執(zhí)“數(shù)”造“林”　拔霧見日
——圓錐曲線中一類定量問題的教學(xué)案例

江蘇省建湖高級(jí)中學(xué)　(224700)

劉友明

?

執(zhí)“數(shù)”造“林”拔霧見日
——圓錐曲線中一類定量問題的教學(xué)案例

江蘇省建湖高級(jí)中學(xué)(224700)

劉友明

一、背景分析

縱觀全國(guó)各省近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，其中圓錐曲線被考察的部分分值約占25分左右，其重要地位不言而喻．圓錐曲線中蘊(yùn)涵著笛卡爾獨(dú)樹一幟的數(shù)學(xué)精神，思想方法，個(gè)性品質(zhì)及發(fā)明創(chuàng)造的思維線索和心理歷程，然而在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，很大一部分老師和學(xué)生并沒有領(lǐng)會(huì)其中的精髓，疲于應(yīng)付，教學(xué)低效，學(xué)生得分“慘不忍睹” ．教師們往往側(cè)重于將幾何問題代數(shù)化，試圖以訓(xùn)練計(jì)算為手段，靠大量的題海來提高代數(shù)運(yùn)算技巧，急功近利，忽視了對(duì)代數(shù)結(jié)果背后的幾何本質(zhì)的研究.顯然，這樣的教學(xué)是無趣的，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，同時(shí)學(xué)生的創(chuàng)造力和勇于探索的精神得不到培養(yǎng)．學(xué)習(xí)興趣初濃漸淡，終因難生厭．

二、案例描述

2015年常州市高三一模數(shù)學(xué)試卷第18題，同時(shí)也是內(nèi)江市2015屆高三第四次模擬考試?yán)砜频?0題，第(2)問是一道典型的探索型問題，可以先由對(duì)稱性知直線l2必為與x軸垂直的一條直線，再由特殊位置：當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，確定l2:x=4.然后通過分析法轉(zhuǎn)化為求證kPD=kBD,進(jìn)而得證(證略).但此題的價(jià)值遠(yuǎn)不止于此，如果僅僅滿足于此類技巧：利用對(duì)稱性，特殊性，轉(zhuǎn)化的思想，并不是一個(gè)完美的結(jié)局．因?yàn)檫@也僅僅是解決了這個(gè)問題，而對(duì)這一類的問題，你解決了嗎？觸動(dòng)學(xué)生的那根心弦你找到了嗎？其實(shí)對(duì)于此類問題的延伸也很簡(jiǎn)單：你只要問學(xué)生問題中的數(shù)據(jù)是怎么來的？是偶然還是必然？是否有一般情形？當(dāng)然這需要教師本人在課前做大量的準(zhǔn)備，不然就會(huì)出現(xiàn)兩市聯(lián)考試題原封不動(dòng)的被選用，而作為高三后期的考試，這樣的情況理應(yīng)是杜絕發(fā)生的．

師：同學(xué)們能否將之推廣到一般情形呢？

師：同學(xué)們真是太棒了！能夠善于將具體數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系．當(dāng)然，同學(xué)們，還可以再猜想，那究竟是哪個(gè)呢？

生：我們可以一一驗(yàn)證！

師: 那么多怎么驗(yàn)證？可行但可惜很難操作！有無更好的辦法呢？

. . . . . .

師：那么同學(xué)們能否將我們猜想的成果仿照原題陳述出來呢？

師：下面請(qǐng)同學(xué)們給出證明(仿照原題證明方法即可)．

由②易證①成立.

師：非常好！一個(gè)大膽的猜想就在同學(xué)們的協(xié)同配合下得到了驗(yàn)證．同學(xué)們能否再換個(gè)角度深入挖掘一下呢？(可以提示從充要性角度思考)

師：如何證明呢？

生：仿照原結(jié)論的證法先由對(duì)稱性知，如果存在，必在x軸上，再由垂直的特殊情況得出點(diǎn)D, 再證kPD=kBD，可得直線BP恒過定點(diǎn)D.(證略)

師：真棒！作為這類定量問題，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下目前可以有哪幾種研究方案？

生：一方面，可以將具體的數(shù)猜想成關(guān)于a,b,c的表達(dá)式，從而得出一般性結(jié)論；另一方面，可以從充要性角度逆向考慮問題.

