對探索"多邊形內角和公式"的思考

安徽省蚌埠市新城實驗學校　高厚良

對探索"多邊形內角和公式"的思考

2015年11月,筆者有幸在安徽省黃山市觀摩了第九屆全國初中青年數學教師優秀課展示,來自全國的各路"高手",通過爐火純青的教學展示、成熟穩定的發揮及智慧嫻熟的答辯為觀摩老師奉獻了一道道豐盛的精神大餐.在觀摩的多節展示課中,有兩位老師依據自己對教材的理解,通過獨特的教學設計、新穎的探究方法、思想方法的不同參透方式,對"多邊形內角和"進行了精彩演繹,引起與會眾多老師的共鳴.本文擬對兩位老師的"多邊形內角和公式"探究方案進行展示,并給出解讀與思考,與同行研討.

一、探究方案片斷展示

1.R老師的探究方案

問題1:每個小組從準備好的資料盒里取出一張長方形卡紙,任意剪掉一個角,思考有幾種不同的剪法,剪出可能的圖形.

老師預設有三種情形,如圖1、圖2、圖3所示.

圖1

圖2

圖3

師追問:剪出的圖形的內角和是多少度?你是怎么計算的?

(圖1、圖2得到的三角形、梯形是學生在小學學習過的,很容易知道內角和,但對于圖3,裁剪的學生只給出了大概的猜想,認為肯定大于360°,沒有嚴謹的推理說明)

師:對于圖3這樣一個五邊形,內角和應該是多少度呢?請同桌之間相互討論交流后,寫出解答過程.

學生交流后,給出如下兩種解決方法:

方法1:利用平角定義及三角形內角和,確定∠1+∠4=270°,進而確定五邊形內角和.

方法2:通過∠1或∠4的頂點作垂線,把五邊形轉化為梯形與長方形計算.

總結:(老師結合方法2)像這樣,把新的問題轉化為舊的問題,用舊的知識解決新問題的方法,在數學上叫"轉化"的數學思想.

問題2:正方形、長方形、平行四邊形、梯形等特殊四邊形的內角和為360°,對于任意的四邊形能否利用"轉化"求出內角和呢?請每個同學畫出任意一個四邊形,利用"轉化"的思想把新問題轉化為舊知識進行解決.

學生經過4~5分鐘的思考交流,小組代表展示了四種轉化方法:①連對角線轉化為兩個三角形;②三角形+特殊四邊形;③邊上取點轉化;④內部取點轉化.

問題3:大家通過不同角度的思考,證明了任意四邊形的內角和為360°,那么任意五邊形、六邊形、七邊形、…、n邊形的內角和又是多少度呢?

(學生通過獨立思考后,小組內部再交流各自想法)

學生通過求五邊形、六邊形,進而總結出n邊形的內角和,其中在類比四邊形的轉化辦法求五邊形、六邊形的內角和時,除出現了過一個頂點作對角線、在一邊上取一點、在內部取一點的方法外,還出現了將五邊形分成一個四邊形和一個三角形,六邊形分成兩個四邊形或一個五邊形和一個三角形的奇妙想法.

問題4:同學們剛才通過從頂點出發、從邊出發、內部取一點的方法研究了四邊形的內角和,若從外部任取一點又能否通過轉化得出結論呢?

(因時間關系,留到了課下研究)

2.C老師的探究方案

問題1:三角形內角和是多少度?正方形內角和是多少度?長方形內角和是多少度?對于資料盒中的任意四邊形紙片內角和是多少度?猜猜看,你能驗證嗎?

學生有用量角器測量,有用紙片進行撕拼、折疊等,老師在學生有了想法后,讓學生講解自己的思路.

問題2:(老師在黑板上放個四邊形紙片,形成一個任意四邊形,如圖4)對于黑板上的四邊形還可以折疊嗎?這個圖形該怎樣求它的內角和呢?

圖4

圖5

在學生講述通過折疊想到連接對角線,把四邊形轉化為兩個三角形解決后,老師讓學生把解決過程用幾何推理的方式寫在學案上.

問題3:(老師從講臺上拿一個五邊形紙片,在黑板上形成一個任意五邊形圖形)如圖5,對于這樣一個五邊形,你也能得到它的內角和嗎?請同學們思考一下.

