β級α型Bazileviˇc函數(shù)的對數(shù)系數(shù)

牛瀟萌，李書海

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰　024000）

β級α型Bazileviˇc函數(shù)的對數(shù)系數(shù)

牛瀟萌，李書海

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰024000）

利用從屬關(guān)系給出|(g(z)/f(z))α|的估計.運(yùn)用構(gòu)造一個非負(fù)函數(shù)和對復(fù)變函數(shù)模的積分進(jìn)行估計的方法，對β級α型Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β)的對數(shù)系數(shù)bn進(jìn)行研究.所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)結(jié)果.

單葉函數(shù)；對數(shù)系數(shù)；Bazileviˇc函數(shù)

1　引言

設(shè) f(z)與 g(z)在 U內(nèi)解析，如果存在 U內(nèi)滿足 |ω(z)|≤|z|的解析函數(shù) ω(z)，使得g(z)=f(ω(z))，則稱g(z)從屬于f(z)，記作g(z)?f(z).

設(shè)α＞0，β∈R，f(z)∈S，如果存在g(z)∈S?，使得則稱f(z)∈B(α，β)[3].

文獻(xiàn)［4］給出了如下α型β級Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β).

定義 1.1設(shè)f(z)∈S，α≥0，0≤β＜1，若存在g(z)∈S?，使得

則稱f(z)∈Bα(β)，其中的冪函數(shù)取主值.顯然Bα(0)=Bα.設(shè)f(z)∈S，若則稱bn為f(z)的對數(shù)系數(shù).對數(shù)系數(shù)的估計在單葉函數(shù)的系數(shù)估計中有重要作用.Keobe函數(shù)k(z)=z(1-z)-2的對數(shù)系數(shù)為bn=1/n.對bn(n≥2)的估計，現(xiàn)在已經(jīng)證明：

(1)當(dāng)f(z)∈S?時，|bn|≤[5]；(2)當(dāng)f(z)∈C時，|bn|≤A，其中A表示一個絕對常數(shù)[6]；(3)當(dāng)f(z)∈Bα?xí)r，|bn|≤A(1+α)，其中A表示一個絕對常數(shù)[7]；(4)當(dāng)f(z)∈Y時，|bn|≤A，其中A表示一個絕對常數(shù)[8]；(5)當(dāng)f(z)∈B(α，β)時，|bn|≤A，其中A表示一個絕對常數(shù)[9].

本文研究Bα(β)的對數(shù)系數(shù).

2　引理

引理 2.1[9]設(shè)f(z)∈S，則

引理 2.2[9]設(shè)f(z)∈S，α∈C.則，z=reiθ，0＜r＜1，

引理 2.3[6]設(shè)f(z)∈S，則對z=reiθ，≤r＜1，有(1)

(2)

引理 2.4[10]設(shè)g(z)∈S?，則arg g(z)＞0且引理 2.5[11]設(shè)f(z)∈S，則對0＜r＜1，有

引理 2.6設(shè)f(z)∈Bα(β)，g(z)∈S?使得(1)式.則對z=reiθ，0≤r＜1，有

(1)

(2)

(3)

證明(1)由引理2.1和引理2.2可知，

易知J11≤1，利用分部積分公式和引理2.4可得，

所以

(2)記

而

由分部積分和引理2.2可知，

由引理2.3和Schwarz不等式可知，

所以

由(3)式和(2)式可知，

所以

由引理2.1，引理2.2和分部積分可得，

由引理2.5可知，

所以由引理2.3可知，

引理 2.7設(shè)f(z)∈Bα(β)(α≥0，0≤β＜1)，則對z=reiθ，0≤r＜1，有

證明如果f(z)∈Bα(β)，則存在g(z)∈S?使得(1)式成立.由于0≤β＜1，所以

由從屬關(guān)系定義可知，存在Schwarz函數(shù)ω(z)，使得

經(jīng)簡單計算有

因為0≤β＜1，所以|2β-1|＜1，又因為|ω(z)|≤|z|，所以

由于

所以

3　主要結(jié)論

定理 3.1設(shè)f(z)∈Bα(β)，則對n≥2，

其中

證明設(shè)f(z)∈Bα(β)，則存在g(z)∈S?，使得(1)式成立.記

則Re p(z)＞0.由(3)式可知對z=reiθ，

因此

因為Re p(z)＞0，所以

由引理2.6可知，

由引理2.6可知，

由引理2.7可知，

所以

所以

所以

因為

所以

其中

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2010 MSC:30C45

The logarithmic coefficients of Bazileviˇc functions of type α and order β

Niu Xiaomeng，Li Shuhai
（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000，China）

By using subordination，the paper gives estimation of|（g（z）/f（z））α|.A nonnegative function and estimate the integration of model of a complex function have been constructed.The logarithmic coefficients bnof Bazileviˇc functions of type α and order β is discussed by this method.The results obtained generalize some known results.

univalent functions，logarithmic coefficients，Bazileviˇc functions

O174.51

A

1008-5513(2016)04-0342-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.003

2016-04-27.

國家自然科學(xué)基金(11561001)；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101)；內(nèi)蒙古高等學(xué)校科學(xué)研究項目(NJZY16251).

牛瀟萌(1982-)，碩士，講師，研究方向：復(fù)分析及應(yīng)用.