數(shù)列問題在全國(guó)卷與福建卷中的考查比較

王圣榮

（三明市第九中學(xué)，福建 三明 365001）

數(shù)列問題在全國(guó)卷與福建卷中的考查比較

王圣榮

（三明市第九中學(xué)，福建 三明 365001）

文章以全國(guó)卷和福建卷作為研究對(duì)象，對(duì)比歷年文理科中在數(shù)列板塊中的考查對(duì)象，先從題型上找到區(qū)別點(diǎn)，以便于抓住數(shù)列在全國(guó)卷中考查的比重和難度。然后再根據(jù)每個(gè)題目所涉及到的知識(shí)點(diǎn)，梳理出高三復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該重點(diǎn)講解的知識(shí)點(diǎn)。解決了重點(diǎn)知識(shí)分布之后，接著再針對(duì)每個(gè)常見的重點(diǎn)知識(shí)，結(jié)合全國(guó)卷中典型的例題進(jìn)行深入分析。在例題分析中總結(jié)各個(gè)題型的解題規(guī)律和教學(xué)建議，力求提升高三教學(xué)的有效性。

數(shù)列；高考；全國(guó)卷；比較

自2016年開始，福建省高考恢復(fù)使用全國(guó)卷，原來以創(chuàng)新和知識(shí)點(diǎn)交匯考查作為命題風(fēng)格的福建卷在全國(guó)卷中能否延續(xù)，這直接決定高三的復(fù)習(xí)思路是否需要轉(zhuǎn)變。有鑒于此，有必要對(duì)福建卷與全國(guó)卷的命題方式的異同點(diǎn)進(jìn)行比較。

全國(guó)卷從2010年開始采用12道選擇題，4道填空題，5道必做選擇題及3選1的選作題的試卷模式，這一模式一直延續(xù)至今。另外在2013年之前，針對(duì)新課標(biāo)地區(qū)的全國(guó)卷只有一份。到了2013年，隨著實(shí)行新課標(biāo)的地區(qū)增多，采用全國(guó)卷的地區(qū)越來越多，針對(duì)各地區(qū)的教育發(fā)展水平的不同，全國(guó)卷分為了全國(guó)Ⅰ卷和全國(guó)Ⅱ卷。這一模式一直延續(xù)至今。現(xiàn)以數(shù)列板塊的內(nèi)容作為分析對(duì)象，以2010年到2015年的全國(guó)卷數(shù)學(xué)試卷作為樣本，對(duì)6年來全國(guó)卷與福建卷在數(shù)列問題的考查方式進(jìn)行比較，力求在分析中為2016屆的高考復(fù)習(xí)拋磚引玉。

一、歷年高考試卷中的數(shù)列題型分布對(duì)比

通過對(duì)6年來所有樣本試卷中的數(shù)列問題比較后，整理出如下的表格：（注：“選”表示選擇題，“填”表示填空題，“解”表示解答題，后面的數(shù)字為所在題型的題號(hào)）

由此可以看出，無論文科還是理科，只從題目所分布的位置來看，三類試卷都放在相對(duì)靠前的位置，也就是說大都以基礎(chǔ)題為主。以全國(guó)卷為例，18份試卷中有10份將數(shù)列放在解答題的第一題，占到近三分之二，其中文理科各占5份。

從全國(guó)兩卷分析，三年的分卷時(shí)間，全國(guó)Ⅰ卷在文理科上都有兩次將數(shù)列問題放在解答題，而全國(guó)Ⅱ卷卻都只有一次出現(xiàn)在解答題部分。對(duì)比福建卷和全國(guó)卷依然可以看出，福建的文科卷將數(shù)列作為解答題的必考題型，理科卷則將數(shù)列作為小題的必考題型；全國(guó)卷文理科對(duì)數(shù)列的比較一致，數(shù)列是作為解答題的待選題型，尤其在全國(guó)Ⅰ卷中，大多數(shù)時(shí)候解答題的第一題都是以數(shù)列的形式出現(xiàn)的。而在選擇填空題的安排上，與福建卷相似，全國(guó)Ⅰ卷更多的是將數(shù)列問題放在簡(jiǎn)單題的位置。全國(guó)Ⅱ卷則更偏向于只安排一道簡(jiǎn)單題，另一道數(shù)列的問題都是放在壓軸題的位置。

再?gòu)姆种瞪峡矗瑪?shù)列問題在全國(guó)卷中的分值為：文科約占10到17分，理科約占10到15分。

二、知識(shí)點(diǎn)的考查歸納與建議

如果以知識(shí)點(diǎn)的考查作為分析對(duì)象，那么通過整理樣本卷得到如下的表格：

上表對(duì)樣本卷中有關(guān)數(shù)列部分所考查的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列。通過表格可以看出：全國(guó)兩卷都對(duì)基本量問題、求和問題和Sn與an的關(guān)系問題，而且全國(guó)Ⅰ卷對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查難度更大；全國(guó)Ⅱ卷則更重視這些知識(shí)點(diǎn)的基本應(yīng)用，同時(shí)還增加對(duì)其他常見知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，如下表公式，遞推公式求通項(xiàng)等問題的考查。可見全國(guó)Ⅰ卷更重視知識(shí)考查的深度，全國(guó)Ⅱ卷則更重視知識(shí)考查的廣度。現(xiàn)針對(duì)這些特點(diǎn)，抽取其中一部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行必要的說明，不求面面俱到，但求能在教學(xué)中能夠提供參考。

