非負矩陣Perron根的下界序列

鐘琴，周鑫，牟谷芳

（1.四川大學錦江學院數學教學部，四川 彭山　620860；2.樂山師范學院數學與信息科學學院，四川 樂山　614000）

非負矩陣Perron根的下界序列

鐘琴1，周鑫1，牟谷芳2

（1.四川大學錦江學院數學教學部，四川 彭山620860；2.樂山師范學院數學與信息科學學院，四川 樂山614000）

非負矩陣Perron根的估計是非負矩陣理論研究的重要課題之一.如果其上下界能夠表示為非負矩陣元素的易于計算的函數，那么這種估計價值更高.本文結合非負矩陣的跡分兩種情況給出Perron根的下界序列，并且給出數值例子加以說明.關鍵詞：非負矩陣；Perron根；下界序列

1　引言和記號

非負矩陣Perron根的理論在很多領域有重要應用.在實際中，常常需要估計非負矩陣的最大特征值.對于非負矩陣最大特征值下界的估計，也得到了廣泛的研究.

首先，為了方便和敘述，本文采用以下的符號和記法.

不失一般性，假設n階矩陣A≥0，ρ(A)表示非負矩陣A的譜半徑，對i=1，2，...，n，ri(A)表示矩陣A的第i行行和，R(A)和r(A)分別表示矩陣A的最大行和與最小行和，C(A) 和c(A)分別表示矩陣A的最大列和與最小列和.

以下是眾所周知的Frobenius定理[1]：

正矩陣是非負矩陣的子類，具有非負矩陣的所有性質.文獻［2-4］在(1)式的基礎上給出了正矩陣最大特征值的界值定理.

定理 1.1[2]設A=(aij)n×n＞0且r＜R，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中

定理 1.2[3]設A=(aij)n×n＞0，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中r，R，η的定義同定理1.

定理 1.3[4]設A=(aij)n×n＞0，則其最大特征值ρ(A)滿足：

其中r，R，η的定義同定理2，

關于正矩陣最大特征值的界，在涉及r，R和η的一切可能的界值中，Brauer的結果是最好的.

本文結合非負矩陣的跡分兩種情況給出Perron根的下界序列，從而有效的改進Perron根的下界，并且給出數值例子加以比較.

2　Perron根的下界估計

首先簡要介紹一下相關的定理.

引理 2.1[5]若x1，x2，...，xn均為實數且滿足xn≤xn-1≤...≤x1，則有

推論 2.1若y1，y2，...，yn均為實數，k為任意的正整數，則有

此式即(5)式.

引理 2.2[6]若y1，y2，...，yn均為實數，令

k為任意的正整數，則序列

為單調遞增序列.

在引理2.2的基礎上，顯然序列

也為單調遞增序列.

本文在上述結果的基礎上，分兩種情況給出非負矩陣Perron根的下界序列.

定理2.1設A≥0，且AT=A.則序列

為單調遞增序列，且tk(A)≤ρ(A).

證明由A≥0，且AT=A，可知A的特征值λ1，λ2，...，λn均為實數，且

令λ=(λ1，λ2，...，λn)，根據上面的討論可知序列

為單調遞增序列，且tk(λ)≤ρ(A).注意到

即得序列

為單調遞增序列，且

以上討論的是當A為非負對稱矩陣時的情況，當A≥0但A不對稱時，構造矩陣A的幾何對稱矩陣

其中

顯然矩陣S(A)滿足定理2.1的條件，此時有：

定理2.2設A≥0，令S(A)=(sij)，其中

則序列

為單調遞增序列，且

證明將定理2.1應用到矩陣S(A)并注意到ρ(S(A))≤ρ(A)即得.

注2.1當A為非負對稱矩陣時，S(A)=A，定理2.1實際上是定理2.2的特殊情形.

3　數值例子

例3.1考慮非負對稱矩陣

對于非負對稱矩陣A的Perron根的下界，運用定理2.1有下面的比較結果(見表1).實際上ρ(A)≈9.4669，從數據來看，估計結果是很精確的.

對于非負矩陣B的Perron根的下界，運用定理2.2有下面的比較結果(見表2).

例3.2考慮非負矩陣

實際上ρ(B)≈5.7417，從數據來看，估計結果是很精確的.

表1　非負對稱矩陣A的Perron根的下界比較結果

表2　非負矩陣B的Perron根的下界比較結果

從以上的兩個例子可以看出，對一個非負矩陣，不管其對稱還是非對稱，都可以構造一個基于矩陣跡的單調遞增序列，從而有效的改進Perron根的下界.

[1］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences[M］.Philadelphia：SIAM Press，PA，1994.

[2］Ledermannn W.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J］.London Math.Soc.，1950，25：265-268.

[3］Ostrowski A.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J］.London Math.Soc.，1952，27：253-256.

[4］Brauer A.The theorem of Ledermann and Ostrowski on positive matrices[J］.Duke Math.，1957，24：265-274.

[5］Wolkowicz H，Styan G P H.Bounds for eigenvalues using traces[J］.Linear Algebra Appl.，1980，29：471-506.

[6］Rojo O，Soto R，Rojo H.Bounds for the spectral radius and the largest singular value[J］.Computers Math. Applic.，1998，36（1）：41-50.

2010 MSC:15A48

A sequence of lower bounds for the Perron root of a nonnegative matrix

Zhong Qin1，Zhou Xin1，Mou Gufang2
（1.Department of Mathematics，Sichuan University Jinjiang College，Pengshan620860，China；2.College of Mathematics and Information Science，Leshan Normal University，Leshan614000，China）

Computing the bounds for the greatest characteristic root of a nonnegative matrix is important part in the theory of nonnegative matrices.It is more practical value when their bounds are expressed easily calculated function in element of matrix.In this paper，we obtain an increasing sequence of lower bounds for the Perron root of a nonnegative matrix based on the trace of matrix.Numerical examples are given to illustrate the method is effective.

nonnegative matrices，Perron root，lower bound

O151.21

A

1008-5513(2016)04-0331-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.001

2016-04-18.

四川省教育廳科研項目(13ZB0357)；四川大學錦江學院青年教師科研基金(12130219).

鐘琴(1982-)，碩士，副教授，研究方向：矩陣的特征值估計和數值計算.