具有斑塊結構的捕食-食餌系統的最優捕獲

林琳，馮曉梅

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具有斑塊結構的捕食-食餌系統的最優捕獲

林琳1，馮曉梅2

（1. 運城農業職業技術學院 基礎教學部，山西 運城 044000；2. 運城學院 應用數學系，山西 運城 044000）

研究了一類具有斑塊結構的Lotka-Volterra型捕食-食餌系統的動力學行為，討論了該系統生態經濟平衡點的存在性，為了使得利益最大化，通過應用Pantryagin最大值原理給出了最優的捕獲策略．

斑塊結構；捕食者-食餌系統；生態經濟平衡態；最優捕獲

在大自然的生存環境中，許多自然現象對物種的生存和發展起著至關重要的作用．為了有效地發揮有利要素的作用，防止有害要素的影響，有必要研究處于善變環境中的自然現象的數學模型．近年來，不少學者對空間分散行為的多種方式進行了研究，同時探討了不同空間分散行為對動力學的影響，特別是對在斑塊環境中擴散的種群模型的研究也取得了突飛猛進的進展[1-4]．文獻[5]以Lotka-Volterra模型[6]為基礎，建立了一類具備斑塊結構的2種群食餌-捕食模型，本文在此基礎上對其進行了更深層次的研究．

1　模型假設及建立

假定各個斑塊都是自治的，斑塊1中既有食餌種群又有捕食者種群，斑塊2中僅有有庇護所效應的食餌種群．庇護所效應對食餌種群可形成一個保護性的作用，即在此斑塊中，不允許對食餌種群進行捕撈．同時假設食餌種群可以在這２個斑塊間隨意地遷移．根據假定，以Lotka-Volterra模型為基礎，建立了模型：

文獻[5]根據常微分方程定性與穩定性方法[7]對系統（1）的平衡點進行了較詳細的動力學行為分析．本文將討論系統（1）的生態經濟平衡及其最優捕獲策略．

2　生態經濟平衡

當收獲的總收益等于其收獲的總成本時，也就達到了其生態經濟平衡．生態經濟平衡由給出．設單位捕獲努力量的成本消耗為常數，收獲種群的單位價格也為常數，則凈收益為

3　最優捕獲策略

現實生活中，人們往往充分利用并開發生物資源以便捕獲種群所得的經濟利益最大Pantryagin化．應用最大值原理[8]尋求一個最優的捕獲努力量，使得長期資源開發中得到的已貼現凈經濟利潤

構建該最優控制問題的現值Hamilton函數[8]

因此，最優捕獲策略是

這暗示了，在穩定狀態收獲單位努力的成本等于其將來邊際利潤的貼現值．

此時，伴隨方程為

由式（8）及式（14），可得到奇異軌線

參考文獻：

[1] Bereta E，Solimano F，Takeuchi Y．Global stability and periodic orbits for two patch predator-prey diffusion-delay models[J]．Math Biosci，1987（85）：153-183

[2] Yang Kuang，Yasuhiro Takeuchi．Predator-prey dynamics in models of prey dispersal in two-patch invironments[J]．Math Biosci， 1994，120：77-98

[3] Freedaman H I，Takeuchi Y．Global stability and predator dynamics in a model of prey dispersal in a patchy environment[J]． Nonlinear Anal TMA，1989（13）：993-1002

[4] 謝旺生，翁佩萱．一類具有斑塊擴散與反饋控制的捕食者-食餌模型周期解的存在性[J]．華南師范大學學報：自然科學 版， 2012，44（1）：42-47

[5] 林琳，雒志學．具有斑塊結構的捕食-食餌系統的研究[J]．溫州大學學報：自然科學版，2015，35（1）：1-5

[6] 陳蘭蓀．數學生態學模型與研究方法[M]．北京：科學出版社，1988：129-131

[7] 馬知恩，周義倉．常微分方程定性與穩定性方法[M]．北京：科學出版社，2001：46-71

[8] Colin W C．MATHEMATICAL BIOECONOMICS[M]．Beijing：Wiley，2010：102-107

The optimal harvesting policy of the predator-prey system with species for prey in patchy environment

LIN Lin1，FENG Xiao-mei2

（1. Department of Primary Education，Yuncheng Polytechnic College of Agriculture，Yuncheng 044000，China；2. Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng 044000，China）

The Lotka-Volterraprey-predator system with two species for prey in patchy environment is considered and their dynamic behavior is investigated．The existence of the economic equilibrium is discussed．By applying the Pantryagin′smaximum principle，an optimal harvesting policy is obtained in order to obtain greater profits ．

patches environment；predator-prey system；economic equilibrium；optimal harvesting

1007-9831（2016）10-0003-05

O175.1∶Q141

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.002

2016-07-20

國家自然科學基金資助項目（11501498）

林琳（1983-），女，山西運城人，講師，碩士，從事生物數學研究．E-mail：linlin418@163.com