試論數學探究性問題設計的方法、原則與策略

張鵬

摘 要：好的數學探究性問題對有效提升學生的探究興趣、探究能力至關重要。試從方法、原則與策略三個方面對探究性問題設計進行一些探討。

關鍵詞：探究性問題；方法；原則；策略

近來數學探究性問題一直是廣大數學教育研究者所關注的熱點之一。在課堂教學中，好的數學探究性問題對有效提升學生的探究興趣、探究能力至關重要。本文試從方法、原則與策略三個方面對探究性問題設計進行一些探討。

一、探究題背景設計方法

（一）問題運用背景

從探究的必要性角度出發，以解決某個問題或者研究某個數學規律為目的而設置，這樣對探究問題的背景的設定本身就是一個問題，這樣的問題背景從實際學習需求出發，一般還能聯系實際應用，能較好地激發學生對主動探究的熱情，它一般是作為如對數學規律、方法建構等探究問題的背景，特別是在新的知識系統構建的授課教學中最常用的背景設置方式。

（二）舊知識、舊方法背景

利用舊知識、舊方法，通過延伸、類比等方法發現新的探究問題。如一元一次不等式性質及解法一般容易的通常在等式性質及一元一次方程的背景下進行探究，分式的基本性質及其基本運算通常以分數基本知識為背景進行探究。因為這類問題容易激活原有的認知基礎，所以能較好地引起不同學生個體的探究興趣。

（三）特例背景

從特殊的角度入手，把眾多的例子作為背景進行觀察分析，從而探索出一般規律，而其本身也是一些小的問題。由于這樣的背景問題有起點低，易觀察，規律性強，感性和理性易結合等特點，更容易引起每個學生的興趣，因此在七年級的問題探究中應該加大其使用力度。

（四）矛盾背景

寫出一段具有一定認知沖突的材料作為背景來引出需要討論的探究問題。因為學生自身的知識是在不斷的認知沖突過程中不斷同化而形成的，所以學生的困惑之處、爭論之處以及錯誤多發之處一般是學生學習的難點，同時也是設計探究問題背景之源。此外，學生容易犯以偏概全的錯誤，例如“數軸上任意兩點間的距離”，學生根據數形結合的有限例子，會認為表示點的數值差或兩數和的絕對值即為兩點間的距離，假設不進行有意識的探究，學生就很難達成一般共識；學生還容易將充分條件作為充要條件使用，例如，已知解均為正數，求k的取值范圍，學生會認為x、y大于0，則x+y>0，即k>0；另外，直覺思維和抽象思維之間也會引起沖突，例如，解關于x的方程ax=-2，其中a<0，學生得出的結果是x=■，其理由是a是負數，a與-2負負得正。在實踐中，筆者將這些問題設計成探究問題，就很好地解決了學生的困惑。

（五）遷移背景

這種情況下，有的是提供解決問題思路的背景材料，學習材料之后模仿解決問題或者自主提出問題并將其解決；有的是將問題解決的一般步驟作為背景，之后解釋探究其原理及思路。如求解一個一元一次方程，同時為方程的每個步驟命名并解釋其原理；或者給出兩個在平行線間同底等高的三角形面積相等的原理，并且提供一個問題解決的例子，再模仿解決其他類似應用型問題。此類背景的探究問題均適合學生自主學習。

（六）應用背景

提供應用背景，從而抽象出探究問題，經濟社會和文化生活的繁榮為數學教師帶來了廣闊范圍的數學問題源，如出租車、電訊、房屋按揭、存款、股票、工資待遇、打折銷售、彩票、博彩、運輸費用、物價、稅收、投資回報、文物保護、工程造價、旅游價格、最短路徑、緊急避險、最經濟的設計以及包含美學的幾何圖案等。

二、探究題設計原則

（一）知識構建原則

數學概念是我們課堂教學的重要知識內容，初中數學涉及更多的是形成性概念，它們一般按照這樣的認知順序形成：背景材料—概念形成—概念特征—特征的簡單運用，而從具體到抽象的概念歸納、形成過程以及多個特征的發現，一般是實際教學的重難點，也決定了它們是學習探究過程中的重點，因此概念的形成及其特征是問題的重要設計點所在。一般做出如下問題設計：觀察分析材料，找尋其共性—把這些共性用符號語言或文字語言加以概括總結—按概念要求舉出相關例子—明確探究的方向，找尋概念中具備的特點，認真思考如何指明它的正確性。

（二）方法構建原則

其中一種是解決問題方法方面的建構，也就是說通過收集整理相同類型的問題并形成方法探索專題，在后來當學習了某種問題的處理方法后，就會想到還有哪些新方法，有哪些問題可以用類似的方法解決。例如：兩條線段之和與第三條線段相等之類的問題，或者代數求值問題，圖形面積等分的問題，以及建立方程、函數模型、不等式的問題等。教師將這些探究問題適時拋給學生，不僅能強化學生對課本知識的掌握，還有助于對其探究能力的培養以及數學方法的形成。還有一類是對探究問題提出方法的建構。具體來說，通過對一般問題的集中思考、類比、發散聯想等創造性思維，發現數學新問題，并且從有限的或特殊的例子解決出發，聯想到延伸到無限的問題或者一般性結論的探究，以及從簡單圖形性質延伸到復雜圖形性質的探究。比如，學生在學習四邊形之后，會聯想到三角形全等的判定，也自然會產生對判定四邊形全等方法的探究。比如，學習了平行四邊形，就會類推到什么是平行六邊形，以及它具有什么性質。再比如，學生在探究了正方體各種截面的形狀之后，自然也會想到對其他幾何體截面，如矩形的折疊問題的探究。

