基于數學實驗視角下的二次函數圖像與性質教學*

廣東省廣州市南沙東涌中學　霍銳泉

基于數學實驗視角下的二次函數圖像與性質教學*

一、問題提出

由于二次函數圖像的開口方向、形狀大小、位置等取決于函數表達式中各參數的值,這些參數的值往往是可以連續變化的,特別是圖像的移動,采用傳統的教學手段,僅靠幾幅靜態圖形和教師講解很難反映出圖像變化的實質和影響因素,不能直觀地觀察數量之間的關系,給學生的理解帶來困難.而在課堂上由于畫函數的圖像或數據運算耗時較多,影響教學任務與教學效果.如何利用信息技術開展數學實驗,減少探究過程中機械的、重復性的操作,提高教學效率,使學生把更多的時間和精力用于理解數學本質、探究數學規律上,從而提高數學教學效果和質量,是數學教師面臨的課題.

幾何畫板具有豐富的圖像功能,只要給出函數表達式,就能畫出初中階段的所有函數圖像.如果要探究函數圖像的動態變化,通過參數數值的變化,可動態展現函數圖像的變化,讓學生通過觀察圖形的變化與參數值的變化關系,直觀地了解函數的性質.因此,利用信息技術構建實驗情境,通過運用實驗方法,進行數學實驗教學活動,已越來越顯示了現代教育技術手段在數學教學中的優越性作用.下面是學生在掌握了二次函數的基本概念及圖像的作法后,從數學實驗的角度利用幾何畫板進行"二次函數圖像與性質"的教學.

二、基于數學實驗視角下的二次函數圖像與性質教學

組織學生小組合作,提出實驗要求:①四人為一組,啟動幾何畫板軟件(事前準備好探究的文件),進行實驗探究,各個小組按照"數學實驗報告表"提示的步驟進行小組合作探究活動;②在做實驗的時候,要認真做好實驗記錄,然后組長組織同學們進行討論;③請各個小組派代表到黑板前展示研究成果,并做簡單匯報發言.

實驗探究一:探究二次函數y=ax2(a≠0)中a對函數圖像變化的影響.

首先,用幾何畫板做好一個將二次項系數a設計成一個可調節的參數的二次函數圖像,讓學生通過拖動a的變化動態探究圖像的變化規律.

實驗設計:

(1)拖動a點,使a>0,如圖1,觀察a的值和圖像的變化情況.(2)拖動a點,使a<0,如圖2,觀察a的值和圖像的變化情況.(3)拖動a點,觀察思考:圖像開口方向的決定因素是什么?(4)寫出二次函數圖像與a的關系的實驗報告表.

y=ax2a>0 a<0開口方向對稱軸頂點坐標性質當x>0時,y隨x的增大而____;當x<0時,y隨x的增大而____;當x=0時,y有最___值,為____.當x>0時,y隨x的增大而____;當x<0時,y隨x的增大而____;當x=0時,y有最___值,為____.

圖1

圖2

實驗探究二:探究二次函數y=ax2+k(a≠0)中k對函數圖像變化的影響.

用幾何畫板做好一個將常數k設計成一個可調節的參數的二次函數圖像,讓學生通過拖動k的變化動態探究圖像的變化規律.

實驗設計:(1)拖動k點,使k>0,如圖3,觀察k的值和圖像頂點的變化情況.(2)拖動k點,使k<0,如圖4,觀察k的值和圖像頂點的變化情況.(3)改變開口方向,拖動k點,再拖動A點,觀察比對實線與虛線圖像上對應點的變化情況,思考頂點的決定因素是什么?(4)寫出二次函數圖像與k的關系的實驗報告表.

y=ax2+k a>0 a<0開口方向對稱軸頂點坐標當x>0時,y隨x的增大而____;當x<0時,y隨x的增大而____;當x=0時,y有最___值,為____.性質當x>0時,y隨x的增大而____;當x<0時,y隨x的增大而____;當x=0時,y有最___值,為____. k值變化圖像向上平移,k____0;圖像向下平移,k____0.

