的結論——

定理4在五面體ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，且三條平行線AA1、BB1、CC1的直截面三角形的面積為S直截面，則該五面體（三棱柱、芻甍、羨除）的體積為

V=13（a+b+c）S直截面.（Ⅴ）

考慮篇幅，最后把例題改作習題留給讀者探究.

1.（2005年全國高考題改編題，1983年美國邀請賽題）圖13的多面體的底面是邊長為s的正方形，上面的棱平行于

底面，其長為2s，其余棱長也都為s，若s=62，求這個多面體的體積.圖13圖14

2.（2015年安徽省競賽題）在如圖14所示的多面體ABCDEF中，已知AD，BE，CF都與平面ABC垂直.設AD=a，

BE=b，CF=c，AB=AC=BC=1.求四面體

ABCE與BDEF公共部分的體積（用a，b，c表示）.

3.（2013年湖北省文科高考題）如圖15，某地質隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發現礦藏，再繼續下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，d1

點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1—A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中.

（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；

（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S.在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1—A2B2C2的體積V）時，可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=13（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關系，并加以證明.

參考文獻

[1]李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002：

76～78

[2]郭書春.中國傳統數學史話[M].北京：中國國際廣播

出版社，2012：40～42

[3]甘大旺.高考數學150專題[M].武漢：湖北教育出版

社，2015：145