數(shù)學(xué)課堂中的"技"、"藝"、"道"*

江蘇省徐州高級(jí)中學(xué)　李賀

數(shù)學(xué)課堂中的"技"、"藝"、"道"*

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中明確指出: "數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強(qiáng),鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程."可見,追求課堂的高效是每個(gè)老師都應(yīng)關(guān)注的問題.《基于初中生學(xué)習(xí)風(fēng)格與個(gè)體差異性的"做、學(xué)、教"學(xué)習(xí)模式的研究》課題組曾多次進(jìn)行這方面的研究.筆者作為該課題的主持人,結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂上的"技"、"藝"、"道"的貫徹到位是應(yīng)當(dāng)大力提倡的,本文就以一節(jié)公開課"一次函數(shù)與二元一次方程"為例與同行進(jìn)行交流,談?wù)勛约旱淖龇ê腕w會(huì).

一、技:追求課堂的寬度和厚度

"技"即為手藝、才能、本領(lǐng),筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能有沒有使學(xué)生掌握到位.一節(jié)新授課,教師必須理解教學(xué),理解教學(xué)目標(biāo),讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題---思考探究---分析解決的過(guò)程,才算真正把"技"貫徹到位.

以下為筆者在課堂上貫徹"技"的做法.

師:前面的課我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像的畫法,下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,畫出一次函數(shù)y=-x+3的圖像,并在直線上標(biāo)出任意三個(gè)點(diǎn),寫出相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).

生:我找的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)、(1,2)、(3,0).

師:請(qǐng)你將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)換一種語(yǔ)言,轉(zhuǎn)換成我們熟悉的形式,比如(0,3)可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=0時(shí),y=3.

生:(1,2)、(3,0)分別可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=1時(shí),y=2;當(dāng)x=3時(shí),y=0.

師:換個(gè)角度來(lái)研究,式子y=-x+3大家其實(shí)十分熟悉,雖然它現(xiàn)在是一次函數(shù),但我們對(duì)它早就了解,以前它叫什么?

生:二元一次方程.

師:當(dāng)x=0時(shí),y=3滿足于二元一次方程y=-x+3嗎?當(dāng)x=1時(shí),y=2;當(dāng)x=3時(shí),y=0呢?

生:均滿足.

師:不同的式子說(shuō)不同的話,既然滿足于方程,那我們要寫成怎樣的形式?

師:一次函數(shù)y=-x+3的圖像上有多少個(gè)點(diǎn)?難道大家找的都是這三個(gè)點(diǎn)嗎?有不同的點(diǎn)嗎?(學(xué)生積極舉手,說(shuō)出自己所找的點(diǎn)的坐標(biāo))

師:這些點(diǎn)的坐標(biāo)寫成解的形式是方程y=-x+3的解嗎?

生:是的!

師:你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:一次函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著二元一次方程的一個(gè)解.

師:請(qǐng)寫出方程y=-x+3的任意三個(gè)解,把這些解寫成點(diǎn)的坐標(biāo)形式,并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出這些點(diǎn). (學(xué)生動(dòng)手操作,并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出)

師:你發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在哪兒?

生:點(diǎn)在直線上.

師:直線很多條,精確一些.

生:在一次函數(shù)y=-x+3的圖像上.

師:如果再找?guī)讉€(gè)解,寫成點(diǎn)的坐標(biāo)形式,你覺得這些點(diǎn)還在這條直線上嗎?

生:是的!

師:以前二元一次方程的解是一組數(shù),現(xiàn)在卻能看得見了,你有這樣的感覺嗎?你又有什么發(fā)現(xiàn)呢?

生:以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上.

師:能用一句通俗易懂的話來(lái)總結(jié)上面兩個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎?

生:二元一次方程的解與相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng).

師:請(qǐng)?jiān)佼嫵鰕=x-5的圖像,為了節(jié)省紙張,我們畫在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(為后面的活動(dòng)埋下伏筆).

(學(xué)生畫好后,仿照之前的發(fā)現(xiàn)敘述一次對(duì)應(yīng)關(guān)系)

師:既然y=x-5與y=-x+3的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中,那就來(lái)研究一下吧,這兩條相交直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),老師覺得有一點(diǎn)很值得研究,你覺得呢?

