射影定理在2016年高考中應用例析

高豐平

高考題目不少都是來源于課本的，回歸教材是高考復習中要注意的一個問題.下面以“射影定理”為例，說明高考中試題“源自課本，而又高于課本”.

人教A版必修5第18頁練習3

在△ABC中，求證：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

證明一（教師用書）右邊=bcosC+ccosB=b×a2+b2-c22ab+c×a2+c2-b22ac

=a2+b2-c22a+a2+c2-b22a=2a22a=a=左邊.類似可以證明另外兩個等式.

特別注明本題結論稱為射影定理.

證明二在△ABC中，A+B+C=π，A=π-B-C，sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C），展開得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理得a=bcosC+ccosB，同理可得b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

證明三分角A為銳角、直角、鈍角作圖討論，過程略.

下面來看2016年的幾道高考題.

例1（2016年全國卷1理科17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332，求△ABC的周長.

解（Ⅰ）由射影定理得acosB+bcosA=c，又2cosC（acosB+bcosA）=c，

故2ccosC=c，cosC=12，因為C∈0，π所以C=π3.

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，7=a2+b2-2ab·12，a+b2-3ab=7.

S=12absinC=34ab=332，所以ab=6，所以a+b2-18=7，所以a+b=5，

所以△ABC周長為a+b+c=5+7.

評注本題難度不大，但運用射影定理無疑會給解題帶來方便，省去推導與轉化的麻煩，可以節約篇幅和時間，充分享受數學簡約之美.

例2（2016年四川卷文科18題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.

（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.

證明（Ⅰ）由cosAa+cosBb=sinCc變形得，c（bcosA+acosB）=absinC，又由射影定理得bcosA+acosB=c，即c2=absinC，又由正弦定理得sin2C=（sinAsinB）sinC，C∈（0，π），sinC≠0，

故有sinAsinB=sinC成立.

解（Ⅱ）由已知b2+c2-a2=65bc，根據余弦定理，有cosA=b2+c2-a22bc=35，

所以sinA=1-cos2A=45.由（Ⅰ）

sinAsinB=sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

所以45sinB=45cosB+35sinB，故tanB=sinBcosB=4.

評注問題（Ⅰ）應用射影定理求證，簡潔明了.

例3（2016年山東卷理科16題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA.

（Ⅰ）證明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

證明（Ⅰ）由2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA化切為弦得

2（sinAcosA+sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB，化簡得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB，由正弦定理得2（acosB+bcosA）=a+b，又由射影定理知acosB+bcosA=c，故a+b=2c成立.

解（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=a+b2，所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-（a+b2）22ab=

38（ba+ab）-14≥12，當且僅當a=b時，等號成立.故cosC的最小值為12.

評注雖然所給式子較為復雜，但通過化切割為弦的處理，為射影定理的使用奠定了基礎，而射影定理的使用大大簡化了解題過程.