問題4:能否用類似的方法求出六邊形、七邊形、…、n邊形的內角和呢?請同學們小組討論后再填寫下面的表格:

多邊形四邊形五邊形六邊形…n邊形過一個頂點作對角線條數1 2…分割出三角形個數2 3…多邊形內角和2X180° 3X180°…

問題5:對于任意五邊形,除了剛才的分割方法,你還有沒有其他的分割方法呢?請思考后,小組內交流想法.

學生經過討論交流后,得到如下分割方法:①邊上取點與其他各點相連;②三角形+四邊形;③內部取點后與其他各點相;④外部取點后與其他各點相連.

問題6:(學生分享各種分割方法后)這些分割方法有什么相同的地方?

生:都是通過分割的方法將五邊形分成兩個三角形,或一個三角形與一個四邊形.

師:這其實是一種轉化思想,即把未知的問題轉化為已知的問題來解決.(最后用幾何畫板演示通過點的移動得到五邊形分割的各種方法)

二、兩個方案片斷的解讀

1.對R老師探究方案的解讀

R老師對多邊形內角和公式的探索總體上采用了由特殊到一般,由具體到抽象的教學策略.一方面通過學生自主思考與互動研討,把問題的研究從特殊引向一般,讓學生充分經歷探索多邊形內角和的全過程;另一方面在定理的推導過程中,注意分析如三角形、特殊四邊形等已有模型的特征,通過已有的模型研究、轉化、類比.在具體的探究上,R老師采用開放式的探究教學模式,如在任意四邊形、五邊形、六邊形、…、n邊形內角和探索方案上突出開放性問題的設計與提出,啟發學生從不同方面思考問題、解決問題.開放性問題由于沒有指明研究的方法,只提供研究的方向,為學生的自主探究留足了空間,開放性問題的提出,激發了學生探究的興趣,使學生的思維始終停留在一個高層次的活動中,一個個精彩的探究方案便自然地呈現了出來.難能可貴的是,學生竟然想到把五邊形分成一個三角形和一個四邊形,六邊形分成一個三角形和一個五邊形或兩個四邊形的探究方案,筆者想沒有R老師的開放性探究策略,留給學生充分自由的探究時間,是不可能出現這種難能可貴的原生態的思維過程的,也更不可能出現那位女同學"轉化是不需要任何形式與套路"的精彩總結.

2.對C老師探究方案的解讀

C老師對多邊形內角和的探究方案可復制、可翻講、接地氣,家常便飯但又與眾不同,

過一點作對角線是C老師探究方案的主線.首先通過四邊形紙片折疊的方式確定內角和,過渡到當一個任意四邊形、五邊形不能折疊時,該如何確定它的內角和,讓學生經歷分割的方法將四邊形、五邊形內角和問題轉化為三角形內角和問題,初步感受轉化與化歸的數學思想,再通過學生完成表格的形式確定n邊形內角和,使學生形成一條完整的思維鏈.整個過程,過渡自然,邏輯連貫,一氣呵成.為了讓學生更好地體會"轉化、化歸"的數學思想,C老師又通過讓學生用其他方法探究五邊形內角和,最后讓學生思考這些方法的共同點后,C老師才道出點睛之筆(轉化、化歸的數學思想).在一些細節的處理上,如通過把紙片放到黑板上,形成幾何圖形,對幾何推理的重視及通過幾何畫板演示讓學生體會分割五邊形各種方法的共性等,都讓人眼前一亮.

三、對探究多邊形內角和相關問題的思考

1.對"特殊到一般"探究方式的思考

對于多邊形內角和公式的探究,雖然老師們采用的具體方式有所不同,但基本上都是遵循由特殊到一般的探究策略,即通過特殊四邊形的內角和過渡到任意四邊形,進而推廣到五邊形、六邊形,……最后推導出n邊形內角和公式.但對于任意四邊形內角和的探究上,雖然方案各異,但本質上都是在平面內取一點與四邊形各點相連,這一關鍵點的選擇是否也可以采用由特殊到一般的探究方案呢?即通過在四邊形所在平面內首先找一個特殊點(如兩條對角線的交點)與各頂點相連進行探究后,再通過點的移動確定相應的方案.這是否在滲透轉化、化歸思想的同時,更有利于學生理解不同探究方案的本質呢?我們在驚嘆R老師的學生發現那么多探究方案的同時,也在遺憾為什么就沒有學生通過延長四邊形的兩邊構造三角形這種情況,這是否與老師在這方面的引導的欠缺有關呢?

