對數輔助函數在解題中的重要應用

馬小霞

摘 要： 對數函數作為輔導函數的一個重要類型在解題中起著很重要的作用.本文主要總結幾種題型中對數輔助函數的使用效果，說明對數輔助函數的重要性和使用情形.

關鍵詞： 輔助函數 對數函數 導數 極值

對數函數有很多類型，但應用最廣泛的是以e為底的對數，由于lnx的很好的特性，如：能夠將連乘的函數化成和式；函數y=f（x）與函數lnf（x）有相同的單調性等，決定了對數輔助函數的重要地位和不可替代的作用.下面通過幾個例子說明本文觀點.

1.在求導數時的重要應用

（1）我們通常將形如u（x）的函數式稱為冪指函數，這種函數在求導時既不能當成冪函數，又不能當成指數函數，所以在解題之前需要對其進行變形.

（2）如果函數涉及根號下連乘或連除，則可以通過對數變形成我們能夠求導的形式，從很大程度上減少計算量.

本題還可以直接求導數，但是如果將題目復雜化，就必須通過取對數進行化簡，本文就不再對更復雜的情形進行舉例說明了.

2.在求極值中的使用

由于我們知道函數y=f（x）的單調性和相對數式lnf（x）的單調性相同，因此在遇到復雜的連乘函數求極值問題，可以通過轉換成對數函數，將連乘轉化為求和，再求極值，并且極值點和原函數的極值點相同.這方面的應用在概率論語數理統計的極大似然估計法中得到了充分應用.

也就是原來函數f（x）的極值點情況如上表所示.

注意：此題如果直接利用函數求導求極值會相當復雜，計算量會相當大，但是通過對數輔助函數可以很好地簡化計算.

以上只對對數函數在解題方面的應用做了總結，事實上，對數函數作為輔助函數在證明中也有非常重要的應用，此處不再說明.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.高等數學上冊（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]張天德主編.高等數學習題詳解（同濟第七版）.[M].沈陽出版社，2015年1月第1版.