圖3

圖4

實驗探究三:探究二次函數y=a(x-h)2(a≠0)中h對函數圖像變化的影響.

實驗設計:(1)拖動h點,使h>0,如圖5,觀察h的值和圖像頂點的變化情況.(2)拖動h點,使k<0,如圖6,觀察h的值和圖像頂點的變化情況.(3)改變開口方向,拖動h點,觀察對比實線與虛線圖像上對應點的變化情況,思考頂點的決定因素是什么?(4)寫出二次函數圖像與h的關系的實驗報告表.

y=a(x-h)2a>0 a<0開口方向對稱軸頂點坐標性質當x>h時,y隨x的增大而____;當xh時,y隨x的增大而____;當x

圖5

圖6

實驗探究四:探究二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)中h、k對函數圖像變化的影響.

實驗設計:(1)拖動h、k點,如圖7,觀察h、k的值和圖像頂點M的變化情況.(2)改變開口方向,拖動h、k點,如圖8,觀察對比實線與虛線圖像上對應點的變化情況,思考頂點M的決定因素是什么?(3)寫出二次函數圖像與h、k的關系的實驗報告表.

y=a(x-h)2+k a>0 a<0開口方向對稱軸頂點坐標性質當x>h時,y隨x的增大而____;當xh時,y隨x的增大而____;當x

圖7

圖8

實驗探究五:探究二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c對函數圖像變化的影響.

實驗設計:(1)只拖動a點,如圖9,觀察思考:影響開口大小的因素是什么?(2)只拖動b點,如圖9,觀察思考:對稱軸的位置怎樣變化?(3)只拖動c點,如圖9,觀察思考:圖像沿怎樣的路徑變化?為什么會這樣?(4)分別拖動a、b、c點,觀察a、b、c的值和圖像的變化情況,觀察頂點M與的變化情況,思考頂點M的決定因素是什么?(5)寫出二次函數圖像與a、b、c的關系的實驗報告表.

y=ax2+bx+c a>0 a<0開口方向開口大小a越大,圖像開口越___. a越小,圖像開口越___.對稱軸頂點坐標性質a時,y有最___值,為____. a時,y有最___值,為____.在對稱軸左邊,y隨x的增大而____;在對稱軸右邊,y隨x的增大而____;當x=-b 2在對稱軸左邊,y隨x的增大而____;在對稱軸右邊,y隨x的增大而____;當x=-b 2 a、b、c對圖像變化的影響①a決定開口的____及開口的____.②當對稱軸在y軸的左邊時,a、b的符號____;當對稱軸在y軸的右邊時,a、b的符號____.(即a、b符號左___右___)③c決定圖像與y軸的相交情況,與y軸正半軸交,則c__0;與y軸負半軸交,則c___0;過原點,則c___0.

圖9

三、開展數學實驗教學的感悟

1.信息技術為數學實驗教學注入新生命

從信息技術的視角來看,隨著科學的發展,尤其是科學計算器、TI圖形計算器、計算機等儀器設備越來越普及,以及幾何畫板、超級幾何畫板、z+z智能教育平臺、MATLAB實驗室、Mathematica等數學軟件的應用,為師生利用計算機開展數學實驗活動,進行探究性學習提供了硬件和軟件保障.各類先進的軟件為學生學習創造了空間,學生可以利用這些軟件進行數學實驗、數學探究、"發現"數學規律,學生通過觀察、實驗、歸納進行合理的數學猜想;體驗數學思想方法的真諦.應該說,信息技術為傳統的數學實驗教學注入了新的生命和活力.

2.突出信息技術優勢,給力數學實驗教學

現代信息技術的廣泛應用,對數學課程的內容、數學教學、數學學習等方面產生深遠的影響.它的優勢主要體現在快捷的計算功能、豐富的圖像呈現、大數據的處理能力,為抽象的數學思維提供直觀的思維背景,使靜態的數學結構表現為動態的過程,使抽象是數學內容直觀化、具體化,為學生學習數學知識提供感性的、直觀的材料,以及提供交互式的學習和研究環境等方面.因此,在教學中一方面應重視現代信息技術與教學的有機整合,充分利用現代信息技術的優勢,幫助學生更好地認識和理解數學,增強學生對數學學習的興趣,提高教學質量;另一方面,也要注意信息技術手段的作用是"輔助",是助力于數學實驗,不能讓多媒體教學"喧賓奪主".信息技術應用于數學實驗教學為的是突破教學難點,是對傳統教學手段的有益補充,但要以開發學生的智力,挖掘學生的潛力,培養學生的能力為前提,不然就失去進行數學實驗的目的和意義.

