一道高考試題的解法賞析與溯源拓展

黃旭東

1試題再現與分析

2016年四川卷（文數）第20題：已知橢圓E：x2a2+у2b2=1（a﹥b﹥0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P（3，12）在橢圓E上.（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設不過原點O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：AM·BM=MC·MD

不難得（Ⅰ）方程為：x24+y2=1；而（Ⅱ）所證結論較有意思，讓我們聯想到圓的相交弦定理.其證法有多種，下面先賞析其解法，供參考.

2解法賞析

從設直線方程的常規視角考慮，即基本方法，即得如下解法.

證法一如圖1，設直線AB方程為y=12x+m，由AB與橢圓相交，則y=12x+m，

x24+y2=1，則得x2+2mx+2m2-2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則Δ=4m2-8m2+8>0m2<2，x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，故中點坐標M（-m，12m），則CD方程為y=-12x，由CD與橢圓相交則x24+y2=1，

y=-12x，x=2，

y=-22，或x=-2，

y=22，則C（-2，22），D（2，-22），由C、M、D三點共線，則MC·MD=CM·MD=（-m+2）（2+m）+（12m-22）（-22-12m）=54（2-m2），又M為AB中點，則AMBM=14AB2=14[1+k2AB（x1+x2）2-4x1x2]2=14（1+122）（4m2-8m2+8）

=54（2-m2），即AM·BM=MC·MD.

由于M為弦AB中點，可利用點差法；又聯想到參數方程求解弦長乘積有著獨到的優勢，從此視角考慮可利用參數方程加以解決，則有解法二.

證法二設直線AB與橢圓兩交點A（x1，y1），B（x2，y2），則有x214+y21=1………①，x224+y22=1………②，①-②得：（x1-x2）（x1+x2）4=-（y1+y2）（y1-y2）.設AB中點M（x0，y0），AB斜率為k，則k=y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-x04y0=12y0x0=-12，則直線CD斜率為kCD=y0x0=-12，AB的參數方程為x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ，（其中cosθ=55，sinθ=255，t為參數），將之代入橢圓方程化簡得

（4sin2θ+cos2θ）t2+（2x0cosθ+8y0sinθ）t+x20+4y20-4=0，不妨設A，B對應參數分別為t1，t2，則AM·BM=t1t2=x20+4y20-44sin2θ+cos2θ，考慮到CD與AB直線斜率為相反數，則CD參數方程只需將θ換成π-θ，設C，D對應參數分別為t3，t4則同理可得MCMD=t3t4=x20+4y20-44sin2（π-θ）+cos2（π-θ）=x20+4y20-44sin2θ+cos2θ，顯然AMBM=MCMD.

要說明的是參數方程在此處應用可說是大大簡化了運算量，讓人印象深刻！

考慮到AB，CD兩直線與橢圓相交于四點，從曲線束的視角考慮也可妙解此題.

證法三同證法二，可得kCD=-12，設AB方程為：y=12x+m，且CD方程為y=-1[]2[SX）]x，將直線AB，CD組合看成二次曲線C，方程為（x+2y）（x-2y+2m）=0由于曲線C與橢圓E相交于A、B、C、D四點，則過A、B、C、D四點的二次曲線束可設為x2+4y2-4+λ（x+2y）（x-2y+2m）=0…（1），又設AD，BC直線方程分別為a1x+b1y+c1=0與a2x+b2y+c2=0，則AD，BC組合看成二次曲線G：（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）=0…（2），由曲線G也過A、B、C、D四點，則二次曲線束也可表示AD，BC兩直線組成的二次曲線G，比較方程（1）（2），由于方程（1）整理后無xy項，則方程（2）xy項系數也為0，即a1b2+a2b1=0，由題意知b1b2≠0，則有a1b1+a2b2=0，則直線BC與直線AD斜率kBC+kAD=0，如圖2，則知∠3=∠4，又∠1=∠2，則∠3-∠1=∠4-∠2，圖2即∠BCM=∠DAM，又∠CMB=∠AMD，則∠CBM=∠ADM，即△BMC∽△DMA，AMMC=MDBM，即AM·BM=MC·MD.

利用二次曲線束，結合相似三角形線段成比例，繞過弦長的計算，獨辟蹊徑，讓人拍案稱絕！3試題溯源拓展

由上面各種證明我們發現，最終保證“橢圓相交弦定理”結論成立的必要條件是直線AB與直線CD斜率互為相反數.溯其源流，在新課標選修44第38頁例4中找到源頭，即為橢圓中相交弦定理.

定理1[1]過橢圓內部一點M作兩條相交弦AB與CD，且直線AB與CD斜率互為相反數，則有AM·BM=MC·MD.

此相交弦定理可推廣到雙曲線與拋物線，見圖3、圖4，即得

定理2雙曲線兩條相交弦AB與CD交于一點M，且直線AB與CD斜率互為相反數，則有AM·BM=MC·MD.

定理3拋物線兩條相交弦AB與CD交于一點M，且直線AB與CD斜率互為相反數，則有AM·BM=MC·MD.

上述定理的證明可參照上面證明中證法二與證法三，此處略.

由此試題提醒我們中學老師在平時教學時應重視課本教學，應固本思源，同時注意引導學生挖掘典型題，多角度進行變式教學，才能使我們的學生在未來的高考舞臺中，游刃有余，笑傲考場！

參考文獻

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學（選修44）[M].北京：人民教育出版社，200712：38