主干知識:承上啟下,推陳出新
---由李庾南老師的一則教學案例說起

江蘇省如皋市外國語學校　馬亮

主干知識:承上啟下,推陳出新
---由李庾南老師的一則教學案例說起

在學生獲得的眾多數學知識中,有些知識是"終極"知識,對這類知識的學習到此為止,不再延續,這類知識我們一般稱為邊緣知識;有些知識是"中間"知識,是為后續學習而學習的知識,這類知識我們稱之為主干知識.在初中階段,數學的主干知識具有極強的延續性,它們一般都是對應版塊的核心知識,不僅對本學段學習的影響很大,而且還會影響下一學段的數學及相關學科的學習.對這類知識的教學,我們應充分挖掘它們的自身價值,在獲取主干知識的過程中將后續知識"生長點"進行"預埋";在新知教學中要用好已經獲得的主干知識,讓新知附著于主干之上,持續"有理有據"地生成.著名特級教師李庾南老師多次以"主干知識"的教學應用為例進行了教學展示,取得非常好的教學效果,現結合其著作《自學.議論.引導教學法》中的一則教學案例談談筆者對主干知識的認識,不足之處敬請各位同行專家批評指正.

一、案例簡述

1.教學內容

等腰三角形的性質定理及推論.

2.過程簡述

教師首先引導學生回顧了"相等的線段"、"相等的角"、"全等三角形"的含義,然后讓學生按照圖1中的虛線自主折疊等腰三角形紙片ABC,找出其中能夠重合的線段、角和三角形,并將發現的結論在全班交流.

圖1

圖2

圖3

通過折疊,學生非常直觀地感知到圖2中存在的結論:①AB、AC重合;②BC被分成了能重合的兩條線段;③∠BAC被分成兩個重合的角;④平角∠BDC被分成了兩個重合的直角;⑤△ABC被分成兩個完全重合的直角三角形.

在找到重合的線段、角和三角形后,教師引導學生將這些結論抽象為符號語言:①AB=AC;②BD=CD;③∠BAD=∠CAD;④∠BDA=∠CDA=90°;⑤△ABD≌△ACD.

接下來,教師請學生利用所學的知識證明這些結論,并給出完整的推理過程.根據軸對稱的知識,學生很快利用圖3給出了證明.至此,教師和學生一起概括出等腰三角形的性質定理及推論.

3.簡要分析

在李老師設計的教學中,學生經歷了"動手操作"、"發現結果"、"猜想結論"、"驗證結論"、"抽象性質"等多個活動.這些活動緊緊串在一起,活動銜接嚴絲合縫,前一個活動是后一個活動的基礎,后一個活動是前一個活動的延續.將這些活動整體串聯在一起的是本節課的主干知識---軸對稱的性質,這是每一個活動得以延續的"四基"保證.軸對稱帶來的圖形重合給了學生"相等或全等"的直觀感知,這是知識的鋪墊;能夠折疊使之重合,這是技能的保證;圖形的重合與符號下的相等或全等的轉化,是抽象思想的延續;折疊對應著重合,重合關聯著相等,相等指向了全等,這些都是學生在探究軸對稱性質時積累下的活動經驗.很顯然,為了讓軸對稱這一主干知識發揮其"承上啟下,推陳出新"的價值,李老師從學生的認知起點出發,將教學的起點定位在舊知的延續應用之上,將教學的終點定格在主干知識的充實與完善上,教學效果是顯著的.

二、主干知識的特點

主干知識,一般是因為數學知識體系的發展過程或解決實際問題的需要而引入的,屬于學生"應知,應會,應用"的知識.在人教版的六冊初中數學教材中,每冊都有著主干知識的分布.因此,在教學中,我們應時刻關注這些主干知識,將其作為教學設計與教學實施的核心.為讓我們更好地落實主干知識的教學,我們先來分析一下這些知識的特點.

1.主體性

主干知識是學生獲取新知和解決問題的重要工具,理應成為教學的主體.雖然現行教材沒有將主干知識集中呈現,零散的分布絲毫不影響它們的地位及作用,反而更加有利于單位教學時段內集中"優勢兵力"加以突破,凸顯其在教學中的主體地位.以上面案例中的"軸對稱的性質"為例,在教材編排的這一階段,幾乎每一節課都會出現這一知識的身影.所以,在這一知識出現時,我們就應將其置于課堂教學的最重要的時段呈現出來,通過核心探究活動的設計與實施,讓學生的注意力和學習力聚焦于這一知識.

2.發散性

發散性是主干知識的一個非常重要的特點.主干知識在一個或多個條件之上一般會附著多個類別的結論,一些對后續學習與應用影響很大的結論也隱藏其中.以軸對稱為例,我們通過對折產生了軸對稱圖形,在這個圖形中,不僅存在相等的線段、相等的角等結論,還有重合圖形的面積相等、周長相等結論,還有線的位置垂直(平行)等結論.如此眾多的結論,有些是邊緣結論,有些是學生后續學習必備的結論,為了讓學生今后的學習與應用可以進行多種選擇,我們應讓他們知曉這些結論,并學會在后續問題解決中"因需而取".

3.發展性

主干知識一般都是具有發展性的,是可以自然延續并適度拓展的.隨著學生知識的不斷疊加,技能的不斷提升,活動經驗的不斷積累,他們對主干知識的認知也在不斷加深,一些主干知識的地位也會發生相應的變化,呈現階段性主干的特點.有些知識在初一是主干知識,到了初二有可能變為邊緣知識,或者是被新的主干知識所兼容合并.以"線段的中點"為例,在初一上學期,它就是"圖形認識初步"的主干知識,是學生用以解決這一單元問題的重要工具;而到了初二,隨著學生對"圖形與幾何"認識的加深,這一知識被逐步兼并融合,其地位被其他主干知識所代替.

