變式延伸，拓展講評內容，提高試卷講評效率

盛建武

試題由于受考試卷面、考試時間等的限制，試卷不可能涉及所學知識的全部。命題者往往以點帶面來考查學生的數學知識與能力。在進行試卷講評時，教師僅僅停留在知識點的層面上，就題論題，沒有知識的歸納總結與拓展提升，缺乏知識的系統性。學生的收獲是只會解一道題，不能旁通一類題，顯然這種就題論題的講評是不可取的。

講評課涉及的內容都是學生已學過的知識，但評講內容決不應是原有形式的簡單重復，必須有所變化和創新。在設計講評方案時，對于同一知識點應多層次、多方位加以解剖分析，同時注意對所學知識進行歸納總結、提煉升華，以嶄新的面貌展示給學生，在掌握常規思路和解法的基礎上，啟發新思路，探索巧解、速解和一題多解，讓學生感到內容新穎，學有所思，思有所得。通過講評，訓練學生由正向思維向逆向思維、發散思維過渡，提高分析、綜合和靈活運用能力。同時，針對試卷中具有較大靈活性和剖析余地的典型試題要作進一步“借題發揮”，引起學生思維的發散，開拓思考的視野，從而促進其創新素質的提高。

一、一題多解：訓練學生思維的靈活性

對于試題中的典型題目，教師應把學生的解題途徑作為素材提煉、擴充、變通，使學生多方位、多角度地掌握解題的途徑，從中頓悟出題目的本質來，增強解題悟性，激發學生思維。

案例1： 已知：在△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，BE=CF，EF交BC于點D。求證：DE=DF。

這是一題典型的證明兩線段相等的幾何問題。在講評時，我讓學生自己來講解解題思路，充分暴露學生的思維過程，使學生的思維應變能力得到充分的鍛煉和培養。

生1：（利用平移法構造全等三角形證明）如圖1，過點E作EG∥AF交BC于點G，得∠1=∠2=∠B，因此EB=EG=FC，由平行線的性質得∠3=∠4，∠5=∠6，所以△EGD≌△FCD，從而證得結論DE=DF；

生2：（利用三角形的中位線定理證明）如圖2，過E點作EG∥BC交AC于點G，由∠B=∠ACB得到梯形EBCG為等腰梯形，而EB=CF，則GC=CF，因此CD為△FEG的中位線，從而證得結論DE=DF；

生3：（利用平行四邊形的性質證明）如圖3，過F作FG∥BA交BC延長線于點G，由∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，得∠3=∠4，從而FC=FG，又已知FC=BE，得FG=BE，所以四邊形BFGE為平行四邊形，從而證得結論DE=DF；

生4：（利用相似三角形證明）如圖4，過E作EG∥AF交BC于點G，得△EGD∽△FCD，又∠1=∠2=∠B，所以EB=EG=FC，即DE∶DF = EG∶FC = 1∶1，從而證得結論DE=DF。

以上四種證法分別用到了全等三角形的對應邊相等、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、相似三角形的性質等。體現了知識的縱向、橫向的結合，輔助線的添設也各有特色，展示了證明兩線段相等問題的一般規律。這樣的講評，不僅使學生真正掌握此類問題的解法，更重要的是訓練了學生思維的靈活性與選擇性。