（三）綜合能力構建原則

第一類是應用性問題，它是對綜合能力的集中體現，能夠充分體現數學建模的特點及過程，并具有較強的探索性、挑戰性、實用性，可以運用多種模型在不同水平上進行分析和求解；還有一類是綜合運用知識的構建性問題，能使知識信息化、系統化、模塊化的綜合探究問題，一般出現在二次函數與一元二次方程結合的問題中，以及幾何圖形與函數模型、方程結合并體現其運動變化特點的問題。

三、探究題設計策略

（一）命題要素、思想方法及解決策略應具有開放性

傳統上，問題答案唯一，解法模式化的問題被稱為“封閉問題”。相反，開放性問題中構成命題的要素、思想方法及解決策略具有不確定性，這種不確定可能是：問題背景的多樣性，條件的不斷變換，使用的數學思想方法多渠道，解決問題的策略多途徑，討論的多渠道，結論的發散性或者問題條件與結論的自由組合最終是可能不成立的命題等。對于這種開放，一定程度上對問題解決的時間和空間的開放起到了決定性作用，也就是說課堂中不能完成的探究問題也可以考慮放到課外完成，當然也可以放到今后的學習之中，與此同時思維上更加大對各種認知的參與和各類思維的全方位能力的發展。

而問題提問方式有：你得到了怎樣的結論？發現了什么？其共同特點是什么？原因是什么？改變條件后可以得到什么結論？有哪些可能性？你有什么樣的思考？又是怎樣思考的？你將怎么辦？依據材料你能提出哪些問題？怎樣解決？

由于問題指向的不確定或不唯一，方法也不唯一，這就促使學生在不依賴教師和書本的情況下，能夠獨立地去探索并挖掘問題各種各樣的答案，這樣可無形地造就學生在解題中積極探索和勇于創新的心理狀態，對數學內涵得出新的感悟，進而積極主動地參與到“學數學，做數學，用數學”的進程中去，讓學生的認知結構在最后獲得更為有效的發展。這既能使各類學生在探究中取得各不相同的認識，又能較好地顧及學生的個體差異和數學方面的個性特點，還能非常有效地激發學生對參與探究、挑戰、創新的想法，有利于學生在學習方法和能力提升方面的培養。

（二）邏輯上需要符合認知規律

學生自身的認識規律應該建立在符合問題的內部構造的前提上，也就是由易到難，由簡到繁，由具體到抽象，逐級而上。為了使探究教學能正常開展，絕大部分問題設計并不是為了為難、甄別學生為出發點，而是希望讓大部分學生從可以處理的問題中獲得必須的經驗和成就動機，這必須要與新課程標準理念相符合，也與學生的“就近發展區”相吻合，更符合學生面臨的數學現實。

這就對我們設計的問題要求具備一般的認識基礎，容易吸引學生，并且它的表述要求簡明，綜合性也要具有控制力，問題解決所相關的知識與之前有關聯，而不可以有需要許多應用學生不會的知識的狀況，此外，由于初中階段孩子的近情性動機比較大，題目中一定要加入許多容易理解的相關材料。如：使用方面的情況跟理化知識使用及和實際生活內容相關聯的背景。此外，構成性疑問中應多使用感性的素材或非普遍性例子，運用可猜測的直觀的結論并驗證一般結論，再運用已有的說理性知識進行推理證明，最后將證明的結論運用到由簡到繁的問題。

實踐教學證明，探究式問題的學習，既能關注到學生的個體差異，又能在一步步的挑戰中使學生獲得成就動機，還能讓學生在一步步的體驗中獲得探究后的崇高與愉悅，從而有利于學習內部動機的激發。

（三）注意思維的實踐價值

設計數學探究問題的目的是鍛煉數學思維，數學思維的實踐鍛煉是數學探究最為基本的任務，其對象是腦和手。如，幾何及函數的應用問題應著力體現在運動變化和實踐動手，其中大多數能用幾何畫板軟件模擬其變化過程，讓學生在數學實踐活動中能夠獲得親身體驗，感受空間變化，從而有利于學生對圖形規律的歸納概括和對幾何方法的清楚認識，并能使學生的抽象思維及應用實踐能力得到較好的發展。在幾何圖形性質探究問題或代數規律中，要提供一定量的對比、類比數據及圖形材料，并利用計算器、幾何軟件或通過剪、拼、折等幾何實驗，進行動手思維及動手實踐，將思維實踐的重點放在對數據的觀察、對比、類比及歸納概括一般規律上，最后在提供運用規律的練習實踐材料的情況下，發展學生的符號感、數感、空間感以及歸納概括和實踐認知能力。這樣的探究不但能激發學生進行動手實踐，還能引起學生的后續思考及再發現。

參考文獻：

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編輯 謝尾合