3.數學實驗視角下利用信息技術開展實驗教學的一般步驟

數學實驗的設計流程如圖10所示,其教學實施的一般步驟為:問題情境-建立-模型-操作思考-檢驗結論-推廣一般.教師根據教學內容、學生的特點設計出"數學實驗報告表".該報告表主要包括以下幾方面:創設問題情境、使用何種計算機軟件、實驗步驟、實驗數據的分析、結論的驗證、知識的應用及實驗報告的評價.在該表的引導下,學生完成一個個計算機操作實驗,通過一系列問題解決,實現數學知識的生成與發展,達到思維的發展.

圖10

4.創設寬松的實驗環境,讓學生親歷發現過程

數學實驗教學過程中以問題情境為載體,在教師引導下,創設一種類似科學研究的情境和途徑,讓學生通過親自實踐獲取直接經驗,養成科學精神和科學態度,掌握基本的科學方法,提高綜合運用所學知識解決實際問題的能力.而建構主義的學習觀認為學生不是被動的知識接受者,不能把知識作為預先決定了的東西交給學生,學生對知識的接受只能靠他自己的建構完成,以他們自己的經驗、信念為背景來分析知識的合理性.因此,教師要創設寬松的數學實驗環境,提倡學生親自動手操作、獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流,親身經歷探究的過程,感受數學知識的產生,體驗發現學習的樂趣,從而達到建構自身良好的知識結構體系.

5.運用"最近發展區"理論,合理設計"數學實驗報告表"

維果斯基的"最近發展區理論"認為學生的發展有兩種水平:一種是學生的現有水平,另一種是學生潛在的發展水平,兩者之間的差距就是"最近發展區".教師要通過教學指導學生的思維實現從現有的發展水平到潛在的發展水平過渡,以完成發展過程.因此,教師要通過學生的"最近發展"來設計"數學實驗報告表".為此,教師必須了解和把握學生對某個知識點的現有發展水平,然后把學生的最近發展區劃分為幾個發展層次,最后設計引導學生實現思維向最近發展區"思維躍遷"的教學策略.

四、寫在最后

利用信息技術可以給我們提供一個良好的數學實驗環境,讓學生在實驗報告引導下進行操作實驗,在操作的過程中觀察與思考.數學實驗讓學生成為學習活動的參與者,積極探索不斷構建和完善自身的知識體系,有助于學生了解數學知識形成與發展的過程;經歷數學研究過程,建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣,培養學生發現、提出、解決數學問題的能力;有助于發展學生的創新精神和實踐意識.充分利用信息技術豐富的圖像動態演示功能,尋找信息技術與課堂教學的結合點,給力數學實驗教學,使數學課堂教學更生動,教學難點突破更輕松.

1.史寧中.義務教育數學課程標準2011年版解讀[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

2.康寧.運用"幾何畫板"教學"二次函數"案例舉隅[J].中學數學教學參考(中),2010(9).

3.郭浩榮.例談利用信息技術開展初中數學研究性學習[J].中學數學研究(下),2013(3).

4.姜曉剛.初中數學實驗教學設計的研究與實踐[J].中學數學雜志,2013(10).

5.李銘.用幾何畫板解決二次函數的教學難點[J].中學教學參考(理科),2010(2).

*本文系廣州市教育科學"十二五"規劃2014年度課題《新課標下初中數學實驗教學資源開發與利用研究》(課題編號:1201462544);廣州市南沙區教育科學"十二五"規劃課題《初中數學實驗教學的開發與利用研究》(課題編號: 2014019)的階段性研究成果.