類比“等差數列”探究“等比數列”

王耀文

新的課程標準倡導積極主動、勇于探索的學習方式，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，在學習數學時，注重經歷觀察發現、歸納類比的思維過程，下面就在學生已經學習了等差數列所有內容的前提下，如何引導學生類比已學等差數列的知識和研究等比數列的方法探究“等比數列”談談自己的想法，敬請各位同仁提出寶貴意見，

1.復習回顧（意在進一步掌握等差數列的相關知識，為學習等比數列做鋪墊）

教師：在等差數列的學習中，我們學習了哪些內容？哪些方法？請填在下表第二列，

2.新課引入（意在引導學生類比聯想，通過探討發現特殊數列除了等差數列外，還應有等和數列、等積數列、等比數列）

教師：等差數列是指后項與前一項的差的運算，能否將差的運算替換為其它運算呢？請同學們思考，這樣的數列是否存在，若存在，請舉出具體的例子，5分鐘后，

學生l：若一個數列從第二項起，每一項與前一項的和都等于同一個常數，則這個數列是否可稱為等和數列，這個常數稱為公和，這種數列很簡單，比如首項為l，公和為3的等和數列為：1，4，1，4，1，4，......它的通項公式及前n項和公式都比較簡單，

學生2：若一個數列從第二項起，每一項與前一項的積都等于同一個常數，則這個數列是否可稱為等積數列，這個常數稱為公積，這種數列也很簡單，比如首項為l，公積為3的等積數列為：1，3，1，3，1，3，…，它的通項公式及前n和公式也都比較簡單，

學生3：若一個數列從第二項起，每一項與前一項的商（或比）都等于同一個常數，則這個數列是否可稱為等商（比）數列，這個常數稱為公商（比），這種數列有點類似等差數列，但又不同，比如由定義，在等比數列中任意一項都不為0且公比也不為0，

筆者肯定了學生的想法，并指出：由于等和數列和等積數列比較簡單，我們很容易利用定義根據它的首項、公和（或公積）給出它的通項公式和前”項和公式，因此教材中沒有涉及，但在一些考卷中出現過，主要考查考生們的閱讀理解能力和數學能力，從剛才同學們的回答我們已經解決了這兩類數列的基本問題，而等比數列和等差數列很類似，但又有區別，下面我們類比等差數列的研究方法來學習研究等比數列，

3.新課探究（意在放手學生，讓他們大膽猜想、探索）

教師：請同學們獨立思考，類比第2列填寫上表的第3列，要求先填寫自己能獨立解決的問題，然后以小組為單位，交流、思考、補充，

臨近下課時，經過學生的共同努力，完成了除前”項和公式外的所有內容（見表格），教師表揚了同學們，并要求學生課后試著推導等比數列前”項和公式（要求如果直接討論有難度的話，可以先討論：

這3個練習的目的是：（1）判斷是否為等比數列；（2）如果是等比數列，公比是否為l；（3）滿足等比數列求和公式時，一定要注意求多少項的和；（4）獨立思考：一個數列有等比數列的背景時，求和是否可考慮錯位相減法；（5）理解錯位相減法：步驟：列式、錯位、相減，“錯位”的目的是對其同類項，是為了后面計算不錯，

4.課后反思

顯然，這樣的設計是在明確目標的前提下，學生在已有等差數列知識和研究方法的基礎上進行的自主探究，學生研究的熱情比較高漲，而且從作業反饋的信息來看，效果也比較好，因此，教師在教學中一定要樹立“以人為本”的理念，相信學生，放手使他們大膽探究，