背景熟悉,方法常規,突出考查能力
---2015年陜西中考數學第25題評析

陜西師范大學附屬中學　程自順

背景熟悉,方法常規,突出考查能力
---2015年陜西中考數學第25題評析

一、題目呈現

如圖,在每一個四邊形ABCD中,均有AD∥BC, CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.

(1)如圖1,點M是四邊形ABCD的邊AD上一點,則△BMC的面積為________.

(2)如圖2,點N是四邊形ABCD的邊AD上任意一點,請你求出△BNC的周長的最小值.

圖1

圖3

(3)如圖3,在四邊形ABCD的邊AD上,是否存在一點P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此時cos∠BPC的值;若不存在,請說明理由.

二、解法評析

1.關于第一問

求△BMC的面積,由于BC=12,故只需求出BC邊上的高(即平行線AD與BC之間的距離),比如CD的長,作出梯形的常用輔助線都可以解決,如圖4(作高)、5(平移一腰)、6(補成矩形)、7(延長兩腰)所示,借助含30°角的直角三角形三邊之間的關系計算出高為4姨搖3,進而得到所求面積為24姨搖3,涉及特殊三角形、特殊平行四邊形(矩形)等數學知識.由于只是填空,不需要寫分析、思考和計算的過程,故節約了考生在此問的作答時間,為解決后續問題提供時間保障.總體來看,該問起點低,入口寬,方法多樣,絕大部分學生都能獲得成功,為解決后續問題增添了信心!

圖4

圖5

圖6

圖7

2.關于第二問

求△BNC的周長的最小值,由于BC=12,故只需求出NB+NC的最小值,問題轉化成"已知B、C是直線AD外的定點,N是直線AD上的動點,求NB+NC的最小值",即為課本上出現過、學生很熟悉的將軍飲馬問題:

圖8

如圖8,延長CD至C′,使得DC′= DC,連接NC′,連接C′B交AD于點N′,連接N′C,則NB+NC=NB+NC′≥C′B=N′B+N′C′=N′B+N′C,所以△BNC的周長的最小值為BC+C′B=

因為D是C′C的中點,且N′D∥BC,所以N′是C′B的中點從而N′C=N′B,即△BNC的周長最小時△BNC為等腰三角形(△BN′C).由第一問知:當點N在邊AD上運動時,△BNC的面積不變,故第二問反映了一個事實"在一切同底邊并且面積相等的三角形中,以等腰三角形的周長最短."(參考《初中數學競賽中的平面幾何》(周春荔編著)第257頁例4),即第二問有等周問題的背景.

將軍飲馬問題是中考數學的熱點,大都以正方形、菱形、圓、平面直角坐標系等為背景,也是學生平時練習中接觸的高頻題目,對大部分考生而言,該問情境雖新,題意及解法卻并不陌生,可以很好地考查學生對數學問題的理解能力和對數學方法的遷移能力.第二問設問簡潔、清新,根植于課本,有數學模型可依,有解題方法可尋,難度中等,中等程度及以上的考生即可獲得滿分,有一定的區分度.

3.關于第三問

在初中,只學習銳角的三角函數,故看到第三問,首先提出的問題是:對于邊AD上的任意點P,∠BPC都是銳角嗎?事實上,由于4>6,故以BC為直徑的圓O與AD相離,如圖9,則∠BPC<∠BQC=90°.

關于"是否存在"的回答,可以先計算出三個特殊位置處cos∠BPC的值.如圖10,當點P與點D重合時,;當點P與點A重

2XACXBK=S△ABC得,從而cos∠BPC=

進而AK=

;當點P與點N′重合時,同理可求出cos∠BPC=cos∠BN′C=.顯然,最后一種情況時

cos∠BPC的值最小.

圖9

圖10

圖11

回頭來看,點N′其實非常特殊,它是BC的中垂線與AD的交點,如圖11,將四邊形ABCD補成矩形EBCD,從對稱來看,只需考慮點P在N′D上的情況,由計算有cos∠BN′C∠BPC.

如圖12,作出△BN′C的外接圓,由O′N′⊥AD知其與AD相切,當邊AD上的點P與點N′不重合時,點P都在圓外,有∠BN′C>∠BPC.

