線與面的碰撞
——以“求陰影部分的周長和面積”為例

浙江杭州市運河學校（310000）　伊秀君

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線與面的碰撞
——以“求陰影部分的周長和面積”為例

浙江杭州市運河學校（310000）伊秀君

周長和面積是平面封閉圖形的重要量度。就求陰影部分的周長錯誤率居高不下這一現象進行了學生訪談、錯因分析，發現是“錯”不是“誤”，從而制定了“反賓為主，記號化，橫向聯系，觸摸分解”等教學策略，努力促進學生知識的正向遷移，更有效和充分地培養學生的數學思維。

周長和面積碰撞思維

周長和面積是平面幾何中的兩個基本概念，如果線指的是圖形的周長，面指的是圖形的面積，那線與面之間不但有和諧的音符，也有無數多的激情碰撞，而線和面的碰撞則是學生幾何作業錯誤中永恒的主題。

一、碰撞追溯

在三年級長方形和正方形的面積的知識點出現后，線和面發生第一次碰撞：一是面積單位和周長單位之間的碰撞，究其原因，是學生思維的惰性和思維的單線性造成的，隨著年齡的增長，這種錯誤將慢慢消失；二是正方形的面積計算公式和周長計算公式之間的碰撞，學生會經常用正方形的計算周長公式來計算正方形的面積，究其原因，就是正方形的周長公式比面積公式更簡單，信息量少，更容易在記憶里保持和提取。在四年級平行四邊形、三角形、梯形這些規則圖形的面積的知識點出現后，周長和面積的計算公式、單位又發生了更激烈的碰撞。

二、碰撞延續

在六年級上學期，學生學習了圓的周長和圓的面積后，在計算陰影部分的面積和周長時，線和面的碰撞又讓錯誤率居高不下。于是我把學生在練習中的錯誤進行了整理。

學生練習（求陰影部分周長）錯誤示例整理表

以上是求陰影部分周長的學生錯誤摘錄（全班45名學生）。在統計以上這些錯誤時發現，求陰影部分的面積除了計算上的錯誤，沒出現方法上的錯誤，而計算陰影部分的周長，錯誤一直在延續，而且錯誤率居高不下。曾經認為是“誤”不是“錯”，這時才認清學生是“錯”不是“誤”。

三、碰撞分析

既然是“錯”不是“誤”，于是我決定仔細地詢問學生，研究學生的錯因。通過詢問、調查和歸類，發現學生的“錯”有下列三種“因”。

1.思維的定式

思維定式是人們按照一種固定的思路和習慣性方法來考慮、分析和解決問題的一種心理現象。思維定式既有積極的一面，也有消極的一面。積極的一面是它可以幫助學生消化所學的知識和積累的經驗，從而正確有效地解決同一類問題。消極的一面是學生往往受其影響，過分依賴過去的經驗，只注意知識的記憶，而忽視對問題中各種量之間相互關系的分析和研究，在解決問題時，思路單一，極大地妨礙了發散思維的發展。

在求解圖4的周長時，有學生列出了算式：

師：請說說什么是周長？

生：封閉圖形一周的長度。

師：請摸出這個陰影部分的周長。

（學生正確地摸出這個陰影部分的周長）

師：這里周長應該怎么求？

圖4

師：為什么這么求，你不是摸過了嗎？

生：我是用“兩個小的半圓的周長+一個大的半圓的周長=陰影部分的周長”來求的。

因為重視這次的“錯”，我聽懂了這個學生的解釋。在求圖1的周長時，曾經列出算式“50×4+3.14×50”，因此我一直認為學生是因為看錯題目才解答錯誤的，以教師的思維代替學生的思維，才會造成一錯再錯。

我們曾經強調過如圖5的圖形的周長：一個半圓的周長=圓周長的一半+一條直徑。

圖5

于是，學生就把陰影部分的周長看成是三個半圓的周長，而每個半圓的周長都是用圓周長的一半加上一條直徑，那么三個半圓的周長就是這種先入為主的思維，使學生在分析問題時只相信自己的感覺和經驗，把量與量之間的關系看成是一成不變的，致使解題時思維僵化。