生:交點(diǎn)很有研究?jī)r(jià)值.

師:價(jià)值在哪兒?

生:它對(duì)應(yīng)著方程組的解.

師:交點(diǎn)會(huì)是一個(gè)方程組的解嗎?交點(diǎn)不就是一個(gè)點(diǎn)嗎?

生(有些著急):講錯(cuò)了,是交點(diǎn)的坐標(biāo).

師:請(qǐng)解釋一下.

生:因?yàn)榻稽c(diǎn)既在y=x-5的圖像上,又在y=-x+3的圖像上,所以這個(gè)點(diǎn)是公共點(diǎn),按照之前的發(fā)現(xiàn),公共點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)公共解,也就是說(shuō)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)既符合方程y= x-5,又符合方程y=-x+3,也就是公共解,兩個(gè)方程的公共解就是方程組的解,所以這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程組的解.

分析:本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為知道一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系,會(huì)用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解.此片段的教學(xué)遵循學(xué)生"具體---抽象---具體"的認(rèn)知規(guī)律,使學(xué)生在具體的情境中感知一次函數(shù)與二元一次方程之間存在的密切聯(lián)系,再上升到一次函數(shù)的圖像與二元一次方程組的解之間的關(guān)系,通過(guò)觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng),以及連貫而巧妙的師生對(duì)話,抽象、概括出一系列結(jié)論,"逼"出了學(xué)生的思想,讓學(xué)生的思維主動(dòng)"跳"了出來(lái),對(duì)知識(shí)的理解準(zhǔn)確到位,可謂是"技"貫徹成功.

二、藝:追求課堂的效度和深度

"藝"即為準(zhǔn)則、法度、限度,筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為有沒有將知識(shí)講清楚.一節(jié)新授課,必須理解學(xué)生,尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到這節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò),理清知識(shí)間的相互聯(lián)系,才算真正把"藝"貫徹到位.

以下為筆者在課堂上貫徹"藝"的做法.

師:在同一平面直角坐標(biāo)系中,兩條直線一定有一個(gè)交點(diǎn)嗎?

生:不一定,如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),即兩直線相交,則二元一次方程組有唯一解,交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解;如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn),即兩直線重合,則相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組有無(wú)數(shù)組解;如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn),即兩直線平行,則相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組無(wú)解.

分析:此片段旨在反饋學(xué)生對(duì)之前一次函數(shù)的圖像與二元一次方程組的解之間的關(guān)系理解是否全面,掌握是否深刻,該處學(xué)生的回答比書本的結(jié)論還要完整,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的,學(xué)生給予的回答應(yīng)當(dāng)高度的贊賞.事實(shí)上,學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的順序總是把特殊的事物作為認(rèn)識(shí)的出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)這些事物的具體屬性,然后在此基礎(chǔ)上抽象、概括,逐步擴(kuò)大到認(rèn)識(shí)同類事物一般的、普遍的本質(zhì),此環(huán)節(jié)是上一環(huán)節(jié)的延續(xù),通過(guò)特殊去發(fā)現(xiàn)一般,再?gòu)囊话慊氐教厥?以形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí),最終再用一般去解釋特殊、理解特殊,雖然此處只是一小段對(duì)話,卻精彩無(wú)比,可謂準(zhǔn)確到位貫徹"藝".

三、道:追求課堂的難度和高度

"道"即為本源、規(guī)律、境界,筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂上可將其定義為有沒有"追魂",將知識(shí)進(jìn)行拓展,達(dá)到知識(shí)的學(xué)有所用,學(xué)以致用.一節(jié)新授課,必須理解數(shù)學(xué)課的終極目標(biāo),尋找"靈魂"所在之處,達(dá)到知識(shí)的拓展,經(jīng)驗(yàn)的遷移,才算真正把"道"貫徹到位.

圖1

以下為筆者在課堂上貫徹"道"的做法.師:如圖1,觀察圖像,方程組的解為_______.生:解為

師:解釋一下.

生:通過(guò)上面的發(fā)現(xiàn)知道交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.