此時,還可以換個角度來計算.

方法2:cos∠BN′C=cos2∠BN′O=2cos2∠BN′O-1=2X

圖12

圖13

圖14

第三問"道是無圓卻有圓",涉及"先猜后證"的思想、幾何直觀(直覺)的能力和探索性思維,是全卷最具選拔性的地方,難度較大,考查學生對數學知識、方法的融會貫通程度和解決問題的創新意識,對學生綜合運用所學數學知識、方法、思想和基本活動經驗分析問題、解決問題的能力要求較高,具有明顯的區分度.

從教師進行研究的角度,不囿于初中的數學知識,還有如下思路.

解法1:由正弦定理有BC sin∠BP C=2R,如圖13,當△BPC的外接圓的半徑R最小即其與AD相切時, sin∠BPC的值最大,∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,計算略.

解法2:如圖14,設N′P=a,由余弦定理,得cos∠BPC=.顯然,當a=0時(P與N′重合),cos∠BPC取得最小值

解法3:由面積公式有S△BPC=XPBXPCXsin∠BPC,

而面積為定值,所以若∠BPC最大,只需要sin∠BPC的值最大,就需要PBXPC的值最小,由解法2得PBXPC=顯然,當a=0時(P與N′重合),PBXPC的值最小,計算略.

解法4:如圖15,B(0,0)、C(12,0),設P(a,4),其中4≤a≤12.

圖15

圖16

三、思考

第25題以(直角)梯形為載體,研究夾在平行線之間的一邊固定的三角形的面積、周長和張角問題,涉及三角形、四邊形、圓、勾股定理、三角函數、一元二次方程等眾多數學知識,三個小問一氣呵成,前后關聯.更一般的情況是,如圖16,已知AD∥BC,P為AD上的一個動點,有△BPC,明顯地,以線段BC的中垂線l為對稱軸,即在點N′兩側,存在一對以BC為公共邊的全等三角形,故只需考慮l一側的情況,由于"平行線之間的距離處處相等",故△BPC的面積不變(變化中的不變);直觀地可以看到,當點P從"遠方"向點N′移動時,△BPC的周長在減小,∠BPC在增大,至點N′處(與點N′重合),△BPC的周長最短,∠BPC最大.退到問題的全貌,有助于整體把握、分析、探索、解決問題,正如華羅庚先生所說,解題時先足夠地退,退到我們最易看清楚問題的地方,認透了,鉆深了,然后上去,善于"退",足夠地"退",退到原始而不失去重要性的地方,這是學好數學的一個訣竅.

本題體現了能力立意的命題思路,背景是熟悉的,要解決的問題是清楚的,求面積(等積變換)、求周長(線段和的最小值)、求最大張角(角的大小比較)分別在課本上都能找到模型和方法,依次為平行線之間的距離、將軍飲馬問題、與圓周角相關的角的大小比較,因此解決方法也是常規的;問題設計時,由易到難,由定量到定性,從定值到最值,從確定性問題到探索性問題,層層遞進,學生對問題的解決也相當于完整地經歷了問題提出、發現、分析與解決的研究過程,對學生綜合運用數學知識解決新問題的能力,尤其是平時積累的基本數學活動經驗的深度考查非常到位.在教學中,建議回歸課本,注重基礎,加強對數學基本能力的訓練,對基本問題進行深入探討,滲透數學發現與探究的方法,重視數學思維訓練和基本數學活動經驗的積累.

最后,筆者認為,整個題目的敘述顯得臃腫,對邊AD上的點的交待有重復,第三問求cos∠BPC的最小值,不指明∠BPC是銳角有些別扭,指明∠BPC是銳角又少了些探索的味道且有方法提示的嫌疑,因此可以進行適當修改,使其更具數學味道.

如圖17,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12,點P是邊AD上的一點.

圖17

(1)求△BPC的面積;

(2)求△BPC的周長的最小值;

(3)求∠BPC最大時點P的位置.

1.周春荔.初中數學競賽中的平面幾何[M].北京:中國物資出版社,2004.

2.程自順.以不變應萬變,會轉化是關鍵---2013年陜西中考數學第23題閱卷反饋[J].中學數學(下), 2014(3).