2016年浙江省高考數(shù)學(xué)（理）第18題評(píng)卷及啟示

林國(guó)夫

筆者非常榮幸參加了2016年浙江省高考理科第18題的閱卷工作.本文擬結(jié)合筆者的閱卷經(jīng)歷簡(jiǎn)要敘述本題的閱卷情況和自己有感而發(fā)的教學(xué)思考，供讀者參考.

試題已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p，p≤q，

q，p>q.

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在區(qū)間[0，6]上的最大值M（a）.

按照命題組事先設(shè)計(jì)試題的意圖，此題作為簡(jiǎn)單題第三題，不刻意增加試題的難度，是一道上手快、得分易的基本題（命題組原計(jì)劃將此題設(shè)計(jì)成兩空的填空題），重點(diǎn)考查函數(shù)基本思想和方法.從閱卷的實(shí)際情況看，試題難度預(yù)計(jì)有一定偏差，但具有良好的區(qū)分度，全省平均分為546，32%的學(xué)生得1分或0分，9%的學(xué)生13分及以上.下面我們首先簡(jiǎn)要介紹試題的常見解法和學(xué)生的典型錯(cuò)誤.1試題的常見解法及典型錯(cuò)誤

1.1第（Ⅰ）題的解法與典型錯(cuò)誤展示

1.1.1第（Ⅰ）題的正確解法

正確解法1此問(wèn)首先需將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：求解關(guān)于x的不等式2|x-1|≥x2-2ax

+4a-2（a≥3）.下面通過(guò)討論去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常規(guī)的一元二次不等式：

①當(dāng)x≥1時(shí)，不等式等價(jià)于2x-2≥x2-2ax+4a-2x2-（2+2a）x+4a≤0（x-2）（x-2a）≤0

2≤x≤2a（a≥3），故此時(shí)x的取值范圍為[2，2a].

②當(dāng)x<1時(shí)，不等式等價(jià)于2-2x≥x2-2ax+4a-2x2+（2-2a）x+4a-4≤0.考慮到二次函數(shù)h（x）=x2+（2-2a）x+4a-4的對(duì)稱軸x=a-1≥2，

故h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x<1時(shí)，h（x）>h（1）=2a-1>0，從而不等式x2+（2-2a）x+4a-4≤0在

（-∞，1）上無(wú)解.【說(shuō)明：當(dāng)x<1時(shí)，利用x2+（2-2a）x+4a-4=x2

+（2a-2）（2-x）>0也能說(shuō)明不等式無(wú)解】.綜合上述，使得等式

F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2，2a].

正確解法2由于F（x）的草圖如圖2所示，我們先求出方程x2-2ax+4a-2=

2（x-1）的根x1=2，x2=2a.考慮到當(dāng)x≤2時(shí)，x2-2ax+4a-2≥2|x-1|，故從圖中可知，不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2（a≥3）的解集為[2，2a].

1.1.2第（Ⅰ）題的典型錯(cuò)誤

典型錯(cuò)誤1（參數(shù)分離法根深蒂固）由于不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2等價(jià)于

a（4-2x）≤-x2+2|x-1|+2.顯然x=2不等式成立，當(dāng)x≠2時(shí)，不等式等價(jià)于

x>2，

a≥-x2+2|x-1|+24-2x，或者x<2，

a≤-x2+2|x-1|+24-2x，再將問(wèn)題錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為上述不等式對(duì)任意的a≥3恒成立.

與上述錯(cuò)誤解法大相徑庭的另一種解法為：將不等式2|x-1|≥x2-2ax+4a-2中的絕對(duì)值通過(guò)x≥1，x<1討論消去后再采用參數(shù)分離法求解，仍然將問(wèn)題錯(cuò)誤等價(jià)成恒成立問(wèn)題.

典型錯(cuò)誤2（討論對(duì)象錯(cuò)誤）求解過(guò)程中通過(guò)討論實(shí)數(shù)a的范圍來(lái)求最值，不理解產(chǎn)生分類討論的原因和目的.

典型錯(cuò)誤3（圖像繪制不正確）在圖2中忽視點(diǎn)B的存在而導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果[2，+∞）.

典型錯(cuò)誤4（用十字交叉法求解一元二次方程的根比較生疏）不少學(xué)生對(duì)于一元二次不等式x2-（2+2a）x+4a≤0求解時(shí)求二次方程的根x1=2，x2=2a或用求根公式求，或無(wú)法正確求解，對(duì)十字交叉法比較生疏.

典型錯(cuò)誤5（不善于借助圖像直觀分析二次方程根的位置）當(dāng)求解一元二次不等式x2+（2-2a）x+4a-4≤0時(shí)，毫無(wú)顧忌地直接利用求根公式x=2a-2±（2-2a）2-4（4a-4）2

=a-1±（a-1）（a-5），從而盲目地認(rèn)為不等式的解集為[a-1-（a-1）（a-5），a-1+（a-1）（a-5）]，

殊不知一元二次方程x2+（2-2a）x+4a-4=0的根是否存在（比如3≤a<5時(shí)則方程無(wú)實(shí)根）、也不考慮要討論根a-1±（a-1）（a-5）是否落于區(qū)間（-∞，1）內(nèi).產(chǎn)生上述問(wèn)題的根源在于不善于利用圖像來(lái)直觀分析二次函數(shù)的零點(diǎn)位置，從而很難想到如同標(biāo)準(zhǔn)參考答案中借助x2+（2-2a）x+4a-4=x2+（2a-2）（2-x）>0來(lái)簡(jiǎn)要說(shuō)明不等式無(wú)解.

1.2第（Ⅱ）題解法和典型錯(cuò)誤展示

1.21第（Ⅱ）題（?。﹩?wèn)的正確解法

正確解法1（利用min{min{p（x），q（x）}}=min{p（x）min，q（x）min}求解）設(shè)f（x）=2|x-1|，

g（x）=x2-2ax+4a-2，則m（a）=F（x）min=min{min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}}=min{min{f（x），g（x）}}

=min{f（x）min，g（x）min}.由于f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=-a2+4a-2，從而

m（a）=min{0，-a2+4a-2}=0，3≤a≤2+2，

-a2+4a-2，a>2+2.

正確解法2（利用圖像求解）由于F（x）的圖像如圖2所示（實(shí)線部分）.則m（a）=min{F（1），F(xiàn)（a）}=min{0，-a2+4a-2}=0，3≤a≤2+2，