學生在解決幾何證明題中的深度體驗

謝莎

（四川省成都市第十二中學）

學生在解決幾何證明題中的深度體驗

謝莎

（四川省成都市第十二中學）

一、教學中的兩次重創

學習完全等三角形的性質和判定，我決定補充幾何證明中添加常見輔助線的方法，結合剛學的三角形的三條重要線段，我把有關中點問題采用的“倍長中線法”放到首位。于是，我選了下面的例題：

例1.已知：如圖1，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF交AE于點F，DF=AC。求證：AE平分∠BAC

圖1

方法1：倍長AE至G，連結DG

方法2：倍長FE至H，連結CH

我激情昂揚地講解了此題的解法，90%的學生在課堂上的解答良好，令我比較滿意。

于是我布置了如下的變式題加以鞏固。

【練習】：已知，如圖2，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE

圖2

讓我意想不到的是全班僅有20%的學生解答正確，我受到了重創。

究竟是哪個環節出了問題？我苦苦思索。

每周二的定時練習如期進行，第九周的數學周考附加題最后一道題是有關“全等三角形的綜合證明題”，滿分12分，全班38人僅2人全對，得5分的12人，其余均在5分以下，包括2人零分。我更加不明白的是此題所用到的知識點和添加輔助線的方法之前已訓練過，為什么學生的掌握情況會這么差呢？完全就像老師在課堂教學中從來未曾涉及過一樣，我又受到重創。

二、教學中的嘗試

（一）歸類訓練

1.雙等邊三角形模型

例2.（1）如圖3，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC.求∠AEB的大?。?/p>

（2）如圖4，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉（△OAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小。

圖3

圖4

例3.如圖5，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點，求證：CD=BE，△AMN是等邊三角形。

（1）當把△ADE繞點旋轉到圖6的位置時，是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

（2）當△ADE繞點A旋轉到圖7的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是，請說明理由。

圖5

圖6

圖7

2.垂直模型

例4.如圖8，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

圖8

圖10

圖9

（1）試說明：BD=DE+CE.

（2）若直線AE繞A點旋轉到圖9位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫結論，并說明理由。

（3）若直線AE繞A點旋轉到圖10位置時（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫出結論，可不說明理由。

解決此類題時，我刻意讓學生從試題結構上尋找它們的相同點和不同點，在解題策略上尋求異同，從而進行關聯體驗。但要讓學生進行深度體驗，還得在試題的變式和遷移上下功夫。

（二）遷移訓練

在解決有關線段和差問題，我刻意訓練他們添加輔助線的技巧——“截長補短法”。我首先選擇難度不大的題作為基架，待他們熟悉此法后，便一步步增加小問題，改變試題的難度，讓學生嘗試解決。開始之初學生仍具有較大困難，隨著訓練的深入，添加輔助線完全沒有問題，但在邏輯嚴謹性上存在一些漏洞，這說明學生的深度體驗還不夠。于是，我又在同類題中適當變式后再訓練，多次以后，90%學生能夠達到預期目標。

（三）教學體會

1.學生的深度體驗需要環境，是步步深入的，多次反復的一個過程；

2.教學目標的實現是在多重因素的相互交織，相互促進的過程中完成的；

3.遷移訓練應尋找新舊知識之間的共同因素，注意并重視共同因數的作用，促進正遷移。

4.注意知識整合教學，使之條理化，系統化。

在收獲教學的初步成果后，我感覺到課堂教學中核心問題的確定非常重要，它不僅指導學生明確任務，朝著既定方向發展，而且能在任務的指引下進行有效的關聯體驗，從而促進學生的學習內需，調動學習積極性。此外，教師在教學中要注重基礎知識的運用，選擇正確的教法，幫助學生對于基本原理的理解，讓學生達到越來越高的概括程度，提高認知結構的可利用性。同時，加強發散性思維訓練，促進解題的求異能力，提高認知結構的可辨別性，設計數學題組，一題多解、一題多變，鞏固知識結構，進而提高認知結構的穩定性?？傊?，學校的教育科研讓我的教學方法上了一個高度，我善于站在不同角度思考問題，善于創新，尋求解決問題的最佳方法。教師的善“變”能促進學生的會“變”，學生在幾何問題的解決策略上只有進行深度體驗，才能達成解題能力的提升。一系列的變革和訓練以后，我對幾何教學有了更深的感悟。接下來的教學，我還要尋求更能適合學生體驗的問題作為探究方向，不斷追求教學的優化點和更高境界，讓學生真正有收獲。

·編輯薄躍華