2.思維的單線性

思維的單線性是指直線的、單向的、單維的和缺乏變化的思維方式。

在求解圖4的周長時，有6個學生說大腦一片空白，經過談話發現，學生出現這種情況有兩種可能：

（1）場依存性

當代美國心理學家赫爾曼.威金特（HermanWitkin）曾對空軍飛行員靠什么線索來確定自己是否坐直的問題設計了一個實驗，結果得出：有些人知覺時較多地受他所看到的環境信息的影響；有些人則較多地受來自身體內部的線索的影響。他把受環境因素影響大者稱之為場依存性，把不受或很少受環境因素影響者稱之為場獨立性。圖6左邊是個簡單的幾何圖形，要被試者從右邊這個復雜圖形中辨認出左邊這一簡單圖形。有些人幾乎立即就能指出這個圖形，不會被周圍的線條分散精力，而有些人則需要花費較長的時間才能分辨出來。這說明，人們在知覺過程中確實具有場依存性和場獨立性的差異。

圖6

（2）數學語言互相轉化的能力弱

數學語言是一種有別于自然語言的學科專業化語言，是人類數學思維長期發展過程中形成的特殊表達形式。它是以文字（包括數字與字母）、符號及圖形為詞匯，數學法則、定理、公式為語法法則的一種語言，一般有三種形式：表述（文字）語言、符號語言、圖形語言。所以學習數學語言必須具備一種語言形式轉化到另一種語言形式的能力：文字語言符號化和圖示化，圖形語言文字化。

求陰影部分的周長和面積是用圖形語言來表述問題，形象、直觀、一目了然，但一部分學生不善于將圖形語言描述的問題用符號和文字表達出來，不能從復雜的圖形中抽象出陰影部分的周長，既然找不到陰影部分的周長，完成題目也就無從下手，只能是空白。

3.思維的相似性

求陰影部分的面積和周長計算方法之間的碰撞，其實就是思維的相似性碰撞。數學思維的相似性是思維相似律在數學思維活動中的反映，表現為幾何相似、關系相似、結構相似與實質相似，還有靜態相似與動態相似等。對相似因素和相似關系的認識能加深理解數學對象的內部聯系和規律性，提高思維的深刻性，發展思維的創造性。

下面是對解答圖2發生錯誤（1）的學生的訪談。

師：陰影部分的周長在哪，能摸一摸嗎？

（學生演示正確）

師：陰影部分的周長由幾段組成，其中一段怎么求？

師：那么這樣的4段怎樣求？

生：噢，我明白了。

師：能說說你為什么會犯這樣的錯誤嗎？

生：我用求陰影部分面積的方法來求周長了。

（1）概念模糊

我在詢問這部分學生錯因的時候，他們的目光總是躲躲閃閃，回答問題也是猶猶豫豫，因為他們需要同學的提醒。原因是教師教學時的某些習慣做法，比如，有意無意地突出封閉圖形的面（經常貼出彩色紙剪的圖形），忽略封閉圖形的邊（很少有教師勾勒彩色圖形的邊），也會對學生頭腦中的圖形概念產生影響。以圖7這個典型的題目為例。

圖7

學生在摸這個陰影部分的周長時非常緊張，無從下手，需要老師和同學們的提醒，至于怎么求解更是摸不著頭腦。

（2）概念“同化”

在做題時，學生總是會用一個概念去“同化”另一個概念，而不是自覺地去“分化”。這類學生的解題都有一個共同的特點，都是先計算陰影部分的面積，再計算陰影部分的周長，在計算陰影部分的周長時習慣性用求面積的方法。陰影部分的面積和周長放在一起求時，相似因素造成的強刺激，也給相關概念的“分化”帶來困難。

這類學生只要再讓他讀兩遍題目，他就知道錯在哪里了。

四、碰撞感悟

對學生的錯因進行了訪談、分析、歸類，得出這些錯不是“誤”造成的，而是“錯”造成的。“誤”是指失誤而造成的錯，而“錯”是指學習者構造了自己特有的概念與程式造成的錯。是因為“錯”造成的，所以一直錯絕非偶然，而是必然。針對此現象，我和其他老師一起制定了以下教學策略。

1.回到教學起點，掌握知識本質

這些經常發生周長和面積“碰撞”的學生都有著共同的特點：周長和面積的意義不能區分清楚，至少是沒能轉化為圖式表征來加以區分周長和面積的意義。

（1）激活辨析

首先，激活原有概念的內涵，讓錯誤的學生通過回憶說出周長和面積的概念：周長是封閉圖形一周的長度，拉開是一條線段；面積是物體的表面和平面圖形的大小，是一個面。其次，感受概念的外延，讓學生在紙上畫出一個正方形，并用紅筆描出這個正方形的周長，把這個用紅筆涂的線拉開也就是一條線段，同樣也畫在紙上，并標出四段；用黑筆涂出這個正方形的面積。激活是對概念知識的重新感知，是讓學生把周長和面積的文字概念轉化為圖式表征來加以區分。最后通過比較和辨析的練習讓學生對信息進行加工和內化，這樣就順應了兒童認知發展由外部動作到內部思維的規律。