（一）遞推公式求項(xiàng)問題

1.問題舉例

遞推公式求通項(xiàng)公式問題的方法有許多，如果每一種方法都進(jìn)行深入學(xué)習(xí)的話，將要占用學(xué)生大量的時(shí)間，而且學(xué)習(xí)效果未必很好。慶幸的是在這類問題的考查中，大都只是放在小題中出現(xiàn)，這就為學(xué)生在使用常規(guī)方法之外提供了利用不完全歸納法進(jìn)行猜想的機(jī)會(huì)。

如2015年全國(guó)2卷理科第16題：設(shè)Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn=___；

本題的常規(guī)方法是利用an+1=Sn+1-Sn的特點(diǎn)，在等式的兩邊同時(shí)除以SnSn+1，接著構(gòu)造出等差數(shù)列后，得到Sn的通項(xiàng)公式。此外還可以用列舉的方法，通過對(duì)n取1，2，3…求出相應(yīng)情況下的，學(xué)生就能夠很容易的歸納出Sn的通項(xiàng)公式應(yīng)該是。

2.教學(xué)建議

通過列舉后歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)生比較喜歡也比較容易接受的求通項(xiàng)公式的方法。教師可以在利用常規(guī)方法求通項(xiàng)公式的同時(shí)，嘗試?yán)昧信e的方法求通項(xiàng)公式，這不僅有利于學(xué)生在小題的解答中提高效率，而且也能夠在解答題中提高得分率。比如2014年全國(guó)Ⅰ卷理科第17題中，通過列舉得到λ的值，最后再利用所得的通項(xiàng)公式證明滿足已知的遞推公式，同樣可以得到正確的解答。

（二）基本量問題

1.問題舉例

基本量問題首先要求學(xué)生熟練掌握等差、等比的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和中項(xiàng)公式，通過利用這些公式列出相關(guān)基本量的方程（如：首項(xiàng)、公差、公比等）。

如2013年全國(guó)Ⅱ卷理科第3題：等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）

本題先根據(jù)數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，確定基本量為首項(xiàng)和公比，然后建立方程，解得。

在列方程問題中，一定要特別注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn作為已知條件的問題。由于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式存在q=1和q≠1的分類，所以在涉及到前n項(xiàng)和問題時(shí)，通常先采用前n項(xiàng)和的定義Sn=a1+a2+…+an，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1qn-1進(jìn)行列方程，這樣就能在列方程中避免分類討論，使問題得到簡(jiǎn)化。當(dāng)然在等差數(shù)列中就不存在這樣的問題，可以直接利用公式列方程，即可得到所需的結(jié)果。

2.教學(xué)建議

針對(duì)基本量問題的復(fù)習(xí)，建議從簡(jiǎn)單的基本問題出發(fā)，讓學(xué)生能夠熟練地應(yīng)用假設(shè)首項(xiàng)、公差、公比對(duì)已知條件列方程，這樣的問題在教材的練習(xí)和習(xí)題中有許多，學(xué)生可以通過對(duì)教材中問題的解答，達(dá)到熟練應(yīng)用公式和解方程的目的。完成了公式的基本訓(xùn)練之后，教師再拓展到其他技巧和方法的應(yīng)用。最后采用復(fù)習(xí)資料中的例題和練習(xí)，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生綜合應(yīng)用的能力。

（三）求和問題

高中階段的求和問題，常見的方法有四種：公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法。鑒于公式法較為簡(jiǎn)單，分組求和法問題又較少出現(xiàn)，下面以裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法為主，分別舉例說明，并歸納其中的一般規(guī)律。

1.裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法在福建的樣本卷中沒有專門的考查，在全國(guó)卷中也只是在全國(guó)Ⅰ卷中出現(xiàn)三次考查到這一知識(shí)點(diǎn)，其中文科1次，理科2次，而且都是以解答題的形式出現(xiàn)，可見全國(guó)Ⅰ卷對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的重視。

裂項(xiàng)相消法所適用的數(shù)列通項(xiàng)公式通常需要滿足三個(gè)特征：（1）分式形式；（2）分子為常數(shù)；（3）分母為同系數(shù)因式相乘的形式。學(xué)生在解題前需要先把所要求和的數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)為滿足以上三個(gè)特征的形式后，才能比較順利地利用該方法解題。

如2015年全國(guó)Ⅰ卷理科第17題：Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3。

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列，最終得到所要的結(jié)｛bn｝的前n項(xiàng)和。

