無(wú)言有理
——勾股定理的“無(wú)字證明”

張小娟

（陜西西安高新第二學(xué)校　陜西西安　710065）

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無(wú)言有理
——勾股定理的“無(wú)字證明”

張小娟

（陜西西安高新第二學(xué)校陜西西安710065）

一、學(xué)情分析

鑒于八年級(jí)學(xué)生思維活躍，參與意識(shí)強(qiáng)，喜歡拼圖，喜歡展示自我的特點(diǎn)，以及八年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)第一章《勾股定理》中，已具備了通過(guò)拼圖利用等面積法驗(yàn)證勾股定理的技能和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此，本節(jié)課通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷“無(wú)字”驗(yàn)證勾股定理是對(duì)課本知識(shí)在深度上和廣度上的進(jìn)一步延伸和拓展，使學(xué)生感受解決問(wèn)題方法的多樣性和開(kāi)放性，從而激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，享受數(shù)學(xué)思維的快樂(lè)，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

二、教材分析

本節(jié)課是北師大版八年級(jí)上冊(cè)，第一章勾股定理的一節(jié)拓展課。勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)直角三角形性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深化，它可以解決許多直角三角形中相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，在實(shí)際生活中用途很廣泛。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且在其他自然科學(xué)領(lǐng)域中也被廣泛地應(yīng)用，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，東西方都很早就展開(kāi)了對(duì)勾股定理的研究。尤其對(duì)于勾股定理的證明，人們更是趨之若鶩。迄今，已多達(dá)五百多種證法，而勾股定理的“無(wú)字證明”，整個(gè)證明不著一字，單靠移動(dòng)幾塊圖形隱含在圖形中的勾股定理便清晰呈現(xiàn)，讓人心領(lǐng)神會(huì)。無(wú)字證明中，包含的精巧與美麗是一道無(wú)與倫比的風(fēng)景線。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將有力的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)以提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。同時(shí)也為后期學(xué)習(xí)四邊形、圓中的有關(guān)計(jì)算等奠定基礎(chǔ)，因此本節(jié)課無(wú)論從知識(shí)的角度還是從數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累等層面都將起著舉足輕重的作用。

三、任務(wù)分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與能力目標(biāo)

① 了解無(wú)字證明的概念；

② 會(huì)制作并運(yùn)用“青朱出入圖”驗(yàn)證勾股定理；

③ 掌握古印度“無(wú)字證明”驗(yàn)證勾股定理的原理；

④ 理解勾股定理五百余種證法的實(shí)質(zhì)。

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)

① 感受剪、拼、割、補(bǔ)在解決幾何圖形問(wèn)題過(guò)程中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

② 在活動(dòng)過(guò)程中，感受同一問(wèn)題解決方法的多樣性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（3）情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

① 通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)人文文化，激發(fā)民族自豪感和學(xué)習(xí)熱情。

② 在探究活動(dòng)中體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神。

③ 增強(qiáng)民族自豪感，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的無(wú)國(guó)界性。

2.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）“青朱出入圖”的制作及原理；

（2）古印度“無(wú)字證明”的原理；

3.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）“青朱出入圖”的制作及原理；

（2）古印度“無(wú)字證明”的原理；

（3）理解“無(wú)字證明”的實(shí)質(zhì)——等面積法。

4.教學(xué)準(zhǔn)備

（1）教具：三角板 、ppt課件、磁鐵

（2）學(xué)具：紙、彩筆、剪刀、三角板

（3）自學(xué)任務(wù)：

① 學(xué)生課前觀看微視頻，掌握“青朱出入圖”的制作方法。

② 每人制作一幅美觀的“青朱出入圖”。

四、教法學(xué)法設(shè)計(jì)

1.教學(xué)方法：探究式教學(xué)法

2.學(xué)法：自主探究法

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

第一環(huán)節(jié)：舊知導(dǎo)課

教師活動(dòng)：

學(xué)生回答： 利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，將2）（ba+寫(xiě)成（a+b）（a+b）的積，從而得出結(jié)論，以數(shù)證數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：以舊導(dǎo)新，消除學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生感，從而引出無(wú)字證明的概念及課題。

第二環(huán)節(jié)：活動(dòng)探究

活動(dòng)一：“青朱出入圖”

（1）學(xué)生展示“青朱出入圖”；

（2）師生共同分析“青朱出入圖”的原理；

（3）學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證勾股定理。

（4）師生共同探究“青朱出入圖”的實(shí)質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：

① 學(xué)生通過(guò)提前觀看“青朱出入圖”的制作視頻，已掌握了繪制“青朱出入圖”的方法，所以讓學(xué)生當(dāng)堂展示親手制作的“青朱出入圖”，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛。

② 引導(dǎo)學(xué)生解讀“青朱出入圖”，理解其驗(yàn)證勾股定理的原理。

③ 學(xué)生通過(guò)剪、拼等操作，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在圖中的勾股定理不言而喻，清晰明了，切實(shí)體會(huì)無(wú)字證明的魅力所在。教師再用ppt課件演示圖形的移、拼過(guò)程，重現(xiàn)圖形的無(wú)縫、不重疊拼接，進(jìn)一步加深對(duì)“青朱出入圖”的理解。

④ 師生共同探究“青朱出入圖”的實(shí)質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)等面積法在證明勾股定理中的應(yīng)用。

活動(dòng)二：古印度“無(wú)字證明”

（1）小組探討古印度“無(wú)字證明”的原理，并由學(xué)生在全班交流分享；

（2）四人一小組，共12個(gè)活動(dòng)小組，討論交流、探究分割方法，并在全班交流不同的分割方法；

（3）學(xué)生動(dòng)手分割、拼圖，驗(yàn)證，并展示。

設(shè)計(jì)意圖：在活動(dòng)一的探究過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“青朱出入圖”的制作、原理、驗(yàn)證、實(shí)質(zhì)都已掌握。在此基礎(chǔ)上，教師放手讓學(xué)生去探究，適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生在交流的過(guò)程中，由思維碰撞產(chǎn)生了火花，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。同時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了交流、分享、達(dá)成共識(shí)，體驗(yàn)合作的樂(lè)趣。

活動(dòng)三：師生共析中外兩種無(wú)字證明的實(shí)質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)ppt演示，使學(xué)生理解等面積法在無(wú)字證明中的應(yīng)用，再次體會(huì)不證自明的魅力。

第三環(huán)節(jié)：小結(jié)歸納

（1）勾股定理的證法達(dá)500多種，分三種類型。

（2）我想說(shuō)……

設(shè)計(jì)意圖：更新知識(shí)系統(tǒng)，逐步完善知識(shí)脈絡(luò)，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力；梳理數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，理解其中的內(nèi)在聯(lián)系。

第四環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

實(shí)踐報(bào)告：搜集整理“無(wú)字證明”

設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣和欲望，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，提高其自學(xué)能力。