曹培英老師用以下的操作對圖形的周長和面積進行比較和辨析：

（1）周長相等面積不等的圖形

圖8

圖9

（2）周長不等面積相等的圖形

圖10

如此，不妨指導學生在計算組合圖形的周長與面積時，采取畫圖與列式相結合的方式，“畫一條，算一條”（周長），“涂一塊，算一塊”（面積），以此正確區分周長與面積。

（2）記號化

圖形語言雖然形象，但識圖和畫圖是學生的難點。為此，有必要將圖形語言轉化為文字語言和符號語言，以加強學生對平面幾何問題的理解。日本福井大學柳本成一教授在中學幾何演繹推理證明教學方面有一些新的嘗試，他主要研究在課堂教學中，培養學生運用圖形記號、數學符號語言和邏輯推理方法表達幾何中的演繹推理過程。他的基本思想是改變學生純粹模仿教科書上解題方法的情況，帶學生進入幾何思維的世界。他的做法是在原幾何圖形中標出線段相等、角度相等等記號，這些帶有記號的幾何圖形就是“信息圖形”，即“記號化”的幾何圖形，然后將信息圖形轉化為“符號語言”，即“符號化”的數學表達。柳本教授的這一數學思想同樣也適合于小學階段的解決幾何圖形問題的教學。例如：

讓學生先從原來復雜的圖形中抽象出簡單的周長圖形，用紅筆描出陰影部分的周長，即把圖形的周長“記號化”。如果還是覺得模糊，再用“文字語言”來表達，最后列出正確的算式。這樣就完成了把圖形語言正確地轉化成符號語言的過程，自然不會受面積的干擾。

2.回到思維原點，激活主體思維

解題錯誤的學生都有一個共同點，那就是思維停滯或思維受阻，學過的東西不能靈活運用，需要旁人的提醒。即使暫時會了，那也是思維的模仿，或者是暫時的記憶。

（1））反賓為主

對一個問題能根據情況的變化而變化，也就是說，能根據所發現的事實，及時修正原來的想法，這就是思維的靈活性。求陰影部分的周長，學生只要看到半圓的周長就想到用“圓周長的一半+一條直徑”，這樣的思維定式阻礙了學生解題的思路，這時，教師應鼓勵學生把陰影部分的周長抽象為圖11，并畫下來。這樣就讓學生注意了量的相對性，打破了量的絕對性界限。這種反賓為主的思想，既消除了“先入為主”帶來的負遷移，又可以化繁為簡，降低解題的難度。

圖11

圖12

（2）橫向聯系

具有場依存性的學生受環境因素影響較大，不能將一個模式（或圖式）分解成許多部分，思想單一。經常給具有場依存性的學生進行辨認鑲嵌圖形的游戲，也有一定的教學效果。例如：從圖12中找出圖中右上角這個簡單圖形。

“他山之石，可以攻玉”。利用思維的發散，教師可以經常給學生玩這樣的游戲，借助知識間的橫向聯系，培養學生的發散性思維。學數學知識，解數學題目，不僅要用到數學的專業知識，有時還要借助于語文、音樂、美術等方面的知識、方法、技巧，這就是知識的“橫向聯系”。

（3）觸摸分解

“摸”，字典中的解釋：用手接觸或輕輕撫摸。在知覺學習中，應提倡發揮多種知覺功能的作用。有實驗表明，智力落后的兒童難以辨別較復雜的物品，但是把這些物品的某些部分切割下來，讓他觸摸以后，該兒童便能掌握較復雜的辨別方法。

觸摸也是讀懂圖形的一種有效手段，在完成圖形的練習中，“摸一摸”可以讓學生對圖形有一定的感知，對所要解決的問題有一定的認識，同時能促進思維的聯動。教師可以提醒學生“能用手摸出這個陰影部分的周長嗎？”當學生用手摸出這個陰影部分的周長之后，可提示“這個陰影部分的周長由幾部分組成，將一個復雜圖形進行分解，例如圖4可以分解成一個大圓周長的一半和兩個小圓周長的一半。每一段分別怎么求……”

解題難免會出錯，但不要把學生的錯誤總認為是偶然，其實學生發生的每一個錯誤都是必然。教學中教師應及時地發現并捕捉學生的這些錯誤，開展深入、細致的研究，讓學生認錯、知錯、改錯，因為教師知錯是改錯的前提，學生知錯是重新擁有正確認識的開始，是一個內容豐富的認知過程。

（責編童夏）

G623.5

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1007-9068（2016）20-014