聚焦內(nèi)容效度：函數(shù)綜合題的命題追求
——以兩道中考?？碱}為例

☉江蘇省常熟市滸浦學(xué)校陳玉純

聚焦內(nèi)容效度：函數(shù)綜合題的命題追求
——以兩道中考?？碱}為例

☉江蘇省常熟市滸浦學(xué)校陳玉純

函數(shù)綜合題是各地中考?？嫉闹匾碱}，通常會安排全卷最后兩題之一，然而由于命題者個人的喜歡與旨趣，常常使得函數(shù)綜合題的系列設(shè)問偏離函數(shù)的本質(zhì)，甚至與函數(shù)毫無關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)向平面幾何的某個經(jīng)典問題，這類考題的一個顯著不足就是內(nèi)容效度不夠聚焦.本文選擇近期關(guān)注的幾例中考模考題，給出思路簡述，并嘗試給出變式改編與相關(guān)命題思考，提供研討，掛一漏萬，還望各位專家同行雅正.

一、?？碱}及思路簡述

?？碱}1（2016年4月貴州省某地模考題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+ mx+n，過點(diǎn)A（0，4）和C（8，0）.

（1）求m、n的值.

圖1

（2）若P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB.過點(diǎn)B作x軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn)D.

①小南同學(xué)經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D可以落在拋物線上.你覺得可能嗎？如果可能，請求出t的值；如果不可能，請說明理由.

②當(dāng)以點(diǎn)A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似時(shí)，求此時(shí)t的值.

思路簡述：（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，從而得到m、n的值分別為、4.

（2）①利用△AOP∽△PEB，用含t的式子表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，4），當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，有-（t+2）2+（t+2）+4=4，解得t=3或t=-2，再結(jié)合t＞0，故當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上.

②需要根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上和點(diǎn)C的右側(cè)兩種情況，也就是分別考慮當(dāng)0＜t＜8時(shí)或當(dāng)t＞8時(shí)兩種情況，當(dāng)0＜t＜8時(shí)，若△POA∽△ADB，則，即，整理得t2+16=0，此時(shí)t無解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2+2.當(dāng) t＞8時(shí)，若△POA∽△ADB，則，即，

圖2

?？碱}2（2016年4月福州市某地模考題）如圖2，拋物線y=a（x-2）2-1過點(diǎn)C（4，3），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接OC，CM，求tan∠OCM的值；

（3）若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，連接BP，CP，BM，當(dāng)∠CPB=∠PMB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路突破：（1）根據(jù)待定系數(shù)法容易求出y=（x-2）2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）.

（2）如圖3，連接OM，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理（或者兩點(diǎn)之間距離公式）求出OC、OM、CM的長，從而利用勾股定理逆定理發(fā)現(xiàn)△COM是直角三角形，于是可以利用正切函數(shù)的定義求出tan∠OCM的值為.

圖3

（3）這一問思路較難獲取，首先草圖分析，分離“偽裝拋物線”（如圖4），進(jìn)一步“目標(biāo)解析”（如圖5），確認(rèn)∠BMP=45°，也就是要找一點(diǎn)P，滿足∠BPC=45°，于是想到構(gòu)造所謂的“一線三等角”，從而構(gòu)造出圖6所示的問題模式，獲得重要進(jìn)展.可以利用△PCQ∽△BPM分析PM的長，從而貫通思路，注意點(diǎn)P有兩解，即（2，2+）或（2，2-√5）.

圖4

圖5

圖6

二、對模考題的商榷與改編

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，我們在習(xí)題命制時(shí)，應(yīng)該注重學(xué)生的思維連續(xù)性，確保每個設(shè)問都并非是孤立的問題，借助于設(shè)問之間的聯(lián)系，將學(xué)生原有的知識和解決數(shù)學(xué)問題的方法連貫起來，借助于問題的解決過程內(nèi)化學(xué)生認(rèn)知，發(fā)散學(xué)生思維，提升學(xué)生的解題能力.從上面的思路突破來看，兩個模考題的最后一問基本與前面的題干沒有多大關(guān)系，特別是與拋物線基本沒有聯(lián)系，這種讓大題干提前“枯萎”的設(shè)問方式值得商榷.知易行難，以下我們對模考題2提出變式改編，提供研討：

?？碱}2的第（3）問變式改編：設(shè)直線x=a分別交拋物線、x軸于點(diǎn)P、H.當(dāng)時(shí)，求a的值.

