方法歸納，助力數學學習
——圓中陰影面積的求解

劉夢蓮（江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

方法歸納，助力數學學習
——圓中陰影面積的求解

劉夢蓮
（江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

最近幾年，全國各地的中考數學試卷，總會出現大量的求解圓中的陰影部分面積，是中考試題的重要內容之一.這些題目除了考查基礎知識外，還可以考查學生數學思想和方法的理解與掌握.下面通過一些實例對各類解法做一個歸納說明.

一、面積公式直接求

例1.（2015·恩施州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且E為OB的中點，則陰影部分的面積為（）

解析：由∠CDB=30°，可以得出∠COB=60°，進而得到∠COA= 120°，由，可以知道，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，利用勾股定理可以求得圓的半徑OC=4，利用扇形面積公式得

答案選D.

提示：對于此類題目，只需要求出圓的半徑和圓心角，就可以利用扇形面積公式進行求解.此類題目還有（2009·河南模擬）如圖，從一個邊長為2的菱形鐵皮中剪下一個圓心角為60°的扇形.

（1）求這個扇形的面積（結果保留π）.

二、作差法

例2.（2015·重慶）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB= 90°.以A為圓心，AC長為半徑作弧，交AB于點D，則圖中陰影部分的面積是__________.（結果保留π）

解析：對于此類陰影部分，由于是不規則的圖形，求此類面積需要轉化為規則圖形來進行求解.

這道題可以用S陰影=S△ABC-S扇形CAD

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°

又∵AC2+BC2=AB2

∴AC=BC=4

S陰影=S△ABC-S扇形CAD

=8-2π

答案為8-2π.

提示：此類題目占了圓中求陰影部分面積的很大一部分，題目簡單易求，關鍵是轉化和計算.此類題目在2015年的中考題中占比例較大.如2015年蘭州卷，2015年四川綿陽卷，2015年無錫卷，2015年新疆卷出現的陰影部分面積都可以用此類方法.

三、割補法

例3.（2015·河南）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為 OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作交OB于點D.若OA=2，則陰影部分的面積為______.

解析：對于此題，陰影部分是不規則圖形，通過補扇形COD的方法，也會發現四邊形OCEB不是規則的圖形，故可以通過分割的方法轉化為規則圖形，如下圖.

∴S陰影=S△OCE+S扇形OBE-S扇形OCD

∵CE⊥OA∠OCE=90°

∴點C為OA的中點，OA=2

∴OC=1

在△OCE中，∠OCE=90°，OC2+CE2=OE2

∴∠COE=60°∴∠BOE=30°

S陰影=S△OCE+S扇形OBE-S扇形OCD

提示：通過借助輔助線，把不規則的圖形割補成規則圖形，進而轉化為熟悉的圖形面積求解是此類題的基本方法，在2015年遵義同樣出現了此類題，可以仿照做出.

四、對稱法

例4.（2015·自貢）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，則陰影部分圖形的面積為（）

解析：本題的陰影部分為一個三角形和一個不規則的圖形，對于三角形的面積易于求解，但對于不規則的面積則不利于求解，故不能直接來做.由于圓的對稱性，我們可以把圖1變成圖2的形式.由對稱明顯易于觀察S△OCE=S△ODE

由∠CDB=30°可以得出∠COB=60°，進而得出∠DOB=60°，再用扇形面積公式可求.

半徑的求解在前面已經講解，此處不再多說.

答案選D.

提示：對于這類題，只要觀察出圖形的規律，就能很容易地轉化為特殊圖形進行求解面積.2015年湖北襄陽一道填空題的求解陰影部分面積也可以用此類方法.

對于圓中的求解陰影部分面積還有很多方法，比如代數法、特殊位置法、等積法等，這里就不再一一敘述，同學們可以下列題目來進行練筆.

1.（2015·新疆）如圖，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°.若將BD繞點B旋轉后，點D落在DC延長線上的點E處，點D經過的路徑，則圖中陰影部分的面積是（）

1題圖

2題圖

2.（2015·湖北襄陽）如圖，P為⊙O外一點，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠P=60°，則圖中陰影部分的面積為.

3.（2015·遵義）如圖，在圓心角為90°的扇形OAB中，半徑OA=2cm，C為的中點，D、E分別是OA、OB的中點，則圖中陰影部分的面積為________cm2.

3題圖　

4題圖

4.（2015·重慶B卷）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是______

（結果保留π）.

5.設計一個商標圖案（如圖所示），在△ABC中，AB=AC=2cm，，以A為圓心，AB為半徑作弧CEB，以BC為直徑作半圓CFB，則陰影部分面積為多少？

5題圖　

6題圖

6.如圖，半圓的直徑AB=40，C、D是這個半圓的三等分點，求弦AC、AD和弧CD圍成的圖形（陰影部分）的面積S.

·編輯魯翠紅