2.對"問題趨動"教學的思考

我們知道,數學問題的提出是驅動整個數學課堂教學的關鍵,在平時的教學中,老師們都遇到過這樣一種情況,當把問題拋下后,有時候老師費了九牛二虎之力,學生仍是啟而不發,一般認為主要原因是問題的設置起點過高,難度較大,超出學生的能力范圍.通過本次觀摩,筆者認為除了以上原因,還有一個很大的原因是老師開始所提出的問題能否驅動整節課教學的開展,二位老師展示課中問題的設置就讓人眼前一亮.R老師通過一個開放性的問題:一張長方形卡紙,任意剪掉一個角,思考有幾種不同的剪法,這個問題起點很低,學生參與進去很容易,但要想完整解決這個問題,又需要分類討論,更為可貴的是,這個問題起到了驅動整個課堂教學的目的,即先解決特殊的四邊形、五邊形(如對邊平行的或含有直角的),再解決一般的四邊形,進而解決一般的n邊形;而C老師通過任意四邊形紙片內角和是多少度的一個簡單問題,通過學生的折疊,由折痕聯想到添加對角形,而過一點作對角線是C老師探究n邊形內角和的主線.

3.對探究方案的思考

在多邊形內角和的探究上,傳統上采用的方法都是把一個多邊形利用轉化的方法變成三角形相關問題解決.那我們能否另辟蹊徑,反其道而行之,以內角的增多而引起內角和的變化來研究多邊形內角和問題呢?如圖6,如何由三角形的分割而得到四邊形,由四邊形分割得五邊形,進而得出n邊形內角和呢?或者如圖7,在三角形外增加一個三角形得四邊形,四邊形外增加一個三角形得五邊形,…,利用這種"遞推"的方法,與傳統的方法相比哪一個更自然,哪一個更利于學生探究活動的展開,也是我們不得不思考的一個問題.再比如,在多邊形內角和與外角和的探究順序上,可否考慮先研究多邊形的外角和,再利用內外角的關系研究內角和呢?有興趣的讀者不妨試一試.

圖6

圖7

4.適合教與學的方案才是最好的

對于教材某個教學環節的不同處理,很多老師都會思考,哪一種方法更好,哪一種方法更能體現出老師的"功夫"?這或許有利于老師通過反思優化自己的教與學生的學.然而,世界上沒有兩片完全相同的樹葉,不同的老師面對的學生都是獨特的"這一個",他們在整體成績、思維發展的水平、主動探究的意識都存在著差異,作為主導者的老師在個人的教學水平、調控課堂的能力、個人魅力等方面也不盡相同.老師只能尊重和理解學生,針對學生的差異和發展需求,尋求適合自己及班級學生實際情況的方法.比如,對多邊形內角和的探索,若班級內學生思維活躍、樂于探究,自己的調控能力不弱的話,不妨就通過開放性問題,給學生足夠的時間去探索,讓學生的思想真正解放(如R老師方案);若班級內學生水平一般,學生的思維有所欠缺,老師給學生一個探究"暗示",也不失為一種突破難點的好方法.被別人用實踐證明的好方案,卻不一定適合自己的教學,簡單的"復制",效果并不一定好.再比如,在數學思想的滲透上,在評課環節,很多老師認為R老師過份強調了"轉化"的數學思想,認為數學思想應讓學生去體會,老師不應說出來,可是筆者覺得,如果平時就注重數學思想的滲透,學生已較多地經歷了"轉化"的方法解決問題,那這節課著重強調一下也未嘗不可,學生在課堂上精彩的表現,不就說明了R老師對數學思想處理的成功嗎?所以利于學生思維訓練,利于學生的探究,利于自己教學開展的方案就是最好的,簡言之,適合的就是最好的.

參考方獻:

1.高厚良."意外驚喜"源于以生為本的方案設計---"多邊形內角和"的探索方案片段[J].中學數學(下),2013(8).

2.劉華.追求邏輯連貫的數學教學---以"多邊形內角和"教學為例[J].中學數學(下),2015(3).

3.沈駿.同課異構:探索多邊形內角和的教學品酌[J].教育科學論壇,2010(8).