在第（1）小題得到an=2n+1后，觀察到滿足以上所列的三個(gè)特征，可以確定本小題應(yīng)采用裂項(xiàng)相消法。接著同樣先對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行列舉，將｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn整理為，然后利用分式的“化乘為減”的公式，得到果。建議對(duì)基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生利用分組求和的方式將整理為，通過兩種形式的呈現(xiàn)，讓學(xué)生能更容易理解最終結(jié)果的形成過程。

2.錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是四類常見求和問題中最難的。在福建省的樣本卷中從未考查到錯(cuò)位相減類的問題，與裂項(xiàng)相消法相同，錯(cuò)位相減法也只是在全國(guó)Ⅰ卷中考查過兩次，文理卷中各有一次。錯(cuò)位相減法所適用的數(shù)列通項(xiàng)公式特征為一次指數(shù)或者一次×指數(shù)的形式。

如2014年全國(guó)Ⅰ卷文科第17題：已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

3.教學(xué)建議

在復(fù)習(xí)求和問題時(shí)，建議說明各種不同方法在步驟上的相同點(diǎn)：在數(shù)列規(guī)律不明確的情況下求和，首先都需要對(duì)求和的數(shù)列進(jìn)行列舉，列舉中涉及到乘法、除法和指數(shù)的形式不進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，保持原有的形式；然后通過觀察所得結(jié)果，確定所使用的方法后，根據(jù)模式化的步驟對(duì)問題進(jìn)行求解。特別是在裂項(xiàng)相消法的“化乘為減”和錯(cuò)位相減法的“同次相減”步驟的教學(xué)中，應(yīng)盡量讓學(xué)生自己動(dòng)筆完成，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

（四）Sn與an關(guān)系的問題

1.問題舉例

以2015年全國(guó)Ⅰ卷理科的第17題為例（題目見“裂項(xiàng)相消法”部分）。這類問題的解題步驟與數(shù)學(xué)歸納法的步驟相同。先取n=1，求得an=3；然后取n≥2，得到，結(jié)合公式可得an-an-1=2。由此可以判斷出｛an｝是以2為公差的等差數(shù)列，結(jié)合a1=3求得｛an｝的通項(xiàng)公式。

2.教學(xué)建議

由于這一公式具有分類討論的特點(diǎn)，在教學(xué)的過程中建議先從前n項(xiàng)和的定義出發(fā)，用形象的數(shù)字和形式發(fā)現(xiàn)前n項(xiàng)和都是從第1項(xiàng)開始一直加到最后一項(xiàng)。可以通過將n先用幾個(gè)整數(shù)舉例后，讓學(xué)生更好的了解了公式的基本含義。接著通過例題演示和學(xué)生訓(xùn)練相結(jié)合，讓學(xué)生熟練這一公式在實(shí)際應(yīng)用中的基本步驟和書寫方法。在學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用方法之后，教師可以給出與前n項(xiàng)和相關(guān)的遞推公式求通項(xiàng)公式的問題，提高學(xué)生應(yīng)用該公式進(jìn)行解題的靈活度。從最基礎(chǔ)的應(yīng)用開始，循序漸進(jìn)地提高題目的難度，既能抓好后進(jìn)生的提高，又能讓中等生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，還能讓尖子生學(xué)有所獲，達(dá)到提高課堂效率的目的。

從以上分析看出，福建卷對(duì)數(shù)列的考查，常與其他的知識(shí)板塊結(jié)合，更加注重的是知識(shí)點(diǎn)之間的交叉應(yīng)用能力。而全國(guó)卷與福建卷都對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列在基本量問題的考查常抓不懈。同時(shí)全國(guó)卷的文科卷更注重考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基本知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用能力，掌握了知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用方法，按照既定的步驟通常能夠順利得到完成問題的解答；而在全國(guó)卷的理科卷，尤其是全國(guó)Ⅰ卷中則越來越注重?cái)?shù)列內(nèi)在關(guān)系的探究，這從近兩年理科卷中都考查利用Sn與an的關(guān)系對(duì)數(shù)列的探究就可見一斑。而在文科卷中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)則毫無涉及。這也提醒教師在文理科的復(fù)習(xí)中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的處理應(yīng)該區(qū)別對(duì)待。

［1］林晴嵐，陳柳娟，張潔.平中出奇常中創(chuàng)新—2013-2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)（課標(biāo)）卷特色探析［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（09）.

［2］李偉.全國(guó)卷形勢(shì)下數(shù)學(xué)備考的策略［J］.課程教學(xué)研究，2015（12）.

［3］張先龍，鄧軍民.高考全國(guó)卷背景下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略芻議［J］.課程教學(xué)研究，2016（03）.

G471.2

A

1673-9884（2016）05-0051-04

2016-04-28

王圣榮（1982-），男，福建福清人，三明市第九中學(xué)一級(jí)教師。