均質柱形剛體轉動慣量的計算

何艷，鄧磊，謝艷丁，羅志娟，喻莉

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均質柱形剛體轉動慣量的計算

何艷，鄧磊，謝艷丁，羅志娟，喻莉

（空軍預警學院 基礎部，湖北 武漢 430019）

從剛體轉動慣量的定義出發(fā)，結合剛體的平行軸定理和“補償法”，通過選取不同的“微元”，計算了不同情形的均質柱形剛體的轉動慣量，并強調了物理“微元法”的思想，強化了物理概念、定理的運用，而且將結論進行推廣討論．

轉動慣量；微元法；平行軸定理；補償法

轉動慣量是描述剛體在轉動中的慣性大小的物理量，它是剛體力學中的重要概念，在工程技術、航天、機械和儀表等領域中也是一個重要參數(shù)[1]．剛體轉動慣量的理解和計算一直是教學中的難點，通過對剛體轉動慣量的計算，不但可以幫助學生掌握其計算方法，而且更有助于較好地理解物理學中重要的“微元法”的思想，掌握好“微元法”的物理思想是學好大學物理力學和電磁學部分的關鍵所在[2]．本文用“微元法”對不同情形的對稱均質圓柱形剛體的轉動慣量進行計算，通過分割、近似、求和及取極限等過程，即高等數(shù)學中求定積分的定義，讓學生理解該物理思想方法的精髓并靈活掌握轉動慣量的計算方法，從而加深對剛體轉動慣量物理意義的理解．

1 均質圓柱體對中心軸轉動慣量的計算

則整個剛體的轉動慣量為每一微元對轉軸轉動慣量的無限求和，即計算質量連續(xù)均勻分布的剛體的轉動慣量實際上就是微積分的過程[4]

式（3）就是質量均勻分布的圓柱體對中心轉軸的轉動慣量．

該圓盤狀微元相對中心軸的轉動慣量為

信托是由委托人、受托人以效率為原則而進行的一種雙向市場選擇行為。參考信托法對 “信托”含義的界定，結合現(xiàn)行法律關于土地制度的規(guī)定，農村土地信托應是在堅持集體所有權和土地承包權不變的前提下，土地信托服務機構接受土地承包者的委托，按照土地使用權市場化需求，通過一定的法律程序，將農戶擁有的土地承包經營權在一定期限內依法、有償轉讓給其他公民、法人或其他組織從事農業(yè)經營活動的行為。

則均質圓柱體對中心轉軸的轉動慣量為

結果與取任意微元計算的結果相同，但更方便，易理解．

圖2 均質實心圓柱體軸向圓盤狀微元

圖3 均質軸對稱圓筒

2 均質圓筒對中心轉軸轉動慣量的計算

類似于以上情形，根據(jù)轉動慣量的定義，再通過微積分的方法自然可以計算出此種情形的轉動慣量．對于均質圓筒，既可以借助于柱面坐標系取任意“微元”，也可以沿著中心對稱軸（軸）將均質圓筒分割為一個個薄圓環(huán)作為“微元”．給出取任意微元的計算過程，另一種方法從略．

當然，均質圓筒可看成是在一個大的均質實心圓柱體對同一中心軸挖去了一個等高的小圓柱體，并設半徑為的實心均質圓柱體的質量為．因此，可以借助于補償?shù)姆椒ㄟM行計算[6]．于是均質圓筒對中心轉軸的轉動慣量等于半徑為的實心均質圓柱體對中心轉軸的轉動慣量減去半徑為的實心均質圓柱體對中心轉軸的轉動慣量，且兩均質圓柱體的質量密度分布相同有

式（8）即為均質圓筒對中心轉軸的轉動慣量，其結果與圓筒的高度無關．

討論：

3 均質平行中心軸挖空的圓柱殼

圖4 平行于軸的空心圓筒

根據(jù)平行軸定理和補償法[8]，可以先將挖去的部分補起來使之成為一個實心的圓柱體，那么待求部分的轉動慣量就等效為補齊后半徑為的實心圓柱體對軸的轉動慣量減去半徑為的圓柱體對軸的轉動慣量．其中補齊后半徑為的實心圓柱體對軸的轉動慣量為

4 結語

轉動慣量是剛體轉動時物體的一個重要屬性．它不僅與剛體的體密度有關，還與剛體的幾何形狀、體密度的分布及轉軸的位置有關．本文利用“微元法”計算了不同情形剛體的轉動慣量，并適時的運用了平行軸定理和補償?shù)姆椒ǎ嬎惴椒ㄍㄋ滓锥荚谧寣W生掌握其方法并體會理解物理學中重要的“微元”思想．

參考文獻：

[1] 漆安慎，杜嬋英．力學[M]．北京：高等教育出版社，2009：282-286

[2] 馬文蔚，周雨青．物理學（上）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014：114-115

[3] 傅美歡．剛體轉動慣量的“微元法”教學[J]．南京工業(yè)職業(yè)技術學院學報，2015，15（4）：64-68

[4] 韓眾．幾種形狀規(guī)則剛體轉動慣量的計算[J]．山西大同大學學報，2014，30（4）：25-27

[5] 莫杰雄．以常見剛體的轉動慣量計算為例談微元的選擇[J]．長春師范學院學報：自然科學版，2010，29（6）：24-26

[6] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒，等．基于均質球對稱剛體轉動慣量的計算[J]．吉林師范大學學報：自然科學版，2016，５（1）：84-156

[7] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒，等．基于均質圓柱殼剛體轉動慣量的計算[J]．吉林師范大學學報：自然科學版，2016，5（2）：84-86

[8] 趙強，韓春杰．剛體轉動慣量的求解討論[J]．物理通報，2014（5）：19-21

The calculation on rotary inertia for homogeneous cylindrical rigid body

HE Yan，DENG Lei，XIE Yan-ding，LUO Zhi-juan，YU Li

（Department of Basic Courses，Air Early Warning Academy，Wuhan 430019，China）

Starting from the definition of rotary inertia of rigid body，combined with the parallel-axis theorem of rigid body and the compensation method，by choosing different infinitesimal element，the rotary inertia of homogeneous cylindrical rigid body is caculated under the different situation．Not only the infinitesimal method physical idea is emphasized，and using of physical concept and physical theorem is intensified，but also the promote discussion about caculation result is proceeded.

rotary inertia；infinitesimal method；parallel-axis theorem；compensation method

1007-9831（2016）10-0046-03

O313∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.013

2016-07-25

何艷（1979-），女，湖北黃岡人，講師，碩士，從事大學物理研究．E-mail：hy2004_1120@126.com