改編意圖：可以發(fā)現(xiàn)，我們改編的意圖主要是讓設(shè)問保持與題干中拋物線發(fā)生關(guān)聯(lián)，而不是離開拋物線另外設(shè)問.

三、函數(shù)綜合題命題的進(jìn)一步思考

一個現(xiàn)實(shí)是，目前各級初三模考或者中考試卷中，函數(shù)為載體的（特別是二次函數(shù)）綜合題出現(xiàn)的幾率極高，然而由于初中階段對函數(shù)包括二次函數(shù)的研究還比較局限，并沒有涉及更多高中階段中的解析幾何的性質(zhì)，所以很多函數(shù)綜合題往往不能深入探討函數(shù)的圖像與性質(zhì)，這時(shí)不少命題者選擇將函數(shù)圖像與幾何性質(zhì)相結(jié)合，生成一些人為制造的“平面直角坐標(biāo)系搭臺，平面幾何難題構(gòu)造來唱戲”的試題，由于這類試題較容易編制，也就在各類中考分類匯編、教輔資料中“流行”起來，甚至細(xì)化出很多考題分類，比如，拋物線與三角形綜合題，拋物線與圓綜合題，一次函數(shù)與平行四邊形翻折綜合題，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，以及一些動點(diǎn)問題等，“應(yīng)試”“備考”之風(fēng)在這些資料的“引領(lǐng)”下扎實(shí)開展.筆者根據(jù)命題經(jīng)驗(yàn)初步思考后認(rèn)為，關(guān)于函數(shù)綜合題的命題，應(yīng)該有如下追求：

1.函數(shù)綜合題應(yīng)以函數(shù)為主干，注意內(nèi)容效度

從上面兩個?？碱}來看，雖然題干中都是以拋物線為載體，但是當(dāng)?shù)冢?）問明確函數(shù)關(guān)系式之后，后續(xù)的設(shè)問與拋物線基本沒有多少聯(lián)系，設(shè)問或考查的難點(diǎn)卻是幾何模式圖形的識別與構(gòu)造，這樣的考題與其說是函數(shù)綜合題，不如說是稍有難度的平面幾何題，而且是“超標(biāo)”的幾何題.從命題的相關(guān)指標(biāo)來看，試題的內(nèi)容效度難有保證.

2.函數(shù)綜合題應(yīng)聚焦核心概念，注意上下關(guān)聯(lián)

函數(shù)綜合題如何聚焦核心概念，我們認(rèn)為，應(yīng)該特別體現(xiàn)函數(shù)本質(zhì)的對應(yīng)思想、增減性、數(shù)形結(jié)合等內(nèi)容.此外，對于綜合題來說，往往安排2～3個小問，這幾個小問既要注意“遞進(jìn)”式設(shè)計(jì)，同時(shí)又需要注意設(shè)問的“距離”，即不同小問之間追求內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從形式上看是并列式問題、互不干擾，但求解的思想方法、突破策略，卻可以互為啟發(fā)，這也是我們在上文提供不同模考題的變式改編的主要追求.

3.函數(shù)綜合題應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維，注意經(jīng)驗(yàn)積累

研究解答函數(shù)綜合題不僅僅是為了考試多得分、得到分，反思解題過程，形成經(jīng)驗(yàn)積累，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容.解題活動的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)，解題是一種最貼近數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)性活動，是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”的關(guān)鍵途徑.函數(shù)綜合題要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，要使學(xué)生學(xué)會分析，將原有的認(rèn)知和解題經(jīng)驗(yàn)遷移過來；學(xué)會思考，反思現(xiàn)有問題與原有經(jīng)驗(yàn)的差異性，發(fā)散思維，避免思維定勢；學(xué)會解題，在同化和順應(yīng)的過程中選擇最佳的破解難題的方法和途徑，在成功的體驗(yàn)中發(fā)展能力.唯有如此，我們的習(xí)題教學(xué)才能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，使學(xué)生的解題能力與智力、思維、能力的發(fā)展同行.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

5.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

6.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.H