4.應用性

主干知識是數學的核心知識,屬于數學知識系統中的重要"分子".應用性是這類知識最顯著的特點.在學生新知學習和問題解決過程中,主干知識的身影幾乎無處不在,其所起到的作用是邊緣知識無法代替的.試想,如果沒有勾股定理,我們怎樣去探究直角三角形的性質;如果沒有有理數的運算,我們如何研究整式的運算和解方程;沒有一元一次方程,如何探究多元、高次方程……很明顯,主干知識正是因為學生獲得知識和問題解決的需要而產生的,反之,也正是這些知識所具有的這種應用性,才使之成為學生學習過程中最為重要的主干知識.

三、教學啟示

1.提前規劃,以發散訓練埋下教學伏筆

從上面的特點分析不難看出,主干知識一般都是學以致用的,這就決定了教師教這類知識時應凸顯其應用性,學生學這類知識也應以應用為目標.為了發揮主干知識的應用價值,在教學設計與實施過程中,我們不僅要關注這些知識本身的教學,還要重視教學的前后關聯,確保后續學習中要用的知識必須學到,而且要學到位.這些知識的獲得,會為后續學習形成"生長點",埋下知識學習與應用的伏筆.基于主干知識的發散性和發展性,我們可以通過師生、生生間的對話,將主干知識之上附著的結論盡可能多地有序呈現出來,并從中將與后續教學活動關聯最大的結論挑選出來,重點分析,重點強調.這些重要而豐富的數學結論的獲得,在學生問題解決時提供了多樣的選擇,他們會從這些"成團"的結論中篩選出適用的結論應用到問題解決過程之中,以實現自己的學習目標.以本文案例中所說的主干知識為例,在教學"軸對稱"和"軸對稱圖形"時,我們完全可以讓學生自己作出一個普通四邊形關于某一直線的軸對稱圖形,然后讓他們盡可能多地陳述自己從圖形中獲得的結論,這樣一來,學生的思維就被打開了.作圖為他們獲得了直觀的感知,結論的陳述讓他們的思維插上了翅膀,不同的思維角度可能會產生多種不同的結果.在學生全盤呈現結果后,我們可以進行對錯辨析,并從中挑選出最重要的也是后面學習及解題要用到的結論,將其在學生的認知網絡中"定格".如此一來,主干知識的主體地位得到了充分的保證,同時也為后面教學清除了"障礙".

2.精準銜接,以有效對接凸顯主干價值

在教學設計時,我們應該高度重視新舊知識銜接教學的設計.舊知在何時以怎樣的形象出現,新知在哪個節點上以什么樣的姿態引入,都是教師進行教學設計與教學實施時應關注的.巧妙的銜接是"無痕"的,讓學生的知識應用與獲得十分的"愜意".這在主干知識的教學與應用中顯得尤為重要,作為老師,我們知道主干知識的重要,但我們是不能用過多的言語告知學生"這個知識有多么的重要",更不能在教學過程中讓這些知識"強行切入",生搬硬套,讓學生"被迫"無奈地感覺新知的獲得"非他不行".事實上,有些知識的獲得不一定非要主干知識的參與,直觀的探究加上其他邊緣知識的參與同樣可以得到最后的結果.因此,我們常說的"設計有效的教學",應將設計的重點放在知識的關聯之上,通過巧妙的符合學生認知規律、緊貼學生實際的問題設計,實現知識間的精準對接,從而凸顯出主干知識的價值.看看上面案例中李老師給出的教學過程,我們不得不佩服:自主操作,喚醒的是舊知識和舊經驗,在"懷舊"上做文章,從熟悉入手,學得輕松愉快;陳述重合,給出的是新體驗和新發現,在"對接"上動腦筋,從結果著眼,獲得自然順暢;抽象歸納,獲得的是新知識和新經驗,在"出新"上下功夫,從抽象出發,生成有意有效.

3.適時抽象,用新知生成展示應用成果

數學是一門抽象的學科,數學知識的獲得一般都應經歷抽象的過程,主干知識的學習與應用尤其如此.抽象、模型和推理是初中階段的三個最重要的數學思想,而抽象是最為常用的,幾乎這一階段出現的所有主干知識都離不開抽象.實用性是初中數學的一個重要特點,因此,很多數學結論的獲得都是在一定的生活情境之上的,想要排除這些情境的干擾,讓學生獲得純粹的數學知識,除了用純粹的數學問題代替情境問題,我們還可以通過問題解決過程中的適時抽象來實現.拋開生活情境豐富的實際問題不談,就以本文中這則案例為代表幾何教學為例,看似幾何問題數學化程度較高,但離最終的數學規范結論還有著較大的距離.為了讓學生避免過多非數學情境的干擾,我們應讓學生從圖形認識(如本文中的折疊等腰三角形紙片)開始,他們在直觀體驗過程中,埋下抽象的"種子";當學生從圖形的辨析與操作中獲得了非數學的結論(如本文中的"重合的圖形")時,他們在觀察分析中,獲得了離數學化結論最近的結論.做好了以上這兩步,學生的思維基本上打開了.接下來,就是抽象,從這些豐富的圖形中用符號、式子將發現的結論"提取"出來,用獲得的舊知以數學的方法加以驗證,這樣,數學化的結論在師生、生生的思維碰撞中自然生成.通過適時抽象,新知"悄然"生成,充分展示了主干知識的主干價值,讓主干知識的應用成果實現了"數學化",為接下來的進一步探究鋪平了道路.