二、一題多問：訓練學生思維的廣闊性

為提高講評課的效果，教師應充分挖掘試題的深度與廣度，擴大試題的輻射面，把分散的知識點串成一條線，形成知識鏈，以達到“解答一題，聯通一片”目的。

案例2：如圖5，已知點C是線段AB上的一點，△ACM，△BCN都是等邊三角形。求證：AN=BM。

本題的證明不難，只需證△ACN≌△MCB即可。但在講評時，我并沒有到此為止，而是趁熱打鐵，充分挖掘試題的價值，讓學生結合圖形，深入探討以下問題：

（1）圖形中的全等三角形有幾對？（△ACN≌△MCB，△ACD≌△MCE，△DCN≌△ECB）

（2）連結DE，猜想△CDE的形狀；（△CDE是等邊三角形）

（3）猜想DE與AB的位置關系；（DE∥AB）

（4）若AN與BM交于點O，求∠AOM的度數；（∠AOM = 60°）

（5）取AN的中點G，BM的中點H，連結CG，CH，GH，求證：△ACG≌△

MCH；

（6）猜想△CGH的形狀；（△CGH是等邊三角形）

（7）若將三角形△CBN繞點C按順時針方向旋轉角a（a為銳角）后，以上結論是否還成立？為什么？

（8）若將圖中的“等邊三角形”改為“正方形”，以上探討的結論還成立嗎？（限于篇幅，問題（7）、（8）留給讀者思考）

經過上述探討、證明，涉及了更多的知識，從而使學生的思維在不斷地深化，讓學生及時弄懂未掌握的知識，并在消化過程中學到了新知識，培養探究創新能力。

三、一題多變：訓練學生思維的變通性

一題多變是變式教學的重要形式，它有助于學生抓住問題的本質，從中尋找他們之間的內在聯系，探索出一般規律，從而提高學生的思維品質和應變能力。因此，試卷講評時要通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的問題，加強知識的縱橫聯系，加大知識攝入量，實現“以少勝多”。

案例3： 如圖6，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，若∠A = 60°，則∠BPC = °。

本題是一道有關三角形內角平分線知識的常規題型，并不是很難。但在講評時，教師可借題發揮，延伸出更多相關的問題，讓學生進行探索：

問題1：（將“兩條內角平分線”改為“一條為內角平分線，另一條為外角平分線”）如圖7，BP、CP分別是△ABC的內角平分線和外角平分線，若∠A= 60°，則∠BPC = °；

問題2：（將“兩條內角平分線”改為“兩條外角平分線”）如圖8，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，若∠A= 60°，則∠BPC= °；

問題4：（將“兩條內角平分線”改為“兩條高”）如圖9，BD、CE是△ABC的兩條高，相交于點P，試探討∠BPC與∠A之間的關系。（∠BPC= 180°-∠A）

本題講評對相關知識進行了有效的拓展與遷移，通過對該知識聯系到的相似知識和相關的知識進行比較，鑒別和再認識，以培養學生舉一反三，融會貫通的能力。

四、多題一解：訓練學生思維的深刻性

通過多題一解讓學生概括基本規律，可以培養學生求同存異的思維能力。許多數學習題看似不同，但他們的內在本質，或者說是解題的思路、方法是一致的，這就要求教師在試卷講評中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法、通解，并讓學生感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。

案例4：如圖10，有一個圓柱，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物，需要爬行的最短路程是 厘米。（π的值取3）

解此題應將圓柱側面展開后，依據“兩點之間線段最短”的性質，運用勾股定理求出線段AB的長即可。此類問題的解法還可以推廣到正方體、長方體、臺階等情境中。

問題1：如圖11，一只螞蟻從點A出發，沿正方體表面爬行到點B處，若正方體的棱長為4厘米。則螞蟻需要爬行的最短路程是 厘米。

問題2：如圖12，在長方體中，AC = 3cm，CD = 5cm，DB =6cm，一只螞蟻從點A出發，沿長方體表面爬行到點B處。則螞蟻需要爬行的最短路程是 cm。

問題3：如圖13是一個三級臺階，它的每一級臺階的長、寬、高分別是20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，一只螞蟻從點A出發，沿臺階表面爬行到點B處。則螞蟻需要爬行的最短路程是 dm。

以上問題雖然思維方式有所不同，但本質是一致的，考查的都是轉化思想（由立體轉化成平面），運用的知識都是勾股定理，通過這樣的講評能使學生達到做一題，學一法，會一類的效果。

五、結論推廣：訓練學生思維的發展性

試卷講評時，教師應充分挖掘試題的潛在功能，對一些重要的結論應不失時機地加以推廣，以完善知識體系，拓展解決問題的思維空間。

案例5： 如圖14，點C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作正方形ACDE和CBGF，連接AF、BD，試問AF與BD有何關系？為什么？

本題通過證△ACF≌△DCB，可得AF=BD，AF⊥BD。但在試題講評時，我沒有就題論題，而是對所得的結論進行推廣與拓展，以使學生深刻領會問題的本質，發展思維能力。

（1）如果點C在線段AB的延長線上，所得的結論是否成立？請畫出圖形，并說明理由。

（2）如果點C不在直線AB上時（點C在直線AB的上方或下方），AF與BD的關系是否仍然成立？

（3）若將圖中的正方形CBGF繞點C旋轉任意角度，AF與BD的上述關系是否還成立？

通過對圖形進行一圖多變的發散性變化，讓學生在圖形的變化過程中感受靜與動，變與不變的辨證統一關系，讓學生在體會數學奧妙的同時，提高自主探究的能力。

（作者單位：湖南省長沙市開福區教育科研培訓中心）