師:我們上面講的是二元一次方程組的圖像解法,而這個(gè)圖像所表示的好像不是一次函數(shù)吧?你又有什么發(fā)現(xiàn)?

生:如果兩個(gè)函數(shù)的圖像有交點(diǎn),那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程組的解,可將其擴(kuò)展為通過(guò)交點(diǎn)來(lái)求二元高次方程組的解.

生:用圖像法試試吧!

師:對(duì)于消元法,雖然有時(shí)候很簡(jiǎn)單,但遇到不會(huì)解的方程你就無(wú)從下手了,而圖像人人都可以試著畫,多找一些點(diǎn)圖像就會(huì)越精確,那我們用圖像法試試看.

為了節(jié)省時(shí)間,筆者用幾何畫板展示了兩個(gè)函數(shù)的圖像,并清晰地找到了交點(diǎn),顯然方法是可行的.

分析:此片段旨在將一節(jié)課學(xué)到的方法和收獲的經(jīng)驗(yàn)靈活自如地運(yùn)用,解決更多的問題,事實(shí)上,學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是一個(gè)接受知識(shí)的過(guò)程,而且也是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過(guò)程,通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生知道了二元一次方程的圖像解法,類似的經(jīng)驗(yàn)驅(qū)使學(xué)生去探索、自主研究更多的二元高次方程的圖像解法,這就是今天學(xué)習(xí)的價(jià)值,達(dá)到了經(jīng)驗(yàn)的遷移,追了本節(jié)課的"靈魂"所在,可謂成功貫徹"道".

四、"技"、"藝"、"道"的思考

從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵看,義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程最基本的特點(diǎn)就是基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性,這是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn).堅(jiān)持基礎(chǔ)性,關(guān)注義務(wù)教育階段中最為基礎(chǔ)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,即教會(huì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的過(guò)程中掌握最為重要的、必須掌握的核心觀念與思想方法、基本概念和常用技能,此為一節(jié)課的"技";堅(jiān)持普及性,關(guān)注不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同發(fā)展,即遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,注重過(guò)程,講清楚一節(jié)課的前前后后,此為一節(jié)課的"藝";堅(jiān)持發(fā)展性,關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)的終身發(fā)展,讓數(shù)學(xué)學(xué)有所用,學(xué)以致用,即追根溯源,探其根本,此為一節(jié)課的"道".

從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看,數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)者個(gè)人建構(gòu)的過(guò)程,他們帶著自己原有的知識(shí)背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解開始學(xué)習(xí)活動(dòng),并通過(guò)自己的主動(dòng)活動(dòng),包括獨(dú)立思考和與他人交流等,去建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的理解,故教師應(yīng)遵循九字方針:"技"而實(shí)、"藝"而清、"道"而遠(yuǎn).在"技"的運(yùn)用上,應(yīng)該以夯實(shí)為根本宗旨,循序漸進(jìn),不要操作過(guò)急,多給學(xué)生時(shí)間和空間去思考、研究的機(jī)會(huì);在"藝"的運(yùn)用上,應(yīng)該以理清為根本宗旨,正反對(duì)比,環(huán)環(huán)相扣,多給學(xué)生聯(lián)想、敘述的機(jī)會(huì);在"道"的運(yùn)用上,應(yīng)該以深遠(yuǎn)為根本宗旨,探則深究,挖到根本,多給學(xué)生運(yùn)用、拓展的機(jī)會(huì).

當(dāng)然,"技"、"藝"、"道"的全面貫徹需要教師很強(qiáng)的課堂駕馭能力,所以需要長(zhǎng)期的研究和探索,這樣才能更好地讓學(xué)生在課堂中一步步將知識(shí)內(nèi)化,從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn),把握其規(guī)律,真正讓課堂"高效"起來(lái).

*本文系江蘇省教育科學(xué)"十二五"規(guī)劃2013年度立項(xiàng)課題《基于初中生學(xué)習(xí)風(fēng)格與個(gè)體差異性的"做、學(xué)、教"學(xué)習(xí)模式的研究》(課題批準(zhǔn)號(hào):E-c/2013/041)的階段性成果.