活學活用，力達變通

貢青

反比例函數是初中學生學習的某一類型函數，它的圖像和一次函數明顯不同，反比例函數是不連續函數，圖像分別在兩個象限，每個象限內均為曲線，給學生增加難度，也給教學增加難度.反比例函數的應用對學生能力培養作用還是比較明顯的，有助于培養學生數形結合思想，所以教學中應加以充分重視，力爭學生靈活變通使用所學知識.

反比例函數圖像的應用，其中常見的就是函數圖像面積問題.通過這一問題教學和學生練習，讓學生感悟函數關系式與圖像之間的關系，更好地理解圖像上的點與函數關系式之間的關聯.

一、緊扣定義，合理選擇

反比例函數定義中，關系式有三種表達形式：y= （k≠0），y=kx （k≠0），xy=k（k≠0），這三種表達形式都需要學生熟練掌握，每種表達式都有自己鮮明的特點和適用范圍.在反比例函數面積題解答中，xy=k（k≠0）是最常用的.

例題1.如圖，矩形ABOC的面積為2，反比例函數y= 的圖像過點A，則k的值為（ ）

A. -4 B. 4 C. -2 D. -

本題是典型的反比例函數圖像的面積問題，題目不難，但需要學生注意點A的設，由于點A在第二象限內，因此平時教學中，不少老師可能更多的是讓學生記住面積和k的直接關系，然后注意象限符號，最后得到答案為c，失去讓學生感受點的坐標和線段長度之間的關系的機會，尤其不同象限內，每一條相關線段和點坐標之間的關系是不同的.應該強調設點A為（x，y），得AC=-x，AB=y，解下去，在反比例函數表達式的選擇上，顯然應該選擇xy=k（k≠0）.

例題2.如圖，點A、B是雙曲線y= 上的點，分別經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若S =1，則S +S =？搖 ？搖.

本題是在上一題的基礎上做了疊加，本質上還是第一題，重點仍然是設點，找關系，如果學生熟悉了上一題，在這一題解答上，學生一定能駕輕就熟地解決好.

綜上兩題發現，解決矩形類問題時，第一要合理設點，并將線段和點坐標之間的關系確定好，而后合理選擇表達式幫助解決此類問題，教學中老師應更多地在這兩方面加以引導，為以后遇到更復雜的題目打下基礎.

二、強化概念，靈活轉變

如圖，兩個反比例函數y= 和y= 在第一象限內的圖像分別是C 和C ，設點P在C 上，PA⊥x軸于點A，交C 于點B，則△POB的面積為？搖 ？搖.

對比上題，發現兩個題目都是疊加式圖形，不過本題中是兩個三角形的疊加，從原理來說，變化不大，如果在上面教學中，學生已掌握了矩形面積的解決方法，那么這類三角形面積題中，學生還是能很好地掌握解決矩形面積的基本思路，那么解決這個問題還是比較簡單的，重點是將△POA和△BOA的面積和兩個反比例函數的k之間的關系確定好，即兩個三角形的面積分別為2和1，那么△POB的面積就迎刃而解了.在這些題目講解中，緊緊扣住定義和表達式，進一步強化概念，讓一部分對圖形感知較弱的學生慢慢體會和適應數字和點、點和圖形之間的相互關系，從而促進學生對以往知識的復習鞏固，并對所學知識加以遷移應用.

三、強化基礎，拓展提升

學習了基本應用以后，對反比例函數圖像類的面積問題有了初步認識，當然，前面的知識都是最簡單的應用，遇到一些比較麻煩的要融會貫通.

如圖，E、F分別是矩形OABC的邊AB、BC的中點，反比例函數y= （k>0）的圖像經過E、F兩點，且B（8，t）（t>0），△OEF的面積為12.

（1）求t、k的值.

（2）點P為反比例函數y= （k>0）圖像上的一點，且P到原點的距離等于P到y軸的距離的 倍，求P點坐標.

此題從圖形上看比一般的面積題要復雜，其中△OEF的面積這個已知條件是解決整個問題的關鍵，△OEF的面積不同于一般的面積問題，與反比例函數之間沒有固定的直接關系，要求學生利用點的坐標表示相關線段長度，然后利用各圖形之間的面積關系求解.為了讓學生更充分地理解和應用點的坐標和線段之間的關系，教學時可從多個角度引導學生看這一類型題目.△OEF的面積可以看成大的矩形OCBA的面積減去周圍三個小三角形的面積，而三個小三角形的面積，主要是B、E、F點的坐標，這是這種解法的最重要部分，一定要讓學生多琢磨比對，尤其圖形感知能力較弱的學生，只有通過題目練習，才能將點的坐標和線段長度很好地聯系起來，解決整個問題就很輕松.

在學生發現這種解法比較輕松的時候，老師可從另一個角度讓學生體會圖形變換的樂趣，如圖，過F作FG⊥OA，通過推理發現△OEF的面積和梯形GFBA的面積是相等的，而得到E、F點坐標以后，發現求梯形的面積顯然比求三個三角形的面積要簡單得多，所以合理轉換顯得尤為重要.這個轉換是學生難以發現的，這里有前面提到的三角形面積和k之間的關系，還關聯到兩塊圖形重合部分的利用.

綜上所述，反比例函數的面積問題其實是更多的利用好表達式、點的表示及線段的合理表達，要想讓學生融會貫通，教師的教學引導顯得尤為重要，注重基礎，不斷拓展，學生的能力才會更好地提高.