高中數學解析幾何的教與學

陳學林

解析幾何是各省市及全國高考中的難點和熱點。每次和學生談及高考數學，大家似乎都有同感：高中數學難，解析幾何又是難中之難。其實不然，解析幾何題目有規律可循，方法可依。只要掌握解析幾何的本質和基本方法、技巧，解析幾何問題就會迎刃

而解。

首先，了解解析幾何的產生和本質很有必要。解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，是當時法國數學家笛卡兒創立的，大大促進了物理學和天文學的發展。恩格斯當時給予了高度評價，本質是用代數的方法研究幾何問題。體現了數形結合的重要思想。使形象生動的幾何圖形與精確描敘述的代數語言有機結合，使形與數可以相互轉化。

其次，了解解析幾何研究的主要問題，解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示曲線的方程。這就要掌握求曲線方程的基本方法。如：直譯法，相關點法（代入法），定義法（待定系數法），交軌法等基本方法。（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質。如通過研究橢圓的方程就可以知道橢圓的長軸和短軸，離心率等基本知識。通過研究函數的解析式就可以畫出其圖像，繼而研究其性質如單調性和奇偶性，定義域，值域也屬于這一范疇。

第三，注重圓錐曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）定義和初中平面幾何知識的運用。圓錐曲線的定義有兩面性，一是作為定義可以用來判斷動點的軌跡是否是某一類曲線的依據。另一方面也可以作為性質來用，只要點在曲線上，它就具有這一性質。比如，已知一點在橢圓上，那么這一點到兩焦點的距離之和一定為常數2a。另外，熟練掌握初中平面幾何知識有時對于我們了解解析幾何問題有事半功倍的效果。我們在求直線截圓所得的弦長時，就是用初中的垂徑定理和勾股定理來解決的。近年的高考題都有所體現，如2015四川高考理科壓軸題第20題第（2）問，由角平分線的性質可得Q點一定在y軸上，這樣就會減少運算量，2015全國新課標Ⅱ理科第20題第（2）問也考查平行四邊形的對角線互相平分的性質。

第四，在教學中適時用多媒體輔助。多媒體教學具有形象、生動、直觀的特點。多媒體教學更能體現現代教學理念。更能激發學生的興趣，俗話興趣是最好的老師，有了興趣，學生才會有求知欲。通過這種渠道獲得的知識，學生才會印象深刻，記憶才會牢固。圓錐曲線的很多性質通過多媒體展現出來，更顯得生動。如借助信息技術，通過改變橢圓的長軸長，短軸長或焦距等，可以幫助我們發現橢圓的幾何特征及其基本性質（變化中保持不變的特征）。此外，多媒體教學工具為我們創造了一個通過演示實驗，發現問題、形成猜想、獲得結論的環境，通過在多媒體的動態演示，觀察動點軌跡形成的過程，發現問題，得出結論。教材在這方面給我們作了很好的范例，在引入橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，先給我們示范了一個簡單易行的演示實驗。這些演示實驗如果能讓學生親手做一遍，效果會更好。

第五，熟記一些常見的基本結論，掌握一些基本方法。熟記圓錐曲線中的一些基本結論有利于幫助我們提高解題的速度。常見的基本結論有橢圓與雙曲線的焦半徑公式（如2015全國新課標Ⅰ理科第5題）、半通徑公式（如2015重慶文科第9題），焦點三角形的面積公式。拋物線的焦點弦長公式，拋物線的通徑公式。等軸雙曲線的離心率和漸近線公式。另外，掌握一些基本方法也很有必要，例如：中點弦問題常用點差法（如2015全國新課標Ⅱ第20題第1問）。直線與圓錐曲線往往要聯立方程組再結合韋達定理進行處理。

第六，注意把前后知識進行銜接，正確把握教學要求，提高學生綜合運用知識的能力。解析幾何的內容不僅包括圓錐曲線部分，還包括必修2的直線和圓，選修4的極坐標和參數方程。教學時不能把它們割裂開來。近年的高考解答題中有的是以圓為載體來考察解析幾何知識的。圓其實也是圓錐曲線的一種。圓錐曲線的參數方程要正確地掌握。其中直線和圓及橢圓要求掌握，雙曲線，拋物線只需了解就可以了。圓錐曲線的統一的極坐標方程也應掌握，在涉及焦半徑的題目時，用極徑ρ的表達式會更簡單。我們在教學時應把各部分知識融會貫通，提高學生綜合運用知識解決的能力。

第七，培養學生鍥而不舍的吃苦精神，提高學生的解題能力。提高學生的運算能力是新數學課程標準對基本能力認識的一個發展，是課程目標對數學能力的基本要求。高考對考生的運算能力的考查主要是通過解析幾何題目來體現的。解析幾何對大部分學生來說是一個難點，也是因為其運算量比較大。解析幾何的解答題常常與向量、三角、平面幾何等知識明交暗織，有時還要考察求最值的方法。對學生運算能力和綜合運用知識的能力。當我們遇到此類題目時，只要思路正確，方法恰當，就要勇往直前地走下去，即使得不出最終結果，也要盡量多得步驟分。無論我們未來從事怎樣的活動，鍥而不舍的鉆研精神和科學態度都是我們應具備的重要素質。相對于數學課程的其他章節的學習，解析幾何的學習更有不怕困難，勇往直前的意志品質。

總之，我們在教學中搞清解析幾何的來龍去脈，讓學生掌握處理解析幾何的基本方法和技巧，注重培養學生的意志品質。同時在教學中不斷總結經驗，經常進行教學反思。在這一部分的教學中，學生就會學得輕松，教師就會教得順心。

參考文獻：

李永清.“幾何畫板”在高中數學教學中的應用.內蒙古師范大學學報：教育科學版，2006（S2）.