師：同學(xué)們還有其他方面的思考嗎？(提示：剛才我們僅僅研究了橢圓方面的應(yīng)用及推廣)

生：還可以考慮推廣到雙曲線中！

生：拋物線中也可以！

師：好！請(qǐng)同學(xué)們一起嘗試一下吧！…

師：非常完美！那么在拋物線中會(huì)有相應(yīng)的兩個(gè)結(jié)論嗎？

師：你真是太棒啦！老師請(qǐng)同學(xué)們看一道題，你們會(huì)有何發(fā)現(xiàn)呢？

(2001·全國(guó)理19)設(shè)拋物線y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

生：就是我們研究出的結(jié)論2.

師：對(duì)的，同學(xué)們你們都會(huì)出高考題了！由此可見，只要我們善于動(dòng)腦筋，高考試題就在我們手邊！當(dāng)然從年份來看，可以看出高考試題的研究?jī)r(jià)值．可以斷言，出題者的思路就是從研究該高考試題得到的．為此老師留下2014年福建理科高考第19題供同學(xué)們課后思考，請(qǐng)同學(xué)們遵循今天我們研究問題的方法作深入的推廣吧！老師期待你們研究的成果！

(1)求雙曲線E的離心率；

圖1

點(diǎn)評(píng)：考慮到時(shí)間問題，此題留到了課后，這樣同學(xué)們會(huì)有更多的時(shí)間來進(jìn)行小組研究．長(zhǎng)此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣必然會(huì)得到充分的調(diào)動(dòng)，而且學(xué)生思維的寬度和廣度都會(huì)得到質(zhì)的飛躍．

事實(shí)上，課后有不少同學(xué)紛紛來找我，興奮不已地告訴我“老師我有研究成果了！”通過交流，絕大多數(shù)同學(xué)都會(huì)將面積8猜想出與a,b的關(guān)系：S△AOB=ab．同學(xué)們研究成果概括如下：

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況，對(duì)于結(jié)論2的發(fā)現(xiàn)還是非常出乎我意料之外的，學(xué)生告訴我他發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線是不變的，也就是離心率相同，所以才這樣思考的．還有很多同學(xué)想將之推廣到橢圓，拋物線中，但均無所收獲．

三、案例反思

在整個(gè)過程中我們要注意以下幾點(diǎn):

1.學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)固然重要，但單純以訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)算技巧為目的，看不到數(shù)字背后的價(jià)值：情感，意志力，信心以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這樣急功近利的教學(xué)顯然是低效的.我們要開放思想，敢于放手，突破傳統(tǒng)，讓學(xué)生大膽猜想，自主參與研究，其效果必然是你意想不到的．事實(shí)證明，如此進(jìn)行下去，學(xué)生的運(yùn)算能力不僅沒有得到削弱，反而得到了更大的提高.

2.圓錐曲線這類定量問題的教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生執(zhí)“數(shù)”造“林”的研究策略：①由具體到一般；②正反兩面(充要性)；③類比推廣.

3.要善于撥動(dòng)學(xué)生的那根“興奮弦”，同時(shí)讓每一位學(xué)生都要有發(fā)言的機(jī)會(huì)，這樣才是真實(shí)的課堂，才有生命力.“學(xué)困生”是我們課堂最好的調(diào)料，沒有他們這一道菜就沒有味.要勇于讓學(xué)生犯錯(cuò)誤，我們要樹立這樣一個(gè)理念：課堂的生命力就在于有矛盾沖突，有沖突才會(huì)有精彩的高潮.

圓錐曲線內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)課程中承擔(dān)著提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的功能.由于傳統(tǒng)的教學(xué)只注重?cái)?shù)的計(jì)算而忽視了學(xué)生的意志情感，創(chuàng)新品質(zhì)的培養(yǎng)，從而弊端百出.這就要求教師，特別是工作在一線的高三教師深刻的認(rèn)識(shí)到：由于學(xué)生長(zhǎng)期疲于應(yīng)付這部分內(nèi)容，已無興趣可言，而這部分內(nèi)容恰恰是后期同學(xué)們得分的一個(gè)大的增長(zhǎng)點(diǎn).因?yàn)閷W(xué)生們往往會(huì)處于能做但做不對(duì)，會(huì)做而做不下去的尷尬境地，學(xué)生們?nèi)鄙俚氖且环N克服困難的勇氣和信心以及創(chuàng)新精神. 圓錐曲線這類定量問題的教學(xué)中教師只需利用：由數(shù)到形，從特殊到一般，正反兩面，類比推廣的探究式教學(xué)策略，就會(huì)抓住學(xué)生的心弦，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美妙與神奇，其效果自然是水到渠成，花開飄香，碩果累累.